9.3 Komparativ statikk via implisitt derivasjon — og drill

Hvordan optimale valg endres med en parameter (lønn, pris): implisitt derivasjon av FOB — pluss drill på hele produsentpakken.

50 min

11 oppgaver

Komparativ statikk via implisitt derivasjondrill

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

9.1Profittmaksimering og faktoretterspørsel 5.1Nivåkurver og deres helning

Brukes videre i

9.PPrøver til del 9: Produsentteori

Dette er drillkapitlet for hele produsentpakken — og for det ene grepet som skiller en god produsentoppgave fra en middels: komparativ statikk.

Sjanger PR — produsentteori står i 8 av 16 sett (3 av 9 ordinære, 5 av 7 utsatte). Varianten som gjentar seg på utsatt-settene er den som spør hva som skjer med den optimale løsningen når en pris endrer seg, og som ber om fortegnet på en derivert du ikke kan regne ut eksplisitt.

Tre varianter roterer:

1. Profittmaksimering — sett opp, finn $N^*$ , kontroller andreordensbetingelsen (kap. 9.1).
2. Kostnadsminimering — tangeringsbetingelse, betinget faktoretterspørsel, Cobb-Douglas eller CES (kap. 9.2).
3. Komparativ statikk — implisitt derivasjon av førsteordensbetingelsen, med økonomisk tolkning av fortegnet.

Hvorfor komparativ statikk er verdt tiden sin: teknikken er implisitt derivasjon fra kap. 5.1, brukt på en likevektsbetingelse i stedet for på en nivåkurve. Har du én gang skjønt at $N^*$ er en funksjon av $w$ — og derfor krever kjerneregelen — er resten mekanisk.

Kapitlet er en drill: elleve oppgaver på eksamensnivå etter én gjennomregnet case. Tidsanslaget er 50 minutter, og oppgavene er delt i tre bolker med naturlige pausepunkter mellom.

Kilde for tallene: Skolesagas gjennomgang av 16 eksamenssett fra Økonomisk institutt, UiO (9 ordinære, 7 utsatte, V2018–H2025), hvorav 14 med offisiell sensorveiledning.

Forkunnskaper. Kapitlet driller kap. 9.1 og kap. 9.2, og bruker implisitt derivasjon fra kap. 5.1.

Sist du var her — de fire linjene alt bygger på:

$p\,F'(N)=w\qquad\text{— førsteordensbetingelsen i profittmaksimering}$

$\pi''(N)=p\,F''(N)\le 0\qquad\text{— andreordensbetingelsen; avtakende grenseprodukt}$

$\frac{F'_K}{F'_L}=\frac{r}{w}\qquad\text{— tangeringsbetingelsen i kostnadsminimering}$

$\sigma=\frac{1}{\gamma-1}\qquad\text{— substitusjonselastisiteten for CES-teknologi}$

Løsningsoppskriften for produsentoppgaven

Steg 1 — Les hvilket problem det er. Er mengden gitt og kostnaden fri? Da er det kostnadsminimering. Er mengden fri og prisene gitt? Da er det profittmaksimering. Ordene «skal levere», «produksjonskravet er» og «minimer kostnaden» peker på den første; «maksimer profitten» og «hvor mange skal bedriften ansette» på den andre.

Steg 2 — Skriv opp betingelsen.

$\text{Profittmaks: } p\,F'(N)=w\qquad\text{Kostnadsmin: } \frac{F'_K}{F'_L}=\frac{r}{w}\ \text{ og }\ F(K,L)=\bar Y$

Steg 3 — Løs for faktoretterspørselen. La prisene stå som bokstaver hvis oppgaven ber om en funksjon. Kontroller ved å sette svaret tilbake i betingelsen.

Steg 4 — Komparativ statikk. Deriver betingelsen implisitt med hensyn på den parameteren oppgaven spør om. Husk at $N^*$ selv avhenger av parameteren — det er der kjerneregelen kommer inn.

Steg 5 — Tolk fortegnet økonomisk. Ett fortegn uten setning er et halvt svar. Skriv ut hva det betyr: «høyere lønn gir lavere sysselsetting, fordi …»

Tidsbudsjett på eksamen: en full PR-oppgave er verdt 18–22 poeng, altså rundt 35 minutter. Steg 1–3 tar mesteparten; steg 4–5 er ofte bare noen linjer, men de er de linjene som skiller besvarelsene.

