9.1 Profittmaksimering og faktoretterspørsel

$$Q=F(N)$$

Her er $N$ sysselsettingen — antall arbeidere eller arbeidstimer — og $Q$ produsert mengde. Standardformene i eksamensarkivet er $F(N)=A N^{a}$ med $0<a<1$, og $F(N)=A\sqrt N$, som er samme form med $a=\tfrac12$. Bokstaven $N$ brukes gjennomgående for sysselsetting, slik at $L$ kan reserveres for Lagrange-funksjonen.

$$F'(N)=\text{grenseprodukt av arbeid}$$

Det er ren derivasjon, men navnet er verdt å kunne: sensor bruker det, og det gjør tolkningen kortere. For $F(N)=10\sqrt N$ er grenseproduktet $F'(N)=\dfrac{5}{\sqrt N}$, som avtar når $N$ vokser — den tiende arbeideren tilfører mindre enn den første.

$$\pi(N)=p\,F(N)-wN$$

Her er $p$ produktprisen og $w$ lønna per enhet arbeid. Begge er gitte for bedriften: den er så liten at den ikke påvirker markedsprisene, og velger bare $N$. Det er derfor problemet har én variabel og ingen bibetingelse.

$$\pi'(N)=p\,F'(N)-w=0\ \Longleftrightarrow\ p\,F'(N)=w$$

Venstresiden $pF'(N)$ heter grenseinntektsproduktet: verdien av det den neste arbeideren produserer. Høyresiden er hva hun koster. Merk prisen $p$ på venstresiden. Å skrive $F'(N)=w$ er den enkeltfeilen som oftest ødelegger denne oppgavetypen — den sammenligner en mengde med en pengesum, som ikke engang har samme enhet.

$$\pi''(N)=p\,F''(N)\le 0\ \Longleftrightarrow\ F''(N)\le 0\quad (\text{siden }p>0)$$

Legg merke til at lønnskostnaden $-wN$ er lineær og forsvinner ved andre derivasjon. Kravet gjelder derfor teknologien alene: produktfunksjonen må ha avtakende grenseprodukt. Holder $F''(N)\le 0$ for alle $N>0$, er profittfunksjonen konkav i hele definisjonsområdet, og maksimumet er globalt — ikke bare lokalt.

$$F'(N)>0\ \text{og}\ F''(N)<0$$

Dette er standardantakelsen i produsentteori, og den er økonomisk begrunnet: maskiner, lokaler og ledelse holdes fast mens arbeidsstyrken vokser. Potensfunksjonen $F(N)=AN^{a}$ med $0<a<1$ har nøyaktig denne egenskapen, og det er derfor den er standardvalget i eksamenssettene.

$$N^*(w)=\left(\frac{paA}{w}\right)^{\frac{1}{1-a}}$$

Den svarer på spørsmålet «hvor mye arbeidskraft vil bedriften ha, hvis lønna er $w$?». Fordi $w$ står i nevneren, faller $N^*$ når $w$ stiger — dyrere arbeidskraft gir lavere sysselsetting. Uttrykket er bedriftens etterspørselskurve i arbeidsmarkedet, og det er broen fra dette kapitlet til arbeidsmarkedsanalysen i senere økonomifag.

$$\mathrm{El}_w N^*=-\frac{1}{1-a}$$

Dette leses rett av potensregelen for elastisitet (kap. 2.1): eksponenten på $w$ i uttrykket $N^*=(paA)^{1/(1-a)}w^{-1/(1-a)}$ er elastisiteten. Med $a=\tfrac12$ blir den $-2$: én prosent høyere lønn gir to prosent lavere sysselsetting. Jo nærmere $a$ er $1$, desto mer følsom er etterspørselen.

$$p\,F'\!\left(N^*(w)\right)=w\quad\text{for alle }w$$

Likningen kan ikke løses for $N^*$ uten å vite hva $F$ er, men den holder som en identitet i $w$: uansett hvilken lønn markedet setter, tilpasser bedriften seg slik at betingelsen gjelder. Det er nok til å si noe om hvordan $N^*$ endrer seg — ved å derivere identiteten på begge sider. Den teknikken er komparativ statikk, og den utfoldes i kap. 9.3.

