4.1 Vekst og krumning: fortegnsanalyse av $f'$ og $f''$

$$f'(x)>0\ \text{for alle }x\ \text{i intervallet}\ \Longrightarrow\ f\ \text{vokser der}$$

Grafisk: går du mot høyre, går du oppover. Merk formuleringen «for alle $x$ i intervallet» — vekst er en egenskap ved et område, ikke ved et punkt, og det er derfor konklusjonen alltid skrives som et intervall.

$$f'(x)<0\ \text{for alle }x\ \text{i intervallet}\ \Longrightarrow\ f\ \text{avtar der}$$

De to begrepene dekker mellom seg alt bortsett fra punktene der $f'=0$. Nettopp de punktene er skillelinjene i fortegnsskjemaet, og de får sitt eget navn i neste definisjon.

$$f'(a)=0\ \Longrightarrow\ a\ \text{er et stasjonærpunkt}$$

Ordet «stasjonær» betyr at funksjonen står stille akkurat der. Det betyr ikke at punktet er et toppunkt eller et bunnpunkt — det avgjøres først av fortegnene på hver side, og det er tema i kap. 4.2. Her bruker vi stasjonærpunktene bare som skillelinjer i skjemaet.

$$\text{nullpunkter}\ \to\ \text{intervaller}\ \to\ \text{fortegn i hvert}\ \to\ \text{konklusjon}$$

Skjemaet er ikke et hjelpemiddel du kan velge bort — det er begrunnelsen sensor ser etter. En besvarelse som oppgir intervaller uten skjemaet, har svart uten å vise hvorfor, og det er feil #10 (ikke begrunne fortegnsintervaller i drøfting).

$$ax^{2}+bx+c=0\ \Longrightarrow\ x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$$

I drøftingsoppgaver brukes den nesten alltid på $f'$, ikke på $f$ selv: den deriverte av en tredjegradsfunksjon er kvadratisk. Formelen skal bare brukes — den utledes ikke på eksamen.

$$ax^{2}+bx+c=a\,(x-x_1)(x-x_2)$$

Faktorisert form er hele grunnen til at vi bruker ABC her. Uttrykket $3x^{2}-6x-9$ sier lite om fortegn; formen $3(x+1)(x-3)$ sier alt, fordi hver faktor skifter fortegn i sitt eget nullpunkt.

$$a>0:\ \text{positivt utenfor røttene, negativt mellom dem}$$

Er $a<0$, snur bildet. Har uttrykket ingen reelle røtter ($b^{2}-4ac<0$), skifter det aldri fortegn — da har det samme fortegn som $a$ overalt, og funksjonen er enten voksende eller avtakende i hele definisjonsområdet.

$$f''(x)>0\ \text{i intervallet}\ \Longrightarrow\ f\ \text{er konveks der}$$

Konveksitet betyr at stigningen selv vokser. Er funksjonen voksende, stiger den stadig brattere; er den avtakende, avtar den stadig saktere. Tangenten ligger under grafen — det var nettopp den egenskapen som ga underestimat i kap. 3.2.

$$f''(x)<0\ \text{i intervallet}\ \Longrightarrow\ f\ \text{er konkav der}$$

Dette er formen på nesten alle nyttefunksjoner og produktfunksjoner i økonomi, og den har et navn: avtakende grenseutbytte. Hver ekstra enhet gir mindre enn den forrige.

$$f''(x)=0\ \to\ \text{skillepunkter}\ \to\ \text{fortegn i hvert intervall}\ \to\ \text{konveks/konkav}$$

For en tredjegradsfunksjon er $f''$ lineær, så det finnes akkurat ett skillepunkt, og skjemaet har to intervaller. Konklusjonen skrives på samme form som for veksten: som intervaller, aldri som løse påstander.

$$f'>0\ \text{og}\ f''<0\ \text{samtidig er helt vanlig}$$

Eksempel: $f(x)=\sqrt{x}$ vokser overalt ($f'>0$) og er konkav overalt ($f''<0$) — den stiger, men saktere og saktere. Alle fire kombinasjoner forekommer, og en påstand om at vekst medfører en bestemt krumning, er derfor usann. Dette er et yndet sant/usant-punkt.

$$f'>0\ \text{og}\ f''<0\ \Longleftrightarrow\ \text{vokser, men saktere og saktere}$$

Er $f$ en produktfunksjon, kalles $f'$ grenseproduktet, og $f''<0$ betyr at grenseproduktet faller. Er $f$ en nyttefunksjon, er $f'$ grensenytten. Denne kombinasjonen er standardantakelsen i økonomi, og du bør kjenne den igjen på fortegnene alene.

$$f'>0\ \text{(strengt voksende)},\qquad f'\ge 0\ \text{(svakt voksende)}$$

En svakt voksende funksjon kan ha flate partier, som $f(x)=x^{3}$ har i $x=0$. I eksamensbesvarelser holder det som regel å skrive «voksende», men om $f'$ er null i enkeltpunkter, er det ryddig å nevne det.

$$\text{faktoriser}\ f'\ \to\ \text{tegn linja}\ \to\ \text{les av intervallene}$$

Sensor gir uttelling for metoden, ikke for konklusjonen. Et riktig intervall uten skjema er feil #10; et skjema med en liten regnefeil koster derimot lite. Skriv alltid skjemaet, også når svaret er åpenbart.

$$f(x)=0\ \text{(kurven krysser }x\text{-aksen)},\qquad f'(x)=0\ \text{(tangenten er vannrett)}$$

Drøftingen bruker nullpunktene til $f'$; skissen bruker i tillegg nullpunktene til $f$. Å regne ABC på feil av de to er en klassisk tidstyv — les alltid oppgaveteksten en gang til før du setter i gang.

$$f'>0,f''>0\ \text{(stiger raskere)};\qquad f'>0,f''<0\ \text{(stiger saktere)}$$

$$f'<0,f''<0\ \text{(faller raskere)};\qquad f'<0,f''>0\ \text{(faller saktere)}$$

Å kjenne igjen kombinasjonen fra fortegnene alene er nyttig både i skissen og i sant/usant-oppgaven. Den andre — voksende og konkav — er den økonomiske normalformen.

$$f'(-2)=15>0\ \checkmark,\qquad f'(0)=-9<0\ \checkmark,\qquad f'(4)=15>0\ \checkmark$$

Kontrollen tar under et halvt minutt og fanger fortegnsfeil i faktoriseringen. Men merk: den er en kontroll, ikke en begrunnelse. Tre tall sier ingenting om tre hele intervaller, og et skjema kan ikke erstattes av dem.

$$f(x)=ax^{3}+\dots,\ a>0:\ \text{opp}\ \to\ \text{ned}\ \to\ \text{opp}$$

Med $a>0$ har grafen først et toppunkt, så et bunnpunkt, og vendepunktet ligger nøyaktig midt mellom dem. Med $a<0$ er alt speilvendt. Får du et skjema som ikke passer med denne formen, er det som regel en fortegnsfeil et sted.

$$b^{2}-4ac<0\ \Longrightarrow\ f'\ \text{har samme fortegn overalt}$$

Da er funksjonen enten voksende i hele definisjonsområdet eller avtakende i hele. Test ett enkelt tall for å finne ut hvilket, og skriv konklusjonen. Dette er et fullgodt svar, ikke et tegn på at du har regnet feil.

$$x^{2}-8x+20=(x-4)^{2}+4\ \ge 4>0$$

Formen viser fortegnet direkte, uten diskriminant og uten innsetting av testtall. Den er særlig nyttig når du skal vise at noe alltid er positivt — sensor liker argumenter som gjelder for alle $x$ på én linje.