1.1 Derivasjonsverktøyet på nytt: potens, produkt, kvotient, kjerne

Vi skriver den $f'(x)$ (les: «$f$ derivert av $x$»). Formelt er den grenseverdien av gjennomsnittlig endring over et stadig kortere intervall:

$$f'(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

På ECON1100 blir denne definisjonen aldri bedt om direkte. Det du trenger, er reglene som følger av den — og de kommer nå.

$$\frac{d}{dx}\,x^{a}=a\,x^{a-1}$$

Regelen gjelder for alle reelle eksponenter $a$, ikke bare hele tall — også $a=\tfrac12$ (kvadratrot), $a=-2$ og $a=0{,}3$.

$$\frac{d}{dx}\big(c\cdot f(x)\big)=c\cdot f'(x),\qquad \frac{d}{dx}\big(f(x)+g(x)\big)=f'(x)+g'(x)$$

En ren konstant har derivert null: $\displaystyle \frac{d}{dx}\,c=0$. Konstantleddet forsvinner altså alltid.

$$\frac{d}{dx}\sqrt{x}=\frac{d}{dx}\,x^{1/2}=\tfrac12 x^{-1/2}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$$

Legg merke til at den deriverte vokser mot uendelig når $x\to 0^{+}$: rotfunksjonen er brattest helt i starten. Definisjonsområdet er $x\ge 0$ for $\sqrt{x}$ selv, men $x>0$ for den deriverte.

$$\frac{1}{x^{n}}=x^{-n}\quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dx}\,x^{-n}=-n\,x^{-n-1}=-\frac{n}{x^{n+1}}$$

For eksempel er $\displaystyle \frac{d}{dx}\,x^{-2}=-2x^{-3}=-\dfrac{2}{x^{3}}$. Det er her fortegnsfeilene sitter: eksponenten $-2$ blir stående som faktor foran, og den nye eksponenten er $-3$, ikke $-1$.

$$\frac{d}{dx}\big(u(x)\cdot v(x)\big)=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)$$

Huskeregel i ord: «derivert ganger urørt, pluss urørt ganger derivert». Rekkefølgen mellom de to leddene spiller ingen rolle her — det gjør den derimot i kvotientregelen.

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{u(x)}{v(x)}\right)=\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\big(v(x)\big)^{2}}$$

Rekkefølgen i telleren er avgjørende: derivert teller ganger nevner først, deretter minus teller ganger derivert nevner. Bytter du om, får du feil fortegn på hele svaret — det er nøyaktig feil #12.

Når en funksjon står inni en annen, kaller vi den innerste kjernen (den indre funksjonen) og den ytterste den ytre funksjonen. Å identifisere de to riktig er halve jobben med kjerneregelen.

I $f(x)=(x^{2}+3x)^{5}$ er kjernen $u=x^{2}+3x$ og den ytre funksjonen «opphøy i femte», altså $f=u^{5}$. I $f(x)=\sqrt{4x^{2}+1}$ er kjernen $u=4x^{2}+1$ og den ytre funksjonen roten.

Test: hvis du må regne ut noe før du kan bruke den ytre operasjonen, er det du regner ut, kjernen.

$$\frac{d}{dx}\,f\big(u(x)\big)=f'\big(u(x)\big)\cdot u'(x)$$

Faktoren $u'(x)$ til slutt er den som glemmes oftest. Uten den har du bare derivert «halve» funksjonen — og det gir feil svar hver gang kjernen er noe annet enn $x$ alene.

$$\frac{d}{dx}\big(g(x)\big)^{n}=n\big(g(x)\big)^{n-1}\cdot g'(x)$$

Merk at parentesinnholdet forblir urørt i det første leddet: du deriverer aldri innmaten og senker eksponenten samtidig. Spesialtilfellet $\sqrt{g(x)}=\big(g(x)\big)^{1/2}$ gir $\dfrac{g'(x)}{2\sqrt{g(x)}}$.

$$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},\qquad x>0$$

Merk definisjonsområdet: $\ln x$ finnes bare for $x>0$. Det er en detalj som blir avgjørende senere i boka, når vi leter etter ekstrempunkter og må kaste løsninger som faller utenfor definisjonsområdet.

$$\frac{d}{dx}\,e^{x}=e^{x}$$

Det betyr at vekstfarten til $e^{x}$ til enhver tid er lik funksjonsverdien selv: jo større den er blitt, jo raskere vokser den. Det er nettopp derfor den modellerer rentesrente og kontinuerlig vekst.

$$\frac{d}{dx}\,a^{x}=a^{x}\ln a,\qquad a>0$$

Formelen inneholder $e^{x}$-regelen som spesialtilfelle, siden $\ln e=1$. Viktig avgrensning: dette gjelder når grunntallet er en konstant og eksponenten inneholder $x$. Er begge deler variable — som i $x^{x}$ — trengs en annen metode, og den kommer i kap. 1.4.

$$\frac{d}{dx}\,e^{g(x)}=e^{g(x)}\cdot g'(x)$$

For eksempel er $\displaystyle \frac{d}{dx}e^{3x^{2}}=e^{3x^{2}}\cdot 6x$. Den glemte faktoren $g'(x)$ er en av de vanligste enkeltfeilene i Oppgave 1.

$$\frac{d}{dx}\ln\big(g(x)\big)=\frac{g'(x)}{g(x)}$$

For eksempel er $\displaystyle \frac{d}{dx}\ln(x^{2}+1)=\dfrac{2x}{x^{2}+1}$. Dette er en av de mest brukte formlene på hele eksamen, og verdt å kunne uten å tenke.

$$\frac{d}{dx}\,x^{\alpha}=\alpha\,x^{\alpha-1}$$

Dette brukes hele veien i økonomi: produktfunksjonen $Q=K^{\alpha}L^{\beta}$ og nyttefunksjonen $U=x^{a}y^{b}$ deriveres nettopp slik. Kravet er bare at $\alpha$ er en konstant, ikke en funksjon av $x$.

$$f''(x)=\frac{d}{dx}\,f'(x)$$

Er $f''>0$, vokser den deriverte, og grafen krummer oppover (konveks); er $f''<0$, krummer den nedover (konkav). Vi bruker den for alvor i Del 4, men trenger regneteknikken allerede nå: den andrederiverte av $f(x)=x^{4}$ er $f''(x)=12x^{2}$.

Med «åpenbar forenkling» menes at du samler fellesfaktorer, forkorter brøker og skriver svaret på den enkleste formen som er innen rekkevidde uten nytt arbeid. Sensor krever det for full uttelling, men forventer ikke at du ganger ut store parenteser.

Tommelfingerregel: faktoriser når det avslører struktur, gang ut når det avslører ledd. $2xe^{-2x}-2x^{2}e^{-2x}$ skal skrives $2xe^{-2x}(1-x)$, fordi den formen lar deg lese av fortegnet. Derimot skal $5(x^{2}+3x)^{4}(2x+3)$ stå som det er.