Læringsmål

Oversikt over læringsmål dekket i ECON1100 Matematikk I

Kilde: Læringsmålene er utformet av Skolesaga på grunnlag av emnets eksamensoppgaver, sensorveiledninger og emnebeskrivelse. De er ikke institusjonens offisielle læringsutbyttebeskrivelser.

186 kompetansemål47 av 47 kapitler har kompetansemål

Alle kompetansemål

•gjøre rede for eksamensformen, poengfordelingen og den faste rekkefølgen på oppgavene

0.1Eksamenskartet: slik testes ECON1100

•lese temafrekvensene og bruke dem til å prioritere hva du leser når tiden er knapp

0.1Eksamenskartet: slik testes ECON1100

•kjenne igjen hvilke temaer som aldri forekommer, og trygt la dem ligge

0.1Eksamenskartet: slik testes ECON1100

•sette opp et realistisk tidsbudsjett for eksamensdagen og en leseplan frem mot den

0.1Eksamenskartet: slik testes ECON1100

•derivere potenser, røtter og brøker raskt ved å skrive uttrykkene om til potensform

1.1Derivasjonsverktøyet på nytt: potens, produkt, kvotient, kjerne

•bruke produkt-, kvotient- og kjerneregelen på sammensatte uttrykk uten fortegnsfeil

1.1Derivasjonsverktøyet på nytt: potens, produkt, kvotient, kjerne

•derivere uttrykk med naturlig logaritme og eksponentialfunksjon, også når det står en kjerne inni

1.1Derivasjonsverktøyet på nytt: potens, produkt, kvotient, kjerne

•forenkle et derivert uttrykk til den formen sensor forventer, og lese av fortegnet fra den

1.1Derivasjonsverktøyet på nytt: potens, produkt, kvotient, kjerne

•finne partiellderiverte av polynomer, brøker, logaritme- og eksponentialuttrykk og produktfunksjoner

1.2Partiellderiverte: første og andre orden

•veksle mellom skrivemåtene $f'_x$ og $\partial f/\partial x$ og forstå hva det vil si å holde en variabel konstant

1.2Partiellderiverte: første og andre orden

•regne ut andreordens og kryssderiverte, og bruke likheten mellom de kryssderiverte som kontroll

1.2Partiellderiverte: første og andre orden

•tolke fortegnet på partiellderiverte økonomisk som grensenytte, grenseprodukt og avtakende utbytte

1.2Partiellderiverte: første og andre orden

•bruke kjerneregelen når de indre variablene selv avhenger av én eller flere ytre variabler

1.3Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

•sette opp riktig antall bidrag i summen, med korrekt fortegn på hver indre derivert

1.3Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

•substituere tilbake slik at sluttsvaret står i de variablene oppgaven spør om

1.3Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

•regne ut totalderiverten og skille den direkte effekten fra den indirekte

1.3Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

•kjenne igjen når en funksjon har variabel eksponent og hvorfor de vanlige derivasjonsreglene svikter

1.4Logaritmisk derivasjon

•gjennomføre logaritmisk derivasjon i fire steg og gange opp med funksjonen til slutt

1.4Logaritmisk derivasjon

•bruke metoden på uttrykk i grunntallet, i eksponenten, i to variabler og med generell eksponent

1.4Logaritmisk derivasjon

•begrunne metodevalget og angi definisjonsområdet der grunntallet må være positivt

1.4Logaritmisk derivasjon

•bruke produkt-, kvotient- og kjerneregelen på funksjoner som bare er navngitt, ikke oppgitt

1.5Derivasjon av generelle og ukjente funksjoner

•skrive symbolske deriverte med riktig argument, og se at et slikt uttrykk er et ferdig svar

1.5Derivasjon av generelle og ukjente funksjoner

•partiellderivere uttrykk med generelle funksjoner av to variabler

1.5Derivasjon av generelle og ukjente funksjoner

•derivere symbolske uttrykk to ganger, og drøfte fortegn ut fra antakelser om de deriverte

1.5Derivasjon av generelle og ukjente funksjoner

•velge riktig derivasjonsmetode på under ti sekunder ut fra hvordan funksjonen er bygget

1.6Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

•gjennomføre hele Oppgave 1 med korrekt fortegn, tilbakesubstitusjon og åpenbar forenkling

1.6Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

•kontrollere egne svar med kryssderivert, innsetting eller enkle spesialtilfeller

1.6Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

•disponere tiden på en oppgave der poengene er likt fordelt mellom delpunktene

1.6Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

•velge riktig derivasjonsmetode raskt og gjennomføre den uten fortegnsfeil under tidspress

1.PPrøver til del 1: Derivasjon og partiellderivasjon

•levere partiellderiverte, andreordens og kryssderiverte med kontrollregning

1.PPrøver til del 1: Derivasjon og partiellderivasjon

•gjennomføre logaritmisk derivasjon og kjerneregelen for flere variabler med tilbakesubstitusjon

1.PPrøver til del 1: Derivasjon og partiellderivasjon

•løse et komplett Oppgave 1-sett på tid, med forenklede svar og symbolsk føring der formen er ukjent

1.PPrøver til del 1: Derivasjon og partiellderivasjon

•regne ut elastisiteten fra definisjonen og tolke tallet som prosent per prosent

2.1Elastisitet: definisjon, potensregel og regneregler

•lese elastisiteten rett av eksponenten i en potensfunksjon

2.1Elastisitet: definisjon, potensregel og regneregler

•bruke produkt- og kvotientregelen på sammensatte uttrykk uten å derivere dem

2.1Elastisitet: definisjon, potensregel og regneregler 2.PPrøver til del 2: Elastisitet

•kjenne igjen standardresultatene fra konsument- og produsentteori

2.1Elastisitet: definisjon, potensregel og regneregler

•utlede kjerneregelen for elastisiteter steg for steg fra definisjonen

2.2Kjerneregelen for elastisiteter (bevis-lett)

•skille den ytre elastisiteten fra den indre og skrive indeksene riktig

2.2Kjerneregelen for elastisiteter (bevis-lett)

•bruke regelen på sammensatte uttrykk og substituere tilbake til opprinnelig variabel