Metoden: implisitt derivasjon av førsteordensbetingelsen

Utledning med intuisjon. Førsteordensbetingelsen i profittmaksimering er

$p\,F'\!\left(N^*\right)=w$

Dette er ikke bare en likning i $N$ — det er en identitet i $w$ . Uansett hvilken lønn markedet setter, tilpasser bedriften seg slik at likningen holder. Derfor kan vi derivere begge sider med hensyn på $w$ .

Intuisjon: venstresiden er ikke konstant. Endrer $w$ seg, flytter $N^*$ seg, og da flytter $F'(N^*)$ seg også. Det er en sammensatt funksjon, og kjerneregelen må brukes.

$\frac{d}{dw}\Big[p\,F'\!\left(N^*\right)\Big]=\frac{d}{dw}\big[w\big]\ \Longrightarrow\ p\,F''\!\left(N^*\right)\cdot\frac{dN^*}{dw}=1$

$\boxed{\frac{dN^*}{dw}=\frac{1}{p\,F''\!\left(N^*\right)}}$

Intuisjon: nevneren er nettopp andreordensbetingelsen. Er den oppfylt ( $F''<0$ ), er brøken negativ — sysselsettingen faller når lønna stiger. Fortegnet følger av andreordensbetingelsen, ikke av teknologiens formel. Derfor gjelder svaret for enhver produktfunksjon med avtakende grenseprodukt, også en som ikke er oppgitt.

Samme grep for produktprisen. Deriver identiteten med hensyn på $p$ . Nå er venstresiden et produkt, så produktregelen først:

$F'\!\left(N^*\right)+p\,F''\!\left(N^*\right)\cdot\frac{dN^*}{dp}=0\ \Longrightarrow\ \frac{dN^*}{dp}=-\frac{F'\!\left(N^*\right)}{p\,F''\!\left(N^*\right)}$

Med $F'>0$ og $F''<0$ er telleren negativ og nevneren negativ, så brøken er positiv: høyere produktpris gir høyere sysselsetting. Det stemmer med intuisjonen — blir varen mer verdt, lønner det seg å produsere mer av den.

✏️Gjennomregnet eksamenscase — med kommentarer om hvor poengene ligger

En møbelfabrikk har produktfunksjonen $F(N)=8\sqrt N$ , der $N$ er sysselsetting. Produktprisen er $p=5$ og lønna $w=4$ .

a) Finn den profittmaksimerende sysselsettingen $N^*$ , og kontroller andreordensbetingelsen.

b) Finn $\dfrac{dN^*}{dw}$ ved implisitt derivasjon av førsteordensbetingelsen, og regn ut tallverdien.

c) Kontroller svaret i b) ved å finne $N^*(w)$ eksplisitt og derivere.

d) Finn fortegnet på $\dfrac{dN^*}{dp}$ uten å regne ut tallverdien, og tolk resultatet.

a) Førsteordensbetingelsen.

$F'(N)=8\cdot\frac{1}{2\sqrt N}=\frac{4}{\sqrt N},\qquad p\,F'(N)=w\ \Longrightarrow\ \frac{20}{\sqrt N}=4$

$\sqrt N=5\ \Longrightarrow\ \boxed{N^*=25}$

Andreordensbetingelsen:

$F''(N)=4\cdot\left(-\tfrac12\right)N^{-3/2}=-2N^{-3/2}<0\quad\text{for alle }N>0$

Siden $\pi''(N)=pF''(N)<0$ i hele definisjonsområdet, er profittfunksjonen konkav overalt, og $N^*=25$ er et globalt maksimum.

