3.2 Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

Å tilnærme funksjonsverdier rundt et punkt — og å vurdere om tilnærmingen over- eller underestimerer.

45 min

8 oppgaver

Lineær approksimasjonapproksimasjonsfeil

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Differensialet

Brukes videre i

3.PPrøver til del 3: Differensial og lineær approksimasjon

Dette er den mest forutsigbare enkeltpåstanden i hele eksamensarkivet.

Lineær approksimasjon er ett punkt i eksamens Oppgave 2 — «sant eller usant? begrunn» — i fire av de fem siste ordinære settene i arkivet (H2021, H2023, H2024 og H2025). Temaet differensial og lineær approksimasjon samlet står i 11 av 16 sett (69 prosent) og i 8 av 9 ordinære (89 prosent).

Sjangeren heter DA — differensial og lineær approksimasjon. Oppgaven har alltid samme skjelett: du får en funksjon, et basispunkt og et ferdig oppskrevet uttrykk, og skal avgjøre om uttrykket er den riktige lineære approksimasjonen. Løsningen er ren mekanikk: regn ut $f$ , $f'_x$ og $f'_y$ i punktet, sett inn i formelen, forenkl, og sammenlign ledd for ledd.

Den andre varianten ber om fortegnet på approksimasjonsfeilen. Da skal du ikke regne ut differansen — du skal argumentere fra krumningen: konveks funksjon gir underestimat, konkav gir overestimat.

Sensorregelen som styrer alt: ubegrunnet ja eller nei gir null poeng, også når konklusjonen er riktig. Kapitlet har høyeste prioritet, og det er blant de raskeste å mekanisere i hele boka.

Forkunnskaper. Kapitlet bygger direkte på kap. 3.1 (differensialet) og på kap. 1.2 (partiellderiverte). Krumningsbegrepet (

f''

) utvides i kap. 4.1, men alt du trenger her, forklares underveis.

Sist du var her — differensialet, som er halve formelen:

$df=f'_x\,dx+f'_y\,dy$

Den lineære approksimasjonen er ikke annet enn dette lagt til startverdien: $f_{\text{ny}}\approx f_{\text{gammel}}+df$ .

Du skal anslå $\sqrt{25{,}4}$ uten kalkulator. Du vet at $\sqrt{25}=5$ , og du vet hvor bratt kvadratrotfunksjonen er akkurat der. Da er svaret nesten gratis: gå ut fra 5, og legg til brattheten ganget med skrittet $0{,}4$ .

Det er hele ideen. En kjent verdi i nærheten, pluss en korreksjon som er lineær i avstanden. På eksamen brukes den samme ideen på nyttefunksjoner og produktfunksjoner: hva skjer med nytten hvis prisen endrer seg litt, uten at hele modellen løses på nytt?

Fordi vi følger tangenten og ikke kurven, bommer vi litt. Det interessante er at vi kan si hvilken vei vi bommer, bare ved å se på om funksjonen krummer opp eller ned. Det er kapitlets siste og mest poenggivende del.

Kapitlet er bygget som fire løkker: approksimasjonen i én variabel, i to variabler, eksamensvarianten «sett inn og sammenlign», og feilens fortegn.

Løkke 1 — Approksimasjon i én variabel (~10 min)

Lineær approksimasjon i én variabel

f(x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\,(x-x_0)

Basispunktet

x_0

x_0=\text{det nærmeste punktet der }f(x_0)\text{ og }f'(x_0)\text{ er enkle å regne}

Tangentlinjen som tilnærming

y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)

✏️Eksempel 1: Kvadratrot uten kalkulator

Bruk lineær approksimasjon til å anslå $\sqrt{25{,}4}$ , og avgjør om anslaget er for stort eller for lite.

Steg 1 — velg funksjon og basispunkt. La

f(x)=\sqrt{x}

x_0=25

, siden

\sqrt{25}=5

er kjent og

25{,}4

ligger nær.

Steg 2 — regn ut de to størrelsene i basispunktet.

$f(25)=5,\qquad f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\ \Longrightarrow\ f'(25)=\frac{1}{10}$

Steg 3 — sett inn i formelen med $x-x_0=0{,}4$ :

$\sqrt{25{,}4}\approx 5+\frac{1}{10}\cdot 0{,}4=5{,}04$

Steg 4 — avgjør retningen på bommen. Den andrederiverte er

$f''(x)=-\tfrac14 x^{-3/2}<0\quad\text{for alle }x>0,$

så $\sqrt{x}$ er konkav: kurven bøyer nedover, og tangenten ligger over kurven. Anslaget er derfor for stort.