2.2Kjerneregelen for elastisiteter (bevis-lett)

•kontrollere et elastisitetssvar på to uavhengige måter

2.2Kjerneregelen for elastisiteter (bevis-lett)

•regne ut elastisitet fra definisjonen og fra potensregelen under tidspress

2.PPrøver til del 2: Elastisitet

•føre utledningen av kjerneregelen for elastisiteter med konklusjonssetning

2.PPrøver til del 2: Elastisitet

•tolke elastisiteter økonomisk som prosent per prosent og trekke konsekvensen for inntekt og budsjettandeler

2.PPrøver til del 2: Elastisitet

•sette opp differensialet til en funksjon av to eller flere variabler med alle ledd på plass

3.1Differensialet

•skille den tilnærmede endringen fra den faktiske tilveksten, og forklare hvorfor de avviker

3.1Differensialet

•avgjøre om en påstand om et differensial er sann eller usann, og begrunne konklusjonen med utregning

3.1Differensialet

•bruke differensialet til å anslå virkningen av små endringer i en økonomisk modell

3.1Differensialet

•sette opp den lineære approksimasjonen til en funksjon av én og to variabler rundt et oppgitt basispunkt

3.2Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

•avgjøre om et oppgitt approksimasjonsuttrykk er riktig, ved å regne ut og sammenligne ledd for ledd

3.2Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

•begrunne fortegnet på approksimasjonsfeilen ut fra funksjonens krumning, uten å regne ut den eksakte verdien

3.2Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

•bruke standardtilnærmingene rundt null og vurdere når metoden er pålitelig

3.2Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

•sette opp differensialet og den lineære approksimasjonen under tidspress, med alle ledd på plass

3.PPrøver til del 3: Differensial og lineær approksimasjon

•avgjøre om et oppgitt uttrykk er riktig ved å sammenligne ledd for ledd, og skrive begrunnelsen ut

3.PPrøver til del 3: Differensial og lineær approksimasjon

•begrunne fortegnet på approksimasjonsfeilen ut fra krumningen i hele det aktuelle området

3.PPrøver til del 3: Differensial og lineær approksimasjon

•føre et sant/usant-svar slik sensor krever: konklusjon pluss fullstendig utregning

3.PPrøver til del 3: Differensial og lineær approksimasjon

•finne vekstintervaller ved å faktorisere den deriverte og sette opp en fortegnslinje

4.1Vekst og krumning: fortegnsanalyse av $f'$ og $f''$

•bruke ABC-formelen og diskriminanten til å avgjøre om og hvor den deriverte skifter fortegn

4.1Vekst og krumning: fortegnsanalyse av $f'$ og $f''$

•bestemme krumningen fra fortegnet på andrederiverte, og holde vekst og krumning fra hverandre

4.1Vekst og krumning: fortegnsanalyse av $f'$ og $f''$

•begrunne intervallkonklusjoner med skjema i stedet for å oppgi dem, og tolke fortegnene økonomisk

4.1Vekst og krumning: fortegnsanalyse av $f'$ og $f''$

•skille stasjonærpunkt, ekstrempunkt og vendepunkt fra hverandre, og vite hvilken vei slutningene går

4.2Stasjonærpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter — og fellene

•klassifisere stasjonærpunkter med andrederiverttesten, og gjenkjenne når den ikke gir svar

4.2Stasjonærpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter — og fellene

•føre det gyldige argumentet når andrederiverte er null: global krumning eller fortegnsskifte i den deriverte

4.2Stasjonærpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter — og fellene

•avgjøre om et ekstrempunkt er lokalt eller globalt, og finne vendepunkter med krav om fortegnsskifte

4.2Stasjonærpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter — og fellene

•bestemme definisjonsområdet før drøftingen starter, og avgjøre om randpunktene er med i det

4.3Hjørne- og randløsninger: definisjonsområde-argumentet

•føre randargumentet: endepunkt pluss fortegn på den deriverte, med konklusjon for hele området

4.3Hjørne- og randløsninger: definisjonsområde-argumentet

•sette opp en komplett kandidatliste og bruke den riktig på lukkede og på ubegrensede områder

4.3Hjørne- og randløsninger: definisjonsområde-argumentet

•forklare hvorfor innsetting av tallverdier ikke er et gyldig bevis for et globalt ekstrempunkt

4.3Hjørne- og randløsninger: definisjonsområde-argumentet

•finne nullpunktene til et polynom ved faktorisering og ABC, og skille dem fra stasjonærpunktene

4.4Skisse, nullpunkter og tangentlinje

•lage en skisse som er konsistent med vekst, krumning, ekstrempunkter og nullpunkter

4.4Skisse, nullpunkter og tangentlinje

•sette opp tangentlinjen i et punkt med riktig stigningstall, og kontrollere svaret

4.4Skisse, nullpunkter og tangentlinje

•lese av vekst, ekstrempunkter og krumning når grafen til den deriverte er oppgitt

4.4Skisse, nullpunkter og tangentlinje

•kjøre den åttestegs drøftingsalgoritmen i riktig rekkefølge under tidspress

4.5Drill: funksjonsdrøfting fra ende til annen

•velge riktig klassifiseringsmetode, også når andrederiverttesten ikke gir svar

4.5Drill: funksjonsdrøfting fra ende til annen

•avgjøre om et ekstrempunkt er lokalt eller globalt, og håndtere randen når området er begrenset

4.5Drill: funksjonsdrøfting fra ende til annen

•levere skisse og tangentlinje som er konsistente med egne utregninger

4.5Drill: funksjonsdrøfting fra ende til annen

•begrunne vekst- og krumningsintervaller med fortegnsskjema under tidspress

4.PPrøver til del 4: Endimensjonal funksjonsdrøfting

•klassifisere stasjonærpunkter riktig også når andrederiverttesten ikke gir svar

4.PPrøver til del 4: Endimensjonal funksjonsdrøfting

•føre randargumentet og skille lovlig verdisammenligning fra ugyldig tallinnsetting

4.PPrøver til del 4: Endimensjonal funksjonsdrøfting

•levere en full drøfting med skisse og tangentlinje som er konsistent med egne utregninger

