9.2 Kostnadsminimering: Cobb-Douglas, CES og substitusjonselastisitet

$$F'_K=\tfrac12 K^{-1/2}L^{1/2},\qquad F'_L=\tfrac12 K^{1/2}L^{-1/2}$$

Forholdet forenkles ved å legge sammen eksponentene:

$$\frac{F'_K}{F'_L}=\frac{\tfrac12 K^{-1/2}L^{1/2}}{\tfrac12 K^{1/2}L^{-1/2}}=K^{-1}L^{1}=\frac{L}{K}$$

Mellomregning: $K^{-1/2-1/2}=K^{-1}$ og $L^{1/2+1/2}=L^{1}$.

Tangeringsbetingelsen blir dermed

$$\frac{L}{K}=\frac{r}{w}=\frac{4}{9}\ \Longrightarrow\ L=\frac{4}{9}K$$

b) Sett inn i produksjonskravet.

$$K^{1/2}\left(\tfrac49 K\right)^{1/2}=60\ \Longrightarrow\ K\cdot\left(\tfrac49\right)^{1/2}=60\ \Longrightarrow\ \tfrac23 K=60$$

$$\boxed{K^*=90,\qquad L^*=\tfrac49\cdot 90=40}$$

Kontroll av bibetingelsen: $\sqrt{90}\cdot\sqrt{40}=\sqrt{3600}=60$ ✓

c) Kostnaden:

$$rK^*+wL^*=4\cdot 90+9\cdot 40=360+360=720$$

Rimelighetssjekk: prøv en nabokombinasjon som også klarer kravet, for eksempel $K=100$, som krever $L=3600/100=36$. Da blir kostnaden $4\cdot 100+9\cdot 36=400+324=724>720$ ✓ Og $K=80$ krever $L=45$: $320+405=725>720$ ✓

Verbal konklusjon: gartneriet bruker 90 enheter kapital og 40 enheter arbeid, og 60 tonn koster da 720. Legg merke til at de to kostnadspostene ble like store — det er ingen tilfeldighet når eksponentene er like, og vi kommer tilbake til det i Løkke 4.

$$\frac{a}{b}\cdot\frac{L}{K}=\frac{1/3}{2/3}\cdot\frac{L}{K}=\frac12\cdot\frac{L}{K}=\frac{r}{w}=\frac{1}{16}$$

$$\Longrightarrow\ \frac{L}{K}=\frac{2}{16}=\frac18\ \Longrightarrow\ L=\tfrac18 K$$

Sett inn i produksjonskravet:

$$K^{1/3}\left(\tfrac18 K\right)^{2/3}=K\cdot\left(\tfrac18\right)^{2/3}=K\cdot\tfrac14=10$$

Mellomregning: $\left(\tfrac18\right)^{2/3}=\left(\tfrac12\right)^{2}=\tfrac14$, siden $8^{1/3}=2$.

$$\boxed{K^*=40,\qquad L^*=5}$$

Kontroll: $40^{1/3}\cdot 5^{2/3}=\left(40\cdot 25\right)^{1/3}=1000^{1/3}=10$ ✓

b) Kostnaden:

$$1\cdot 40+16\cdot 5=40+80=120$$

Andelene er

$$\frac{rK^*}{C}=\frac{40}{120}=\frac13,\qquad \frac{wL^*}{C}=\frac{80}{120}=\frac23$$

Andelene er nøyaktig eksponentene. Det er ikke tilfeldig, og gjelder generelt for Cobb-Douglas med $a+b=1$ — vi viser det i Løkke 4.

c) Generelt. Med $a=\tfrac13$, $b=\tfrac23$ gir tangeringsbetingelsen $L=\dfrac{2r}{w}K$. Innsatt:

$$K^{1/3}\left(\frac{2r}{w}K\right)^{2/3}=K\left(\frac{2r}{w}\right)^{2/3}=\bar Y$$

$$\boxed{K^*=\bar Y\left(\frac{w}{2r}\right)^{2/3},\qquad L^*=\bar Y\left(\frac{2r}{w}\right)^{1/3}}$$

Kontroll med tallene fra a): $K^*=10\left(\tfrac{16}{2}\right)^{2/3}=10\cdot 8^{2/3}=10\cdot 4=40$ ✓ og $L^*=10\left(\tfrac{2}{16}\right)^{1/3}=10\cdot\tfrac12=5$ ✓

Legg merke til: begge uttrykkene er proporsjonale med $\bar Y$, og de avhenger av $r$ og $w$ bare gjennom forholdet. Dobler du begge prisene, endres ingen av mengdene.

$$\sigma=\frac{1}{\gamma-1}=\frac{1}{\tfrac12-1}=\frac{1}{-\tfrac12}=-2$$

Tolkning: stiger $r/w$ med én prosent, faller $K/L$ med omtrent to prosent. Faktorene er altså lette å bytte — kraftprodusenten svarer kraftig på prisendringer.

b) Tangeringsbetingelsen:

$$\left(\frac{K}{L}\right)^{\gamma-1}=\left(\frac{K}{L}\right)^{-1/2}=\frac{r}{w}=\frac{2}{6}=\frac13$$

Snu begge sider (negativ eksponent):

$$\left(\frac{K}{L}\right)^{1/2}=3\ \Longrightarrow\ \frac{K}{L}=9\ \Longrightarrow\ K=9L$$

Kontroll mot formelen: $\left(r/w\right)^{1/(\gamma-1)}=\left(\tfrac13\right)^{-2}=9$ ✓