Her ligger poengene: å skrive « $F''<0$ for alle $N>0$ » i stedet for bare « $F''(25)<0$ ». Den første setningen gir globalt maksimum, den andre bare lokalt.

b) Implisitt derivasjon. Betingelsen $pF'(N^*)=w$ holder for enhver $w$ . Deriver begge sider med hensyn på $w$ , og husk at $N^*=N^*(w)$ :

$p\,F''\!\left(N^*\right)\cdot\frac{dN^*}{dw}=1\ \Longrightarrow\ \frac{dN^*}{dw}=\frac{1}{p\,F''\!\left(N^*\right)}$

Regn ut nevneren i punktet $N^*=25$ :

$F''(25)=-2\cdot 25^{-3/2}=-\frac{2}{125},\qquad p\,F''(25)=5\cdot\left(-\frac{2}{125}\right)=-\frac{2}{25}$

$\frac{dN^*}{dw}=\frac{1}{-2/25}=\boxed{-12{,}5}$

Her ligger poengene: kjerneregelen. Glemmer du at $N^*$ avhenger av $w$ , blir venstresiden null og du får $0=1$ — en umulighet som burde vært et varselsignal.

c) Kontroll ved eksplisitt derivasjon. Løs førsteordensbetingelsen for $N$ med $w$ som bokstav:

$\frac{20}{\sqrt N}=w\ \Longrightarrow\ \sqrt N=\frac{20}{w}\ \Longrightarrow\ N^*(w)=\frac{400}{w^{2}}$

$\frac{dN^*}{dw}=-\frac{800}{w^{3}}$

Sett inn $w=4$ :

$-\frac{800}{64}=-12{,}5\ ✓$

Samme svar ✓

Her ligger poengene: de to veiene er likeverdige når teknologien er oppgitt på formel. Er den ikke oppgitt, finnes bare den implisitte veien — og det er nettopp den situasjonen eksamensoppgaven pleier å konstruere.

d) Fortegnet på $dN^*/dp$ . Deriver identiteten $pF'(N^*)=w$ med hensyn på $p$ . Venstresiden er et produkt av $p$ og $F'(N^*)$ , der begge avhenger av $p$ :

$F'\!\left(N^*\right)+p\,F''\!\left(N^*\right)\frac{dN^*}{dp}=0\ \Longrightarrow\ \frac{dN^*}{dp}=-\frac{F'\!\left(N^*\right)}{p\,F''\!\left(N^*\right)}$

Fortegnsanalyse ledd for ledd:

- $F'(N^*)>0$ — grenseproduktet er positivt (flere arbeidere gir mer produksjon).
- $p>0$ og $F''(N^*)<0$ , så nevneren $pF''<0$ .
- Minustegnet foran og en negativ nevner gir til sammen et positivt uttrykk.

$\frac{dN^*}{dp}>0$

Tolkning: høyere produktpris gir høyere sysselsetting. Blir møblene mer verdt, er den neste arbeiderens produksjon verdt mer i kroner, og da lønner det seg å ansette flere.

Kontroll for egen del: her er $N^*(p)=\left(\tfrac{p\cdot 4}{4}\right)^{2}=p^{2}$ , så $dN^*/dp=2p=10>0$ ✓

Her ligger poengene: fortegnsargumentet er selve svaret. En besvarelse som bare skriver « $dN^*/dp>0$ » uten fortegnsanalysen får delvis uttelling, og en som bare skriver «10» har ikke besvart spørsmålet — det ble spurt om fortegnet uten tallverdi.

De fire feilene drillen skal utrydde

- Å behandle $N^*$ som en konstant. Dette er slektningen av feil #3 (glemme at $y=y(x)$ når nivåkurvens andrederiverte regnes ut). Når du deriverer $pF'(N^*)=w$ , er $N^*$ en funksjon av parameteren, og kjerneregelen gir faktoren $dN^*/dw$ . Uten den får du $0=1$ .
- Å blande $r/w$ og $w/r$ i tangeringsbetingelsen. Kontrollen tar to sekunder: er lønna høy, skal $L^*$ være liten. Gir svaret ditt det motsatte, har du snudd brøken.
- Å oppgi et fortegn uten begrunnelse. « $dN^*/dw<0$ » alene er ubegrunnet ja/nei (#9 — ubegrunnet konklusjon gir null uttelling). Skriv ut hvorfor: fordi $F''<0$ etter andreordensbetingelsen, er nevneren negativ.
- Å glemme prisen $p$ i førsteordensbetingelsen. Betingelsen er $pF'(N)=w$ . Skriver du $F'(N)=w$ , sammenligner du en varemengde med et kronebeløp, og hele den komparative statikken arver feilen.