4.PPrøver til del 4: Endimensjonal funksjonsdrøfting

•forklare hva en nivåkurve er, og skrive den på formen $y=y(x)$ når det lar seg gjøre

5.1Nivåkurver og deres helning

•utlede helningsformelen fra differensialet, med betingelsen for at den gjelder

5.1Nivåkurver og deres helning

•finne helningen både med formelen og ved implisitt derivasjon, og bruke den ene som kontroll på den andre

5.1Nivåkurver og deres helning

•tolke helningen økonomisk som bytteforhold mellom to goder, og knytte den til tangeringsbetingelsen i optimum

5.1Nivåkurver og deres helning

•derivere nivåkurvens helning én gang til, med riktig bruk av at $y$ er en funksjon av $x$

5.2Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

•sette inn uttrykket for $y'$ underveis og forenkle svaret med kurvens egen likning

5.2Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

•avgjøre om en nivåkurve er konveks eller konkav, med et argument som gjelder hele området

5.2Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

•koble krumningen til avtakende bytteforhold og til hvordan kurven skal skisseres

5.2Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

•finne nivåkurvens helning både med formelen og ved implisitt derivasjon, under tidspress

5.PPrøver til del 5: Nivåkurver og implisitt derivasjon

•regne ut krumningen med korrekt bruk av at $y$ er en funksjon av $x$, og forenkle med kurvens likning

5.PPrøver til del 5: Nivåkurver og implisitt derivasjon

•begrunne fortegn på helning og krumning for et helt område, ikke ved innsetting av et tall

5.PPrøver til del 5: Nivåkurver og implisitt derivasjon

•skissere en nivåkurve konsistent med fortegnene, og tolke bytteforholdet økonomisk

5.PPrøver til del 5: Nivåkurver og implisitt derivasjon

•finne alle stasjonærpunkter til en funksjon av to variabler ved å løse likningssystemet fra førsteordensbetingelsene

6.1Førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering

•regne ut Hesse-determinanten korrekt, med riktig fortegn på kryssleddet

6.1Førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering

•klassifisere hvert kandidatpunkt som maksimum, minimum eller sadelpunkt og begrunne konklusjonen

6.1Førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering

•gjenkjenne når testen ikke gir svar, og si det i stedet for å gjette

6.1Førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering

•gjennomføre hele Hesse-kjeden fra førsteordensbetingelser til klassifisert svar under tidspress

6.2Lokalt vs. globalt — og drill

•avgjøre om et lokalt resultat kan utvides til hele definisjonsområdet, og begrunne konklusjonen

6.2Lokalt vs. globalt — og drill

•vise at et lokalt ekstrempunkt ikke er globalt ved å oppgi ett punkt med bedre funksjonsverdi

6.2Lokalt vs. globalt — og drill

•skrive konklusjonen med riktig styrke — «lokalt» når bare det er vist

6.2Lokalt vs. globalt — og drill

•finne alle kandidatpunkter til en tovariabel funksjon under tidspress, uten å miste noen

6.PPrøver til del 6: Fri optimering i to variabler

•regne ut Hesse-determinanten med riktig fortegn og klassifisere hvert punkt

6.PPrøver til del 6: Fri optimering i to variabler

•avgjøre om et lokalt resultat gjelder globalt, og begrunne svaret

6.PPrøver til del 6: Fri optimering i to variabler

•skissere nivåkurvebildet rundt et stasjonærpunkt konsistent med klassifiseringen

6.PPrøver til del 6: Fri optimering i to variabler

•avgjøre om en funksjon er homogen og finne graden ved å skalere alle variablene

7.1Homogene funksjoner og skalautbytte

•konkludere at en funksjon ikke er homogen når faktoren ikke lar seg trekke rent ut

7.1Homogene funksjoner og skalautbytte

•tolke graden som konstant, tiltakende eller avtakende skalautbytte

7.1Homogene funksjoner og skalautbytte

•regne ut doblingsfaktoren riktig og skille homogenitetsgrad fra produksjonselastisitet

7.1Homogene funksjoner og skalautbytte

•utlede Eulers relasjon fra homogenitetsidentiteten og begrunne valget av skaleringsfaktor

7.2Eulers teorem og homogenitet av deriverte (bevis-lett)

•vise at de partiellderiverte til en homogen funksjon er homogene av grad k minus én

7.2Eulers teorem og homogenitet av deriverte (bevis-lett)

•verifisere begge resultatene på konkrete funksjoner med tallkontroll

7.2Eulers teorem og homogenitet av deriverte (bevis-lett)

•tolke Eulers relasjon som at faktorandelene summerer til én ved konstant skalautbytte

7.2Eulers teorem og homogenitet av deriverte (bevis-lett)

•føre homogenitetstesten symbolsk og konkludere også når funksjonen ikke er homogen

7.PPrøver til del 7: Homogenitet og skalautbytte

•regne ut skaleringseffekter riktig med faktoren t opphøyd i k

7.PPrøver til del 7: Homogenitet og skalautbytte

•utlede Eulers relasjon og begrunne valget av skaleringsfaktor

7.PPrøver til del 7: Homogenitet og skalautbytte

•tolke homogenitet i en produksjonskontekst som faktorandeler og skalauavhengige grenseprodukter

7.PPrøver til del 7: Homogenitet og skalautbytte

•skille målfunksjon fra bibetingelse i en oppgavetekst og begrunne valget

8.1Lagrange-metoden: oppsett og førsteordensbetingelser

•sette opp Lagrange-funksjonen med riktig fortegn og riktig parentes

8.1Lagrange-metoden: oppsett og førsteordensbetingelser

•skrive de tre førsteordensbetingelsene nummerert, også når funksjonene er generelle

8.1Lagrange-metoden: oppsett og førsteordensbetingelser

•kontrollere et oppgitt kandidatpunkt mot alle tre betingelsene

8.1Lagrange-metoden: oppsett og førsteordensbetingelser

•eliminere multiplikatoren ved å dele den ene førsteordensbetingelsen på den andre

8.2Eliminér $\lambda$: tangeringsbetingelsen og optimal etterspørsel

•tolke tangeringsbetingelsen som marginal substitusjonsrate lik prisforhold

8.2Eliminér $\lambda$: tangeringsbetingelsen og optimal etterspørsel

•utlede optimal etterspørsel og betinget faktoretterspørsel og forenkle sluttuttrykket