Kontroll: den eksakte verdien er $5{,}039841\ldots$ , og anslaget $5{,}04$ er, som forutsagt, litt større. Bommen er $0{,}00016$ — under fire hundredels promille.

Merk hva som gir uttelling her: ikke tallet, men at fortegnet på bommen er begrunnet med fortegnet på $f''$ . Å regne ut fasiten og sammenligne er ikke et argument; på eksamen har du ikke fasiten.

📝Oppgave 1

La $f(x)=x^{3}$ og $x_0=2$ .

a) Skriv opp den lineære approksimasjonen til $f$ rundt $x_0=2$ .

b) Bruk den til å anslå $f(2{,}1)$ .

c) Regn ut den eksakte verdien $f(2{,}1)$ og sammenlign.

Løkke 2 — Approksimasjon i to variabler (~12 min)

Lineær approksimasjon i to variabler

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f'_y(x_0,y_0)\,(y-y_0)

Sammenhengen med differensialet

f(x,y)\approx f(x_0,y_0)+df,\qquad df=f'_x\,dx+f'_y\,dy

✏️Eksempel 2: To variabler, med kontroll

La $f(x,y)=x^{2}\sqrt{y}$ .

a) Finn den lineære approksimasjonen rundt $(x_0,y_0)=(3,4)$ .

b) Bruk den til å anslå $f(3{,}1\,;\,3{,}9)$ , og sammenlign med den eksakte verdien.

a) Steg 1 — verdien i basispunktet.

$f(3,4)=9\cdot 2=18$

Steg 2 — de partiellderiverte. Mht. $x$ står $\sqrt{y}$ som konstant faktor; mht. $y$ står $x^{2}$ som konstant faktor:

$f'_x=2x\sqrt{y}\ \Longrightarrow\ f'_x(3,4)=2\cdot 3\cdot 2=12$

$f'_y=\frac{x^{2}}{2\sqrt{y}}\ \Longrightarrow\ f'_y(3,4)=\frac{9}{4}=2{,}25$

Steg 3 — sett inn i formelen:

$f(x,y)\approx 18+12\,(x-3)+2{,}25\,(y-4)$

b) Med $x-3=0{,}1$ og $y-4=-0{,}1$ :

$f(3{,}1\,;\,3{,}9)\approx 18+12\cdot 0{,}1+2{,}25\cdot(-0{,}1)=18+1{,}2-0{,}225=18{,}975$

Kontroll mot eksakt verdi: $3{,}1^{2}\sqrt{3{,}9}=9{,}61\cdot 1{,}97484\ldots=18{,}9782$ . Anslaget $18{,}975$ bommer med $0{,}003$ , altså under to hundredels prosent.

Legg merke til fortegnene. Bidraget fra $x$ er positivt fordi $x$ økte, og bidraget fra $y$ er negativt fordi $y$ falt. Å sette inn $y-y_0$ med riktig fortegn er det stedet flest mister poeng i denne oppgavetypen — mer enn selve derivasjonen.

Konklusjon: $f(3{,}1\,;\,3{,}9)\approx 18{,}975$ , mot den eksakte verdien $18{,}978$ .

📝Oppgave 2

Sjanger DA

La $f(x,y)=x^{2}y^{3}$ og $(x_0,y_0)=(1,2)$ .

a) Regn ut $f(1,2)$ , $f'_x(1,2)$ og $f'_y(1,2)$ .

b) Skriv opp den lineære approksimasjonen rundt punktet.

Typiske feil i lineær approksimasjon

- Å utelate ett ledd (#4 — utelate ett ledd i differensialet eller den lineære approksimasjonen). Tre ledd i to variabler: startverdi, $x$ -bidrag, $y$ -bidrag. Tell dem hver gang.
- Å glemme startverdien $f(x_0,y_0)$ . Approksimasjonen anslår funksjonsverdien, ikke endringen. Uten første ledd har du regnet ut $df$ og besvart en annen oppgave.
- Å sette inn i $f$ i stedet for i approksimasjonen. Oppgaven ber om anslaget, ikke fasiten. Regner du eksakt, har du ikke vist det oppgaven spør etter.
- Feil fortegn på $(y-y_0)$ . Faller $y$ , er parentesen negativ. Sett inn tallet med sitt fortegn.
- Feil basispunkt. Er $(x_0,y_0)$ oppgitt, skal det brukes — også når et annet punkt ville gitt penere tall.
- Å konkludere om fortegnet på feilen ved å regne ut fasiten. På eksamen har du ikke fasiten. Argumentet skal gå gjennom krumningen ( $f''$ ), ikke gjennom en sammenligning.

