7.1 Homogene funksjoner og skalautbytte

$$f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)\qquad\text{for alle }t>0$$

Tallet $k$ kalles homogenitetsgraden. Kravet «for alle $t$» er vesentlig: det holder ikke at likheten stemmer for én enkelt verdi av $t$. Graden trenger ikke være et helt tall — den kan godt være $\tfrac56$.

$$f(tx,ty)\ \longrightarrow\ \text{faktoriser}\ \longrightarrow\ t^{k}f(x,y)?$$

Lykkes det, er funksjonen homogen av grad $k$. Blir det stående ledd med ulike potenser av $t$, er den ikke homogen — og det er et fullgodt svar, ikke en mislykket utregning.

$$f(x,y)=Ax^{\alpha}y^{\beta}\ \Longrightarrow\ k=\alpha+\beta$$

Den multiplikative konstanten $A$ spiller ingen rolle. Dette er den vanligste formen i eksamensoppgavene, og den lar deg lese graden rett av uten å gjøre testen — men på en «vis at»-oppgave skal testen likevel føres.

$$f(K,L)=\big(K^{\gamma}+L^{\gamma}\big)^{\alpha/\gamma}\ \Longrightarrow\ k=\alpha$$

Hvorfor: skalering gir $\big((tK)^{\gamma}+(tL)^{\gamma}\big)^{\alpha/\gamma}=\big(t^{\gamma}(K^{\gamma}+L^{\gamma})\big)^{\alpha/\gamma}=t^{\alpha}f(K,L)$. Faktoren $t^{\gamma}$ trekkes ut av parentesen og opphøyes i $\alpha/\gamma$, slik at $\gamma$ stryker seg. Denne teknologien kommer igjen i produsentteorien i Del 9.

$$f(2x,2y)=2^{k}f(x,y)$$

Dette følger direkte av definisjonen med $t=2$. Faktoren er $2^{k}$, aldri $2k$ — det er den vanligste enkeltfeilen i sjangeren. For $k=3$ er svaret $8$, ikke $6$; for $k=\tfrac12$ er det $\sqrt2\approx 1{,}41$, ikke $1$.

$$k=1\ \text{konstant};\qquad k>1\ \text{tiltakende};\qquad k<1\ \text{avtakende}$$

Ved konstant skalautbytte gir en dobling av alt nøyaktig dobbelt produksjon. Ved tiltakende gir den mer enn dobbelt — stordriftsfordeler. Ved avtakende gir den mindre enn dobbelt.

$$\text{alle variabler ganget med }t\ \Longrightarrow\ f\ \text{ganget med }t^{k}$$

Kuttes alt med 20 prosent, er $t=0{,}8$, og produksjonen ganges med $0{,}8^{k}$. Med $k=\tfrac56$ blir det $0{,}8^{5/6}\approx 0{,}83$ — altså et fall på omtrent 17 prosent, mindre enn kuttet i innsatsfaktorene.

$$f(x,y)=\sqrt{3x^{2}+2xy+y^{2}}\ \text{er homogen av grad }1$$

Under rottegnet har hvert ledd grad 2, så hele parentesen er homogen av grad 2, og kvadratroten halverer graden. Regelen er generell: er alle ledd i en sum av samme grad, er summen homogen av den graden.

$$g\ \text{homogen av grad }k\ \Longrightarrow\ g^{\,n}\ \text{homogen av grad }nk$$

Hvorfor: $\big(g(tx,ty)\big)^{n}=\big(t^{k}g\big)^{n}=t^{nk}g^{n}$. Kvadratroten er tilfellet $n=\tfrac12$, som halverer graden — akkurat som i eksempelet over.

$$f(tx,ty)=t^{k}f(x,y)\qquad\text{for alle }t>0$$

At likheten stemmer for én verdi av $t$, beviser ingenting. Testen skal føres symbolsk, med $t$ stående.

$$\text{erstatt }x\to tx,\ y\to ty\ \to\ \text{samle }t\text{-ene}\ \to\ \text{trekk }t^{k}\ \text{ut}$$

Lykkes det siste steget, les av $k$. Blir det stående ulike potenser av $t$, er funksjonen ikke homogen — og det er svaret.

$$f(2x,2y)=2^{k}f(x,y),\qquad\text{ikke }2k\,f(x,y)$$

For $k=3$ er svaret $8$, ikke $6$. For $k=\tfrac56$ er det $1{,}78$, ikke $1{,}67$. Test alltid mot en stor $k$ hvis du er i tvil — der blir forskjellen umulig å overse.

$$k=1\ \text{konstant};\quad k>1\ \text{tiltakende};\quad k<1\ \text{avtakende}$$

Ved konstant skalautbytte gir en dobling av alt nøyaktig dobbelt produksjon. Ved avtakende reagerer produksjonen svakere enn innsatsfaktorene, i begge retninger.

$$f=Ax^{\alpha}y^{\beta}\ \Longrightarrow\ k=\alpha+\beta$$

Den multiplikative konstanten $A$ spiller ingen rolle. Ber oppgaven om at du skal vise det, må testen likevel føres — svaret alene gir lite uttelling.

$$\big(K^{\gamma}+L^{\gamma}\big)^{\alpha/\gamma}\ \Longrightarrow\ k=\alpha$$

Skaleringen gir $t^{\gamma}$ inne i parentesen, og opphøyd i $\alpha/\gamma$ blir det $t^{\alpha}$. Funksjonen brukes igjen i produsentteorien.

$$x^{2}y^{3}+x^{4}y\ \text{(begge grad 5)}\ \text{homogen};\qquad x^{2}+y\ \text{ikke}$$

Regn graden til hvert ledd for seg og sammenlign. Er de like, er summen homogen av den graden; er de ulike, er den ikke homogen.

$$f=x^{2}y+3\ \Longrightarrow\ \text{ikke homogen}$$

Konstanten blir stående uendret under skalering, mens resten ganges med $t^{k}$. Eneste unntak er at konstanten er null — da er den ikke der.

$$\deg(fg)=k+n;\qquad \deg(f/g)=k-n;\qquad \deg\big(f^{\,n}\big)=nk$$

Multiplikasjon legger sammen, divisjon trekker fra, potens ganger opp. En kvadratrot er tilfellet $n=\tfrac12$ og halverer derfor graden.

$$\mathrm{El}_K Q=\alpha\ \text{(bare }K\text{ endres)};\qquad k=\alpha+\beta\ \text{(alt endres)}$$

Homogenitetsgraden er summen av de partielle produksjonselastisitetene. De er bare like når den andre faktoren ikke inngår.

$$t=0{,}7,\ k=0{,}9\ \Longrightarrow\ \text{faktor}\ 0{,}7^{0{,}9}\approx 0{,}726$$

Et kutt på 30 prosent i alle innsatsfaktorer gir omtrent 27 prosent fall i produksjonen når skalautbyttet er avtakende. Effekten er dempet i begge retninger.

$$Q(2K,L)\ne 2^{k}Q(K,L)\ \text{generelt}$$

Dobles bare kapitalen, gjelder den partielle effekten, og den styres av avtakende grenseprodukt. For $Q=\big(\sqrt K+\sqrt L\big)^{2}$ med $K=L=4$ gir en dobling av $K$ alene bare 46 prosent økning, mot 100 prosent når begge dobles.