8.2Eliminér $\lambda$: tangeringsbetingelsen og optimal etterspørsel

•forkaste røtter utenfor definisjonsområdet med skriftlig begrunnelse

8.2Eliminér $\lambda$: tangeringsbetingelsen og optimal etterspørsel 8.PPrøver til del 8: Betinget optimering — Lagrange

•bruke omhyllingsteoremet direkte i stedet for å reutlede det

8.3Omhyllingsteoremet og skyggeprisen

•tolke multiplikatoren som skyggepris på en ramme og som grensekostnad i produksjon

8.3Omhyllingsteoremet og skyggeprisen

•finne endringen i optimal verdi når en pris eller en vekt i målfunksjonen endres, med riktig fortegn

8.3Omhyllingsteoremet og skyggeprisen

•skille verdifunksjonens deriverte fra den partiellderiverte av målfunksjonen

8.3Omhyllingsteoremet og skyggeprisen

•skrive én generell førsteordensbetingelse for et problem med n variabler

8.4Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

•begrunne symmetri eksplisitt i stedet for å påstå den

8.4Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

•klassifisere kandidatpunkter ved å sammenligne funksjonsverdier

8.4Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

•vurdere når en slik sammenligning gir en global konklusjon og når den ikke gjør det

8.4Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

•gjennomføre hele Lagrange-oppskriften fra oppsett til kontrollert sluttsvar under tidspress

8.5Drill: Lagrange fra ende til annen

•kjenne igjen hvilken variant av sjangeren en oppgavetekst beskriver

8.5Drill: Lagrange fra ende til annen

•forkaste røtter utenfor definisjonsområdet og klassifisere ved funksjonsverdi

8.5Drill: Lagrange fra ende til annen

•bruke omhyllingsteoremet direkte som halepunkt på en storoppgave

8.5Drill: Lagrange fra ende til annen

•sette opp Lagrange-funksjonen og de tre førsteordensbetingelsene under tidspress

8.PPrøver til del 8: Betinget optimering — Lagrange

•eliminere multiplikatoren og utlede optimal etterspørsel med forenklet sluttsvar

8.PPrøver til del 8: Betinget optimering — Lagrange

•bruke omhyllingsteoremet direkte og klassifisere ved å sammenligne funksjonsverdier

8.PPrøver til del 8: Betinget optimering — Lagrange

•sette opp profittfunksjonen til en bedrift og utlede førsteordensbetingelsen

9.1Profittmaksimering og faktoretterspørsel

•kontrollere andreordensbetingelsen og si hvorfor den kreves

9.1Profittmaksimering og faktoretterspørsel

•løse for faktoretterspørselen når teknologien er en potensfunksjon

9.1Profittmaksimering og faktoretterspørsel

•tolke grenseinntektsproduktet økonomisk og gjenkjenne de vanligste fortegns- og eksponentfellene

9.1Profittmaksimering og faktoretterspørsel

•sette opp kostnadsminimeringsproblemet og utlede tangeringsbetingelsen mellom grenseprodukter og faktorpriser

9.2Kostnadsminimering: Cobb-Douglas, CES og substitusjonselastisitet

•finne betinget faktoretterspørsel og kostnadsfunksjon for Cobb-Douglas- og CES-teknologi

9.2Kostnadsminimering: Cobb-Douglas, CES og substitusjonselastisitet

•regne ut og tolke substitusjonselastisiteten, og skille den fra skalautbyttet

9.2Kostnadsminimering: Cobb-Douglas, CES og substitusjonselastisitet

•kjenne igjen de vanligste fortegns- og eksponentfellene i CES-algebraen

9.2Kostnadsminimering: Cobb-Douglas, CES og substitusjonselastisitet

•gjennomføre komparativ statikk ved å derivere førsteordensbetingelsen implisitt med hensyn på en parameter

9.3Komparativ statikk via implisitt derivasjon — og drill

•avgjøre fortegnet på virkningen av en pris- eller lønnsendring og tolke det økonomisk

9.3Komparativ statikk via implisitt derivasjon — og drill

•veksle sikkert mellom profittmaksimering og kostnadsminimering under tidspress

9.3Komparativ statikk via implisitt derivasjon — og drill

•kontrollere egne svar mot bibetingelsen, andreordensbetingelsen og kostnadsandelene

9.3Komparativ statikk via implisitt derivasjon — og drill

•sette opp og løse profittmaksimeringsproblemet med kontrollert andreordensbetingelse under tidspress

9.PPrøver til del 9: Produsentteori

•finne betinget faktoretterspørsel og kostnad for Cobb-Douglas- og CES-teknologi

9.PPrøver til del 9: Produsentteori

•regne ut og tolke substitusjonselastisiteten og skille den fra skalautbyttet

9.PPrøver til del 9: Produsentteori

•gjennomføre komparativ statikk ved implisitt derivasjon og begrunne fortegnet

9.PPrøver til del 9: Produsentteori

•avgjøre om en funksjon har en invers ved å analysere fortegnet på den deriverte i hele definisjonsområdet

10.1Inverse funksjoner

•derivere den inverse funksjonen med den omvendte brøken, evaluert i riktig punkt

10.1Inverse funksjoner

•finne inversen eksplisitt der det lar seg gjøre, og velge riktig rot

10.1Inverse funksjoner

•besvare et sant-eller-usant-delpunkt om inverse funksjoner med full begrunnelse

10.1Inverse funksjoner

•finne antideriverte av potenser, av én delt på x og av eksponentialfunksjoner

10.2Elementær integrasjon

•regne ut bestemte integraler ved korrekt grenseinnsetting og kontrollere svaret ved derivasjon