Løkke 3 — Eksamensvarianten: sett inn og sammenlign (~12 min)

Oppskriften for sant/usant-varianten

\text{regn }f(x_0,y_0),\ f'_x,\ f'_y\ \to\ \text{sett inn}\ \to\ \text{forenkl}\ \to\ \text{sammenlign ledd for ledd}

Tre standardtilnærminger verdt å kunne

u=0

✏️Eksempel 3: Er den oppgitte approksimasjonen riktig?

La $f(x,y)=\ln\!\big(x^{2}+y\big)$ for $x^{2}+y>0$ .

Avgjør om påstanden

« $f(x,y)\approx \ln 5+\tfrac45\,(x-2)+\tfrac15\,(y-1)$ nær $(2,1)$ »

er sann eller usann. Begrunn.

Steg 1 — verdien i basispunktet. Med

x_0=2

y_0=1

x_0^{2}+y_0=5

, så

$f(2,1)=\ln 5$

Steg 2 — de partiellderiverte. Regelen $g'/g$ med $g=x^{2}+y$ :

$f'_x=\frac{2x}{x^{2}+y}\ \Longrightarrow\ f'_x(2,1)=\frac{4}{5}$

$f'_y=\frac{1}{x^{2}+y}\ \Longrightarrow\ f'_y(2,1)=\frac{1}{5}$

Steg 3 — sett inn i formelen:

$f(x,y)\approx \ln 5+\frac45\,(x-2)+\frac15\,(y-1)$

Steg 4 — sammenlign ledd for ledd. Startverdi $\ln 5$ ✓. Koeffisienten foran $(x-2)$ er $4/5$ ✓. Koeffisienten foran $(y-1)$ er $1/5$ ✓. Ingen ledd mangler, og ingen koeffisient avviker.

Konklusjon: påstanden er sann.

Numerisk kontroll (ikke nødvendig, men beroligende): i $(2{,}05\,;\,1{,}1)$ gir uttrykket $\ln 5+0{,}04+0{,}02=1{,}6694$ , mens den eksakte verdien er $\ln(5{,}3025)=1{,}6681$ . Nær hverandre, som ventet.

Merk at «sann» er et fullgodt svar. Påstandene i denne sjangeren er ofte, men ikke alltid, usanne. En student som svarer «usant» på alt, kommer dårlig ut — og uten begrunnelse gir begge svar null.

📝Oppgave 3

Sjanger DA i…

La $f(x,y)=x^{2}y^{3}$ og basispunktet $(1,2)$ .

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn med utregning.

a) « $f(x,y)\approx 8+16(x-1)+12(y-2)$ »

b) « $f(x,y)\approx 16(x-1)+12(y-2)$ »

c) « $f(1{,}05\,;\,1{,}9)\approx 7{,}6$ »

📝Oppgave 4

Sjanger DA

En bedrift har produktfunksjonen $Q(K,L)=40\,K^{1/2}L^{1/2}$ og befinner seg i $(K,L)=(25,16)$ .

a) Sett opp den lineære approksimasjonen til $Q$ rundt dette punktet.

b) Anslå produksjonen når kapitalen øker til 26 og arbeidskraften faller til $15{,}5$ .

c) Den eksakte verdien er $802{,}99$ . Kommenter avviket.

Løkke 4 — Approksimasjonsfeilens fortegn (~11 min)

— naturlig pausepunkt —

Her skifter kapitlet karakter: fra regning til argumentasjon. Denne delen er det som skiller full uttelling fra halv.

Approksimasjonsfeilen

\text{feil}=\Delta f-df

Konveks funksjon: anslaget blir for lite

f''\ge 0\ \text{overalt}\ \Longrightarrow\ \Delta f\ge df\ \text{(underestimat)}

Konkav funksjon: anslaget blir for stort

f''\le 0\ \text{overalt}\ \Longrightarrow\ \Delta f\le df\ \text{(overestimat)}

Hvor stor blir feilen?

\text{halvert skritt}\ \Longrightarrow\ \text{omtrent fjerdedels feil}

✏️Eksempel 4: Eksamensnivå — feilens fortegn uten fasit

En husholdnings nytte av strøm er $U(x)=100\sqrt{x}$ , der $x$ er antall kilowattimer i tusen.

a) Finn den lineære approksimasjonen til $U$ rundt $x_0=9$ .

b) Bruk den til å anslå $U(9{,}6)$ .

c) Avgjør uten å regne ut den eksakte verdien om anslaget er for stort eller for lite. Begrunn.

a) Vi regner ut verdien og stigningen i basispunktet.