Sett inn i produksjonskravet. Ta kvadratrota av begge sider først — det er enklere enn å kvadrere ut:

$$\left(K^{1/2}+L^{1/2}\right)^{2}=64\ \Longrightarrow\ K^{1/2}+L^{1/2}=8$$

Med $K=9L$ er $K^{1/2}=3L^{1/2}$, så

$$3L^{1/2}+L^{1/2}=4L^{1/2}=8\ \Longrightarrow\ L^{1/2}=2\ \Longrightarrow\ \boxed{L^*=4,\qquad K^*=36}$$

Kontroll: $\left(\sqrt{36}+\sqrt{4}\right)^{2}=(6+2)^{2}=64$ ✓

c) Kostnaden:

$$C=2\cdot 36+6\cdot 4=72+24=96$$

Generelt for denne teknologien. Tangeringsbetingelsen $K/L=\left(w/r\right)^{2}$ er det samme som $K^{1/2}=\dfrac{w}{r}L^{1/2}$, og satt inn i produksjonskravet $K^{1/2}+L^{1/2}=\bar Y^{1/2}$ gir det

$$L^{1/2}\left(\frac{w}{r}+1\right)=\bar Y^{1/2}\ \Longrightarrow\ L^{1/2}=\frac{r\,\bar Y^{1/2}}{r+w}$$

$$L^*=\frac{r^{2}\bar Y}{(r+w)^{2}},\qquad K^*=\frac{w^{2}\bar Y}{(r+w)^{2}}$$

$$C=rK^*+wL^*=\frac{\bar Y\left(rw^{2}+wr^{2}\right)}{(r+w)^{2}}=\frac{\bar Y\,rw(r+w)}{(r+w)^{2}}=\boxed{\frac{rw}{r+w}\,\bar Y}$$

Kontroll med tallene: $\dfrac{2\cdot 6}{8}\cdot 64=\dfrac{12}{8}\cdot 64=96$ ✓

Verbal konklusjon: produsenten bruker 36 enheter kapital og 4 enheter arbeid, og kravet på 64 koster 96. Kostnadsfunksjonen er lineær i $\bar Y$, som den skal være når $\alpha=1$ og teknologien har konstant skalautbytte.

$$\frac{F'_K}{F'_L}=\frac{\alpha\left(K^{\gamma}+L^{\gamma}\right)^{\alpha/\gamma-1}K^{\gamma-1}}{\alpha\left(K^{\gamma}+L^{\gamma}\right)^{\alpha/\gamma-1}L^{\gamma-1}}=\left(\frac{K}{L}\right)^{\gamma-1}$$

Både $\alpha$ og hele parentesen er felles faktorer i teller og nevner og forkortes bort. Tangeringsbetingelsen blir

$$\left(\frac{K}{L}\right)^{\gamma-1}=\frac{r}{w}\ \Longrightarrow\ \frac{K}{L}=\left(\frac{r}{w}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$$

Høyresiden inneholder verken $\alpha$ eller $\bar Y$ ✓

Økonomisk lesning: hvor mye bedriften produserer, og hvor gunstig skalaen er, påvirker ikke blandingen av kapital og arbeid. Bare det relative prisforholdet gjør det. Bedriften skalerer opp langs en rett stråle fra origo.

b) Homogenitetsgraden. Sett inn $tK$ og $tL$:

$$F(tK,tL)=\left(t^{\gamma}K^{\gamma}+t^{\gamma}L^{\gamma}\right)^{\alpha/\gamma}=\left(t^{\gamma}\left(K^{\gamma}+L^{\gamma}\right)\right)^{\alpha/\gamma}=t^{\alpha}F(K,L)$$

Mellomregning: $\left(t^{\gamma}\right)^{\alpha/\gamma}=t^{\gamma\cdot\alpha/\gamma}=t^{\alpha}$.

Funksjonen er altså homogen av grad $k=\alpha$, og skalautbyttet er $\alpha$.

Hva det betyr for kostnaden: doble alle faktorer, og produksjonen ganges med $2^{\alpha}$ (ikke $2\alpha$). Skal produksjonen dobles, må faktorene ganges med $2^{1/\alpha}$, og siden mengdene skaleres i takt, ganges kostnaden med det samme:

$$C(r,w,\bar Y)=\bar Y^{1/\alpha}\,c(r,w)$$

Med $\alpha>1$ vokser kostnaden saktere enn produksjonen — stordriftsfordeler. Med $\alpha<1$ raskere.

c) Påstanden er usann.

Begrunnelse: de to størrelsene styres av hver sin parameter, og de er uavhengige.

$$\text{Skalautbyttet}=\alpha,\qquad \sigma=\frac{1}{\gamma-1}$$

$\sigma$ inneholder ikke $\alpha$ i det hele tatt. Du kan holde $\gamma$ fast og øke $\alpha$ så mye du vil — $\sigma$ står stille. Det følger direkte av a): $\alpha$ forkortes bort allerede i forholdet mellom grenseproduktene, som er nettopp der $\sigma$ kommer fra.

Konkret motbevis: $\gamma=\tfrac12$ gir $\sigma=-2$ enten $\alpha=1$ (konstant skalautbytte) eller $\alpha=3$ (kraftig økende). Skalautbyttet er tredoblet, $\sigma$ er uendret ✓

Konklusjon: CES-familien skiller de to egenskapene i hver sin parameter — $\gamma$ styrer substitusjon, $\alpha$ styrer skala. Det er nettopp derfor familien er nyttig.