Bolk A — profittmaksimering og faktoretterspørsel

Fire oppgaver på grunnvarianten. Her skal oppsettet og andreordensbetingelsen sitte i fingrene.

📝Oppgave 1

En bedrift har produktfunksjonen $F(N)=6N^{2/3}$ , produktpris $p=2$ og lønn $w=4$ .

a) Finn $N^*$ og kontroller andreordensbetingelsen.

b) Finn $\dfrac{dN^*}{dw}$ ved implisitt derivasjon, og regn ut tallverdien.

c) Kontroller ved å finne $N^*(w)$ eksplisitt.

📝Oppgave 2

Sjanger PR

En bedrift har $F(N)=10\sqrt N$ og produktpris $p=8$ . Lønna er $w=5$ , men bedriften betaler i tillegg en arbeidsgiveravgift på $t$ ganger lønna, slik at samlet arbeidskraftkostnad per enhet er $w(1+t)$ .

a) Skriv førsteordensbetingelsen, og finn $N^*(t)$ .

b) Finn $\dfrac{dN^*}{dt}$ og tallverdien ved $t=0$ .

c) Hvor mange prosent faller sysselsettingen hvis avgiften settes til 10 prosent? Sammenlign med det elastisitetsregningen antyder.

📝Oppgave 3

Sjanger PR

En bedrift maksimerer $\pi(N)=pF(N)-wN$ , der $F$ ikke er oppgitt på formel, men oppfyller $F'(N)>0$ og $F''(N)<0$ for alle $N>0$ .

a) Vis ved implisitt derivasjon at $\dfrac{dN^*}{dp}=-\dfrac{F'(N^*)}{p\,F''(N^*)}$ .

b) Bestem fortegnet, og tolk det økonomisk.

c) Hva ville skjedd med argumentet hvis andreordensbetingelsen ikke var oppfylt?

📝Oppgave 4

Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) «Fortegnet på $dN^*/dw$ avhenger av hvilken produktfunksjon bedriften har.»

b) «For $F(N)=AN^{a}$ med $0<a<1$ er $\mathrm{El}_w N^*=-\dfrac{1}{1-a}$ .»

c) «I komparativ statikk kan man behandle $N^*$ som en konstant fordi den er bestemt av førsteordensbetingelsen.»

Bolk B — kostnadsminimering

— naturlig pausepunkt —

Tre oppgaver på tangeringsbetingelsen, Cobb-Douglas og CES. Her er det algebraen som skal sitte.

📝Oppgave 5

Sjanger PR

En bedrift har $F(K,L)=K^{2/5}L^{3/5}$ , kapitalpris $r=2$ , lønn $w=3$ og skal produsere $\bar Y=50$ .

a) Finn tangeringsbetingelsen og faktorforholdet $K/L$ .

b) Finn $K^*$ , $L^*$ og kostnaden.

c) Kontroller svaret med andelsregelen.

📝Oppgave 6

Sjanger PR

En bedrift har $F(K,L)=\left(K^{1/3}+L^{1/3}\right)^{3}$ , kapitalpris $r=1$ , lønn $w=4$ og produksjonskrav $\bar Y=27$ .

a) Finn substitusjonselastisiteten.

b) Finn $K^*$ og $L^*$ .

c) Finn kostnaden.

📝Oppgave 7

Sjanger PR

En bedrift har

F(K,L)=K^{a}L^{b}

og betinget faktoretterspørsel

$K^*=\left[\bar Y\left(\frac{aw}{br}\right)^{b}\right]^{\frac{1}{a+b}}.$

a) Finn $\mathrm{El}_w K^*$ .

b) Bestem fortegnet, og forklar økonomisk hvorfor det er slik.

c) Finn $\mathrm{El}_r K^*$ , og forklar hvorfor de to elastisitetene er like store med motsatt fortegn.

Bolk C — eksamensnivå

— naturlig pausepunkt —

Fire oppgaver på utsatt-nivå: generelle funksjoner, sammensatte krav og full oppgavelengde.

📝Oppgave 8

Sjanger PR

En bedrift maksimerer $pF(N)-wN$ med $F'>0$ og $F''<0$ .

a) Vis at $\mathrm{El}_w N^*=\dfrac{F'(N^*)}{N^*\,F''(N^*)}$ .

b) Kontroller formelen for $F(N)=AN^{a}$ med $0<a<1$ .

c) Bruk formelen til å avgjøre om faktoretterspørselen er elastisk eller uelastisk når $a=\tfrac13$ , og tolk.