10.2Elementær integrasjon

•finne arealet mellom to kurver og skille areal fra integral med fortegn

10.2Elementær integrasjon

•besvare et sant-eller-usant-delpunkt om integraler med utregningen synlig

10.2Elementær integrasjon

•regne ut endelige summer ved utskriving og med de to standardformlene

10.3Serier: endelige og geometriske summer

•kjenne igjen en geometrisk rekke og bestemme startledd og kvotient

10.3Serier: endelige og geometriske summer

•avgjøre konvergens ut fra tallverdien til kvotienten og begrunne konklusjonen

10.3Serier: endelige og geometriske summer

•regne ut nåverdien av en evig inntektsstrøm og forklare hvorfor den er følsom for diskonteringsfaktoren

10.3Serier: endelige og geometriske summer

•avgjøre om en funksjon har invers og derivere inversen i riktig punkt

10.PPrøver til del 10: Beredskap: invers, integrasjon, serier

•finne antideriverte og bestemte integraler og kontrollere svaret ved derivasjon

10.PPrøver til del 10: Beredskap: invers, integrasjon, serier

•avgjøre konvergens for geometriske rekker og regne ut summen når kravet holder

10.PPrøver til del 10: Beredskap: invers, integrasjon, serier

•besvare sant-eller-usant-delpunkter fra alle tre beredskapssjangrene med full begrunnelse

10.PPrøver til del 10: Beredskap: invers, integrasjon, serier

•besvare en sant-eller-usant-påstand etter malen konklusjon pluss fullstendig begrunnelse

11.1Sant/usant-stordrillen: de tolv påstandstypene med begrunnelse

•kjenne igjen hvilken av de tolv påstandstypene en formulering tilhører, og hente riktig begrunnelsesmal

11.1Sant/usant-stordrillen: de tolv påstandstypene med begrunnelse

•felle en gal generell påstand med ett konkret motbevis i stedet for et generelt argument

11.1Sant/usant-stordrillen: de tolv påstandstypene med begrunnelse

•arbeide gjennom et fullt oppgavesett uten hint og vurdere egen besvarelse mot en momentliste

11.1Sant/usant-stordrillen: de tolv påstandstypene med begrunnelse

•gjennomføre et komplett eksamenssett på tid, uten hjelpemidler

11.2Øvingseksamen 1: moderne mal (nyttemaks + drøfting + nivåkurve)

•fordele tiden mellom fem oppgaver etter poengvekting

11.2Øvingseksamen 1: moderne mal (nyttemaks + drøfting + nivåkurve)

•føre løsninger med begrunnelse, forenkling og kontroll slik sensor forventer

11.2Øvingseksamen 1: moderne mal (nyttemaks + drøfting + nivåkurve)

•tegne skisser som er konsistente med egne utregninger av fortegn og krumning

11.2Øvingseksamen 1: moderne mal (nyttemaks + drøfting + nivåkurve)

•gjennomføre et komplett eksamenssett på tid med en annen sjangermiks enn øvingseksamen 1

11.3Øvingseksamen 2: moderne mal (kostnadsmin + fri optimering + differensial)

•klassifisere flere stasjonære punkter med Hesse-determinanten og skille lokalt fra globalt

11.3Øvingseksamen 2: moderne mal (kostnadsmin + fri optimering + differensial)

•løse kostnadsminimering og tolke multiplikatoren som grensekostnad

11.3Øvingseksamen 2: moderne mal (kostnadsmin + fri optimering + differensial)

•kombinere lineær approksimasjon med elastisitetsregning og drøfte omsetning

11.3Øvingseksamen 2: moderne mal (kostnadsmin + fri optimering + differensial)

•gjennomføre et eksamenssett med utsatt-settenes tyngre produsent- og CES-profil

11.4Øvingseksamen 3: utsatt-profil (produsentteori + CES)

•utlede tangeringsbetingelsen for CES-teknologi og finne betinget faktoretterspørsel

11.4Øvingseksamen 3: utsatt-profil (produsentteori + CES)

•gjennomføre komparativ statikk og begrunne fortegnet med andreordensbetingelsen

11.4Øvingseksamen 3: utsatt-profil (produsentteori + CES)

•begrunne symmetri i et n-variabelproblem og klassifisere ved å sammenligne funksjonsverdier

11.4Øvingseksamen 3: utsatt-profil (produsentteori + CES)

Kapitler med kompetansemål

0Eksamenskart

0.1Eksamenskartet: slik testes ECON1100

gjøre rede for eksamensformen, poengfordelingen og den faste rekkefølgen på oppgavene
lese temafrekvensene og bruke dem til å prioritere hva du leser når tiden er knapp
kjenne igjen hvilke temaer som aldri forekommer, og trygt la dem ligge
sette opp et realistisk tidsbudsjett for eksamensdagen og en leseplan frem mot den

1Derivasjon og partiellderivasjon

1.1Derivasjonsverktøyet på nytt: potens, produkt, kvotient, kjerne

derivere potenser, røtter og brøker raskt ved å skrive uttrykkene om til potensform
bruke produkt-, kvotient- og kjerneregelen på sammensatte uttrykk uten fortegnsfeil
derivere uttrykk med naturlig logaritme og eksponentialfunksjon, også når det står en kjerne inni
forenkle et derivert uttrykk til den formen sensor forventer, og lese av fortegnet fra den

1.2Partiellderiverte: første og andre orden

finne partiellderiverte av polynomer, brøker, logaritme- og eksponentialuttrykk og produktfunksjoner
veksle mellom skrivemåtene $f'_x$ og $\partial f/\partial x$ og forstå hva det vil si å holde en variabel konstant
regne ut andreordens og kryssderiverte, og bruke likheten mellom de kryssderiverte som kontroll
tolke fortegnet på partiellderiverte økonomisk som grensenytte, grenseprodukt og avtakende utbytte

1.3Kjerneregelen for flere variabler (totalderivert)

bruke kjerneregelen når de indre variablene selv avhenger av én eller flere ytre variabler
sette opp riktig antall bidrag i summen, med korrekt fortegn på hver indre derivert
substituere tilbake slik at sluttsvaret står i de variablene oppgaven spør om
regne ut totalderiverten og skille den direkte effekten fra den indirekte

1.4Logaritmisk derivasjon

kjenne igjen når en funksjon har variabel eksponent og hvorfor de vanlige derivasjonsreglene svikter
gjennomføre logaritmisk derivasjon i fire steg og gange opp med funksjonen til slutt
bruke metoden på uttrykk i grunntallet, i eksponenten, i to variabler og med generell eksponent
begrunne metodevalget og angi definisjonsområdet der grunntallet må være positivt