$$\max_{K,N}\ p\,F(K,N)-rK-wN$$

Førsteordensbetingelsene blir én per faktor: $pF'_K=r$ og $pF'_N=w$. Her er $r$ kapitalprisen og $w$ lønna — de byttes aldri om. Fordi det fortsatt ikke finnes noen bibetingelse, klassifiseres kandidatpunktet med Hesse-determinanten fra kap. 6.1, ikke med en multiplikator:

$$D=\pi''_{KK}\pi''_{NN}-\left(\pi''_{KN}\right)^{2}$$

Er $D>0$ og $\pi''_{KK}<0$, er punktet et maksimum; er $D<0$, er det et sadelpunkt.

$$1)\ \pi=pF(N)-wN;\quad 2)\ pF'(N)=w;\quad 3)\ F''\le 0;\quad 4)\ \text{løs for }N^*$$

Steg 3 er det steget flest hopper over, og det bærer egne poeng. Avslutt med en tolkningssetning om hva $N^*$ betyr.

$$p\,F'(N)$$

Dette er venstresiden i førsteordensbetingelsen, og prisen $p$ er det som gjør en mengde om til kroner. Uten $p$ sammenligner du epler og pærer.

$$\pi''(N)=p\,F''(N)\le 0\ \Longleftrightarrow\ F''(N)\le 0$$

Lønnskostnaden $-wN$ er lineær og forsvinner ved andre derivasjon, og $p>0$ endrer ikke fortegnet. Betingelsen er dermed en ren egenskap ved produktfunksjonen.

$$F(N)=AN^{a};\qquad F'=aAN^{a-1};\qquad F''=a(a-1)AN^{a-2}$$

Med $0<a<1$ er $F'>0$ og $F''<0$ for alle $N>0$ — altså positivt, men avtakende grenseprodukt. Det er nøyaktig egenskapen problemet trenger for å ha en indre løsning.

$$N^*(w)=\left(\frac{paA}{w}\right)^{\frac{1}{1-a}}$$

Husk snuoperasjonen som gir den: fra $N^{a-1}=w/(paA)$ snus begge sider til $N^{1-a}=paA/w$, og deretter opphøyes i $1/(1-a)$.

$$\mathrm{El}_w N^*=-\frac{1}{1-a}$$

Den leses rett av som eksponenten på $w$ i uttrykket for $N^*$. Med $a=\tfrac12$ blir den $-2$, med $a=\tfrac23$ blir den $-3$: jo nærmere $a$ er $1$, desto mer følsom er etterspørselen.

$$wN^*=a\cdot pF\!\left(N^*\right);\qquad \pi^*=(1-a)\,pF\!\left(N^*\right)$$

Andelen avhenger bare av eksponenten $a$, ikke av prisene. Det er det samme mønsteret som faste budsjettandeler i Cobb-Douglas-nytte, og det gir en rask kontroll på svaret.

$$\max_N\ pF(N)-wN\quad\text{— ingen }g(N)=m,\ \text{ingen }\lambda$$

Dukker det opp en $\lambda$ i regningen din, har du lest oppgaven som en kostnadsminimering. Kontrollen er å lete etter en likning med en fast verdi på høyre side: finnes den ikke, er problemet fritt.

$$p\,F'_K=r;\qquad p\,F'_N=w$$

Her er $r$ kapitalprisen og $w$ lønna — de byttes aldri om. Klassifiseringen gjøres med Hesse-determinanten, siden problemet fortsatt er fritt.

$$F'\!\left(N^*\right)=\frac{w}{p};\qquad F'\ \text{avtakende}\ \Longrightarrow\ w\uparrow\ \text{gir}\ N^*\downarrow$$

Stiger $w/p$, må $F'(N^*)$ stige, og siden $F'$ avtar i $N$, må $N^*$ falle. Det er en fullgod begrunnelse, og den er raskere enn å derivere.

$$F(N)=AN\ \Longrightarrow\ \pi(N)=(pA-w)N$$

Profitten blir lineær i $N$: enten vokser den uten grense, eller så er $N=0$ best, eller så er alt like godt. Betingelsen $pA=w$ inneholder ikke $N$ og bestemmer derfor ingenting.

$$p\,F'\!\left(N^*\right)\overset{?}{=}w$$

Det tar tjue sekunder og fanger nesten alle eksponentfeil. En andre kontroll er å regne profitten i $N^*$ og i to nabopunkter, og se at kandidatpunktet gir høyest verdi.

$$F'(N)=\text{grenseprodukt};\qquad \frac{F(N)}{N}=\text{gjennomsnittsprodukt}$$

Førsteordensbetingelsen bruker grenseproduktet. For $F=AN^{a}$ er de to knyttet sammen ved $F'(N)=a\cdot F(N)/N$ — grenseproduktet er andelen $a$ av gjennomsnittsproduktet.