📝Oppgave 9

Sjanger PR og HG

En bedrift har CES-teknologien

F(K,L)=\left(K^{1/2}+L^{1/2}\right)^{2\alpha}

med

\alpha>0

, kapitalpris

r

, lønn

w

og produksjonskrav

\bar Y

. Kostnadsfunksjonen er

$C(r,w,\bar Y)=\frac{rw}{r+w}\,\bar Y^{\frac{1}{\alpha}}.$

a) Bestem homogenitetsgraden til $F$ , og si hva slags skalautbytte teknologien har for $\alpha=2$ .

b) Vis at $C$ er homogen av grad 1 i prisene.

c) Finn $\dfrac{\partial C}{\partial \bar Y}$ for $\alpha=2$ , og forklar hva størrelsen betyr og hvordan den utvikler seg med $\bar Y$ .

📝Oppgave 10

Sjanger PR

En bedrift maksimerer $\pi(K,N)=pF(K,N)-rK-wN$ med produktfunksjonen $F(K,N)=K^{1/3}N^{1/3}$ . Produktprisen er $p=27$ , kapitalprisen $r=3$ og lønna $w=3$ .

a) Sett opp de to førsteordensbetingelsene.

b) Finn $K^*$ og $N^*$ .

c) Kontroller med Hesse-determinanten at punktet er et maksimum, og finn profitten.

📝Oppgave 11

Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn hver av dem.

a) «For CES-teknologi avhenger substitusjonselastisiteten av skalaparameteren $\alpha$ .»

b) «Når produksjonskravet $\bar Y$ dobles, dobles den betingede faktoretterspørselen — uansett teknologi.»

c) «Hvis $F''(N)=0$ i det stasjonære punktet, er implisitt derivasjon av førsteordensbetingelsen fortsatt mulig.»

d) «Kostnadsfunksjonen $C(r,w,\bar Y)$ er homogen av grad 1 i prisene, mens den betingede faktoretterspørselen er homogen av grad 0.»

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Femstegsoppskriften for produsentoppgaven

1)\ \text{hvilket problem};\ 2)\ \text{betingelsen};\ 3)\ \text{løs};\ 4)\ \text{implisitt derivasjon};\ 5)\ \text{tolk fortegnet}

Komparativ statikk ved implisitt derivasjon

p\,F'\!\left(N^*\right)=w\ \Longrightarrow\ p\,F''\!\left(N^*\right)\frac{dN^*}{dw}=1

Lønnsvirkningen på sysselsettingen

\frac{dN^*}{dw}=\frac{1}{p\,F''\!\left(N^*\right)}<0\quad\text{når }F''<0

Prisvirkningen på sysselsettingen

p

Den generelle lønnselastisiteten

\mathrm{El}_w N^*=\frac{F'\!\left(N^*\right)}{N^*\,F''\!\left(N^*\right)}

Varselsignalet: 0 = 1

\text{Glemt kjerneregel}\ \Longrightarrow\ 0=1

Elastisitetene i betinget faktoretterspørsel

\mathrm{El}_w K^*=\frac{b}{a+b}>0,\qquad \mathrm{El}_r K^*=-\frac{b}{a+b}

De to homogenitetsgradene

K^*(tr,tw,\bar Y)=K^*(r,w,\bar Y);\qquad C(tr,tw,\bar Y)=t\,C(r,w,\bar Y)

Skalautbytte og hvor mye mer som trengs

F\ \text{homogen av grad }k\ \Longrightarrow\ K^*\propto\bar Y^{1/k}

Varselsignaler i oppgaveteksten

\bar Y\ \text{oppgitt}\ \to\ \text{kostnadsmin};\qquad p,w\ \text{oppgitt}\ \to\ \text{profittmaks}

Kontrollene som alltid virker

1)\ p\,F'\!\left(N^*\right)\overset{?}{=}w;\qquad 2)\ F\!\left(K^*,L^*\right)\overset{?}{=}\bar Y;\qquad 3)\ \frac{rK^*}{C}\overset{?}{=}\frac{a}{a+b}

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.