1.5Derivasjon av generelle og ukjente funksjoner

bruke produkt-, kvotient- og kjerneregelen på funksjoner som bare er navngitt, ikke oppgitt
skrive symbolske deriverte med riktig argument, og se at et slikt uttrykk er et ferdig svar
partiellderivere uttrykk med generelle funksjoner av to variabler
derivere symbolske uttrykk to ganger, og drøfte fortegn ut fra antakelser om de deriverte

1.6Drill: Oppgave 1 — partiellderivasjonspakken

velge riktig derivasjonsmetode på under ti sekunder ut fra hvordan funksjonen er bygget
gjennomføre hele Oppgave 1 med korrekt fortegn, tilbakesubstitusjon og åpenbar forenkling
kontrollere egne svar med kryssderivert, innsetting eller enkle spesialtilfeller
disponere tiden på en oppgave der poengene er likt fordelt mellom delpunktene

1.PPrøver til del 1: Derivasjon og partiellderivasjon

velge riktig derivasjonsmetode raskt og gjennomføre den uten fortegnsfeil under tidspress
levere partiellderiverte, andreordens og kryssderiverte med kontrollregning
gjennomføre logaritmisk derivasjon og kjerneregelen for flere variabler med tilbakesubstitusjon
løse et komplett Oppgave 1-sett på tid, med forenklede svar og symbolsk føring der formen er ukjent

2Elastisitet

2.1Elastisitet: definisjon, potensregel og regneregler

regne ut elastisiteten fra definisjonen og tolke tallet som prosent per prosent
lese elastisiteten rett av eksponenten i en potensfunksjon
bruke produkt- og kvotientregelen på sammensatte uttrykk uten å derivere dem
kjenne igjen standardresultatene fra konsument- og produsentteori

2.2Kjerneregelen for elastisiteter (bevis-lett)

utlede kjerneregelen for elastisiteter steg for steg fra definisjonen
skille den ytre elastisiteten fra den indre og skrive indeksene riktig
bruke regelen på sammensatte uttrykk og substituere tilbake til opprinnelig variabel
kontrollere et elastisitetssvar på to uavhengige måter

2.PPrøver til del 2: Elastisitet

regne ut elastisitet fra definisjonen og fra potensregelen under tidspress
bruke produkt- og kvotientregelen på sammensatte uttrykk uten å derivere dem
føre utledningen av kjerneregelen for elastisiteter med konklusjonssetning
tolke elastisiteter økonomisk som prosent per prosent og trekke konsekvensen for inntekt og budsjettandeler

3Differensial og lineær approksimasjon

3.1Differensialet

sette opp differensialet til en funksjon av to eller flere variabler med alle ledd på plass
skille den tilnærmede endringen fra den faktiske tilveksten, og forklare hvorfor de avviker
avgjøre om en påstand om et differensial er sann eller usann, og begrunne konklusjonen med utregning
bruke differensialet til å anslå virkningen av små endringer i en økonomisk modell

3.2Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

sette opp den lineære approksimasjonen til en funksjon av én og to variabler rundt et oppgitt basispunkt
avgjøre om et oppgitt approksimasjonsuttrykk er riktig, ved å regne ut og sammenligne ledd for ledd
begrunne fortegnet på approksimasjonsfeilen ut fra funksjonens krumning, uten å regne ut den eksakte verdien
bruke standardtilnærmingene rundt null og vurdere når metoden er pålitelig

3.PPrøver til del 3: Differensial og lineær approksimasjon

sette opp differensialet og den lineære approksimasjonen under tidspress, med alle ledd på plass
avgjøre om et oppgitt uttrykk er riktig ved å sammenligne ledd for ledd, og skrive begrunnelsen ut
begrunne fortegnet på approksimasjonsfeilen ut fra krumningen i hele det aktuelle området
føre et sant/usant-svar slik sensor krever: konklusjon pluss fullstendig utregning

4Endimensjonal funksjonsdrøfting

4.1Vekst og krumning: fortegnsanalyse av $f'$ og $f''$

finne vekstintervaller ved å faktorisere den deriverte og sette opp en fortegnslinje
bruke ABC-formelen og diskriminanten til å avgjøre om og hvor den deriverte skifter fortegn
bestemme krumningen fra fortegnet på andrederiverte, og holde vekst og krumning fra hverandre
begrunne intervallkonklusjoner med skjema i stedet for å oppgi dem, og tolke fortegnene økonomisk

4.2Stasjonærpunkter, ekstrempunkter og vendepunkter — og fellene

skille stasjonærpunkt, ekstrempunkt og vendepunkt fra hverandre, og vite hvilken vei slutningene går
klassifisere stasjonærpunkter med andrederiverttesten, og gjenkjenne når den ikke gir svar
føre det gyldige argumentet når andrederiverte er null: global krumning eller fortegnsskifte i den deriverte
avgjøre om et ekstrempunkt er lokalt eller globalt, og finne vendepunkter med krav om fortegnsskifte

4.3Hjørne- og randløsninger: definisjonsområde-argumentet

bestemme definisjonsområdet før drøftingen starter, og avgjøre om randpunktene er med i det
føre randargumentet: endepunkt pluss fortegn på den deriverte, med konklusjon for hele området
sette opp en komplett kandidatliste og bruke den riktig på lukkede og på ubegrensede områder
forklare hvorfor innsetting av tallverdier ikke er et gyldig bevis for et globalt ekstrempunkt

4.4Skisse, nullpunkter og tangentlinje

finne nullpunktene til et polynom ved faktorisering og ABC, og skille dem fra stasjonærpunktene
lage en skisse som er konsistent med vekst, krumning, ekstrempunkter og nullpunkter
sette opp tangentlinjen i et punkt med riktig stigningstall, og kontrollere svaret
lese av vekst, ekstrempunkter og krumning når grafen til den deriverte er oppgitt

4.5Drill: funksjonsdrøfting fra ende til annen

kjøre den åttestegs drøftingsalgoritmen i riktig rekkefølge under tidspress
velge riktig klassifiseringsmetode, også når andrederiverttesten ikke gir svar
avgjøre om et ekstrempunkt er lokalt eller globalt, og håndtere randen når området er begrenset
levere skisse og tangentlinje som er konsistente med egne utregninger

4.PPrøver til del 4: Endimensjonal funksjonsdrøfting

begrunne vekst- og krumningsintervaller med fortegnsskjema under tidspress
klassifisere stasjonærpunkter riktig også når andrederiverttesten ikke gir svar
føre randargumentet og skille lovlig verdisammenligning fra ugyldig tallinnsetting
levere en full drøfting med skisse og tangentlinje som er konsistent med egne utregninger

5Nivåkurver og implisitt derivasjon

5.1Nivåkurver og deres helning

forklare hva en nivåkurve er, og skrive den på formen $y=y(x)$ når det lar seg gjøre
utlede helningsformelen fra differensialet, med betingelsen for at den gjelder
finne helningen både med formelen og ved implisitt derivasjon, og bruke den ene som kontroll på den andre
tolke helningen økonomisk som bytteforhold mellom to goder, og knytte den til tangeringsbetingelsen i optimum

5.2Krumning på nivåkurven: $y''$ og «husk at $y=y(x)$»

derivere nivåkurvens helning én gang til, med riktig bruk av at $y$ er en funksjon av $x$
sette inn uttrykket for $y'$ underveis og forenkle svaret med kurvens egen likning
avgjøre om en nivåkurve er konveks eller konkav, med et argument som gjelder hele området
koble krumningen til avtakende bytteforhold og til hvordan kurven skal skisseres

5.PPrøver til del 5: Nivåkurver og implisitt derivasjon

finne nivåkurvens helning både med formelen og ved implisitt derivasjon, under tidspress
regne ut krumningen med korrekt bruk av at $y$ er en funksjon av $x$, og forenkle med kurvens likning
begrunne fortegn på helning og krumning for et helt område, ikke ved innsetting av et tall
skissere en nivåkurve konsistent med fortegnene, og tolke bytteforholdet økonomisk

6Fri optimering i to variabler

6.1Førsteordensbetingelser og Hesse-klassifisering

finne alle stasjonærpunkter til en funksjon av to variabler ved å løse likningssystemet fra førsteordensbetingelsene
regne ut Hesse-determinanten korrekt, med riktig fortegn på kryssleddet
klassifisere hvert kandidatpunkt som maksimum, minimum eller sadelpunkt og begrunne konklusjonen
gjenkjenne når testen ikke gir svar, og si det i stedet for å gjette

6.2Lokalt vs. globalt — og drill

gjennomføre hele Hesse-kjeden fra førsteordensbetingelser til klassifisert svar under tidspress
avgjøre om et lokalt resultat kan utvides til hele definisjonsområdet, og begrunne konklusjonen
vise at et lokalt ekstrempunkt ikke er globalt ved å oppgi ett punkt med bedre funksjonsverdi
skrive konklusjonen med riktig styrke — «lokalt» når bare det er vist

6.PPrøver til del 6: Fri optimering i to variabler

finne alle kandidatpunkter til en tovariabel funksjon under tidspress, uten å miste noen
regne ut Hesse-determinanten med riktig fortegn og klassifisere hvert punkt
avgjøre om et lokalt resultat gjelder globalt, og begrunne svaret
skissere nivåkurvebildet rundt et stasjonærpunkt konsistent med klassifiseringen

7Homogenitet og skalautbytte

7.1Homogene funksjoner og skalautbytte

avgjøre om en funksjon er homogen og finne graden ved å skalere alle variablene
konkludere at en funksjon ikke er homogen når faktoren ikke lar seg trekke rent ut
tolke graden som konstant, tiltakende eller avtakende skalautbytte
regne ut doblingsfaktoren riktig og skille homogenitetsgrad fra produksjonselastisitet

7.2Eulers teorem og homogenitet av deriverte (bevis-lett)

utlede Eulers relasjon fra homogenitetsidentiteten og begrunne valget av skaleringsfaktor
vise at de partiellderiverte til en homogen funksjon er homogene av grad k minus én
verifisere begge resultatene på konkrete funksjoner med tallkontroll
tolke Eulers relasjon som at faktorandelene summerer til én ved konstant skalautbytte

7.PPrøver til del 7: Homogenitet og skalautbytte

føre homogenitetstesten symbolsk og konkludere også når funksjonen ikke er homogen
regne ut skaleringseffekter riktig med faktoren t opphøyd i k
utlede Eulers relasjon og begrunne valget av skaleringsfaktor
tolke homogenitet i en produksjonskontekst som faktorandeler og skalauavhengige grenseprodukter

8Betinget optimering — Lagrange

8.1Lagrange-metoden: oppsett og førsteordensbetingelser

skille målfunksjon fra bibetingelse i en oppgavetekst og begrunne valget
sette opp Lagrange-funksjonen med riktig fortegn og riktig parentes
skrive de tre førsteordensbetingelsene nummerert, også når funksjonene er generelle
kontrollere et oppgitt kandidatpunkt mot alle tre betingelsene

8.2Eliminér $\lambda$: tangeringsbetingelsen og optimal etterspørsel

eliminere multiplikatoren ved å dele den ene førsteordensbetingelsen på den andre
tolke tangeringsbetingelsen som marginal substitusjonsrate lik prisforhold
utlede optimal etterspørsel og betinget faktoretterspørsel og forenkle sluttuttrykket
forkaste røtter utenfor definisjonsområdet med skriftlig begrunnelse

8.3Omhyllingsteoremet og skyggeprisen

bruke omhyllingsteoremet direkte i stedet for å reutlede det
tolke multiplikatoren som skyggepris på en ramme og som grensekostnad i produksjon
finne endringen i optimal verdi når en pris eller en vekt i målfunksjonen endres, med riktig fortegn
skille verdifunksjonens deriverte fra den partiellderiverte av målfunksjonen

8.4Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

skrive én generell førsteordensbetingelse for et problem med n variabler
begrunne symmetri eksplisitt i stedet for å påstå den
klassifisere kandidatpunkter ved å sammenligne funksjonsverdier
vurdere når en slik sammenligning gir en global konklusjon og når den ikke gjør det

8.5Drill: Lagrange fra ende til annen

gjennomføre hele Lagrange-oppskriften fra oppsett til kontrollert sluttsvar under tidspress
kjenne igjen hvilken variant av sjangeren en oppgavetekst beskriver
forkaste røtter utenfor definisjonsområdet og klassifisere ved funksjonsverdi
bruke omhyllingsteoremet direkte som halepunkt på en storoppgave

8.PPrøver til del 8: Betinget optimering — Lagrange

sette opp Lagrange-funksjonen og de tre førsteordensbetingelsene under tidspress
eliminere multiplikatoren og utlede optimal etterspørsel med forenklet sluttsvar
forkaste røtter utenfor definisjonsområdet med skriftlig begrunnelse
bruke omhyllingsteoremet direkte og klassifisere ved å sammenligne funksjonsverdier

9Produsentteori

9.1Profittmaksimering og faktoretterspørsel

sette opp profittfunksjonen til en bedrift og utlede førsteordensbetingelsen
kontrollere andreordensbetingelsen og si hvorfor den kreves
løse for faktoretterspørselen når teknologien er en potensfunksjon
tolke grenseinntektsproduktet økonomisk og gjenkjenne de vanligste fortegns- og eksponentfellene

9.2Kostnadsminimering: Cobb-Douglas, CES og substitusjonselastisitet

sette opp kostnadsminimeringsproblemet og utlede tangeringsbetingelsen mellom grenseprodukter og faktorpriser
finne betinget faktoretterspørsel og kostnadsfunksjon for Cobb-Douglas- og CES-teknologi
regne ut og tolke substitusjonselastisiteten, og skille den fra skalautbyttet
kjenne igjen de vanligste fortegns- og eksponentfellene i CES-algebraen

9.3Komparativ statikk via implisitt derivasjon — og drill

gjennomføre komparativ statikk ved å derivere førsteordensbetingelsen implisitt med hensyn på en parameter
avgjøre fortegnet på virkningen av en pris- eller lønnsendring og tolke det økonomisk
veksle sikkert mellom profittmaksimering og kostnadsminimering under tidspress
kontrollere egne svar mot bibetingelsen, andreordensbetingelsen og kostnadsandelene

9.PPrøver til del 9: Produsentteori

sette opp og løse profittmaksimeringsproblemet med kontrollert andreordensbetingelse under tidspress
finne betinget faktoretterspørsel og kostnad for Cobb-Douglas- og CES-teknologi
regne ut og tolke substitusjonselastisiteten og skille den fra skalautbyttet
gjennomføre komparativ statikk ved implisitt derivasjon og begrunne fortegnet

10Beredskap: invers, integrasjon, serier

10.1Inverse funksjoner

avgjøre om en funksjon har en invers ved å analysere fortegnet på den deriverte i hele definisjonsområdet
derivere den inverse funksjonen med den omvendte brøken, evaluert i riktig punkt
finne inversen eksplisitt der det lar seg gjøre, og velge riktig rot
besvare et sant-eller-usant-delpunkt om inverse funksjoner med full begrunnelse

10.2Elementær integrasjon

finne antideriverte av potenser, av én delt på x og av eksponentialfunksjoner
regne ut bestemte integraler ved korrekt grenseinnsetting og kontrollere svaret ved derivasjon
finne arealet mellom to kurver og skille areal fra integral med fortegn
besvare et sant-eller-usant-delpunkt om integraler med utregningen synlig

10.3Serier: endelige og geometriske summer

regne ut endelige summer ved utskriving og med de to standardformlene
kjenne igjen en geometrisk rekke og bestemme startledd og kvotient
avgjøre konvergens ut fra tallverdien til kvotienten og begrunne konklusjonen
regne ut nåverdien av en evig inntektsstrøm og forklare hvorfor den er følsom for diskonteringsfaktoren

10.PPrøver til del 10: Beredskap: invers, integrasjon, serier

avgjøre om en funksjon har invers og derivere inversen i riktig punkt
finne antideriverte og bestemte integraler og kontrollere svaret ved derivasjon
avgjøre konvergens for geometriske rekker og regne ut summen når kravet holder
besvare sant-eller-usant-delpunkter fra alle tre beredskapssjangrene med full begrunnelse

11Eksamenstrening

11.1Sant/usant-stordrillen: de tolv påstandstypene med begrunnelse

besvare en sant-eller-usant-påstand etter malen konklusjon pluss fullstendig begrunnelse
kjenne igjen hvilken av de tolv påstandstypene en formulering tilhører, og hente riktig begrunnelsesmal
felle en gal generell påstand med ett konkret motbevis i stedet for et generelt argument
arbeide gjennom et fullt oppgavesett uten hint og vurdere egen besvarelse mot en momentliste

11.2Øvingseksamen 1: moderne mal (nyttemaks + drøfting + nivåkurve)

gjennomføre et komplett eksamenssett på tid, uten hjelpemidler
fordele tiden mellom fem oppgaver etter poengvekting
føre løsninger med begrunnelse, forenkling og kontroll slik sensor forventer
tegne skisser som er konsistente med egne utregninger av fortegn og krumning

11.3Øvingseksamen 2: moderne mal (kostnadsmin + fri optimering + differensial)

gjennomføre et komplett eksamenssett på tid med en annen sjangermiks enn øvingseksamen 1
klassifisere flere stasjonære punkter med Hesse-determinanten og skille lokalt fra globalt
løse kostnadsminimering og tolke multiplikatoren som grensekostnad
kombinere lineær approksimasjon med elastisitetsregning og drøfte omsetning

11.4Øvingseksamen 3: utsatt-profil (produsentteori + CES)

gjennomføre et eksamenssett med utsatt-settenes tyngre produsent- og CES-profil
utlede tangeringsbetingelsen for CES-teknologi og finne betinget faktoretterspørsel
gjennomføre komparativ statikk og begrunne fortegnet med andreordensbetingelsen
begrunne symmetri i et n-variabelproblem og klassifisere ved å sammenligne funksjonsverdier

Tilbake til ECON1100 Matematikk I