$U(9)=100\cdot 3=300,\qquad U'(x)=\frac{100}{2\sqrt{x}}=\frac{50}{\sqrt{x}}\ \Longrightarrow\ U'(9)=\frac{50}{3}$

$U(x)\approx 300+\frac{50}{3}\,(x-9)$

b) Med $x-9=0{,}6$ :

$U(9{,}6)\approx 300+\frac{50}{3}\cdot 0{,}6=300+10=310$

c) Argumentet går gjennom krumningen. Vi deriverer én gang til:

$U'(x)=50\,x^{-1/2}\ \Longrightarrow\ U''(x)=-25\,x^{-3/2}$

For alle $x>0$ er $x^{-3/2}>0$ , altså $U''(x)<0$ . Funksjonen er konkav i hele definisjonsområdet $x>0$ , og tangenten ligger derfor over kurven.

Konklusjon: anslaget $310$ er for stort. Den faktiske nytten i $x=9{,}6$ er lavere.

Merk hvorfor dette er det etterspurte argumentet. Oppgaven ber om fortegnet uten fasit, og da må konklusjonen komme fra $U''$ , ikke fra en sammenligning. Legg også merke til at konkaviteten er begrunnet for hele området, ikke bare i ett punkt — det er kravet når konklusjonen skal gjelde et helt skritt.

Til orientering, ikke som argument: den eksakte verdien er $100\sqrt{9{,}6}=309{,}84$ , som ganske riktig er litt lavere enn 310.

Økonomisk lesning: at nyttefunksjonen er konkav, betyr avtakende grensenytte — den 9 601. kilowattimen er mindre verdt enn den 9 000. Tangenten «tror» grensenytten holder seg konstant, og overvurderer derfor gevinsten. Matematikken og økonomien sier det samme.

📝Oppgave 5

Sjanger SU

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn.

a) «For en konveks funksjon gir lineær approksimasjon alltid et for lavt anslag.»

b) «Approksimasjonsfeilen halveres når skrittlengden halveres.»

c) «Den lineære approksimasjonen til $f$ rundt $x_0$ treffer eksakt i $x=x_0$ .»

📝Oppgave 6

Sjanger DA

Bruk lineær approksimasjon rundt $u=0$ til å vise standardtilnærmingene, og bruk dem:

a) Vis at $(1+u)^{a}\approx 1+au$ for små $u$ .

b) Anslå $\sqrt{1{,}08}$ med formelen fra a), og avgjør om anslaget er for stort eller for lite.

c) Anslå $\ln(1{,}03)$ , og forklar hvorfor tallet er så nær 3 prosent.

📝Oppgave 7

Sjanger SU

La $f(x,y)=\sqrt{x}\,\ln y$ for $x>0$ og $y>0$ , med basispunkt $(4,e)$ .

a) Finn den lineære approksimasjonen til $f$ rundt $(4,e)$ .

b) Avgjør om påstanden « $f(x,y)\approx 2+\tfrac14(x-4)$ » er sann eller usann. Begrunn.

c) Anslå $f(4{,}2\,;\,e)$ , og avgjør uten å regne eksakt om anslaget er for stort eller for lite.

📝Oppgave 8

Sjanger DA

La $g$ være en to ganger deriverbar funksjon med $g(10)=50$ , $g'(10)=3$ og $g''(x)<0$ for alle $x>0$ .

a) Skriv opp den lineære approksimasjonen til $g$ rundt $x_0=10$ , og anslå $g(10{,}4)$ .

b) Er anslaget et over- eller underestimat? Begrunn.

c) En annen student hevder at $g(20)\approx 80$ ved samme metode. Kommenter påstanden.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Tre-ledds-kontrollen

\underbrace{f(x_0,y_0)}_{1}+\underbrace{f'_x\,(x-x_0)}_{2}+\underbrace{f'_y\,(y-y_0)}_{3}

Basispunkt-testen

x=x_0,\ y=y_0\ \Longrightarrow\ \text{uttrykket}=f(x_0,y_0)

Konkavitet som avtakende grensenytte

U''<0\ \Longleftrightarrow\ \text{avtakende grensenytte}

Approksimasjonen er lokal

\text{feil}\ \sim\ (\text{skrittlengde})^{2}

Én variabel som spesialtilfelle

dy=0\ \Longrightarrow\ f(x,y_0)\approx f(x_0,y_0)+f'_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)

Åpenbar forenkling kreves

8+16(x-1)+12(y-2)\quad\text{eller}\quad 16x+12y-32

Slik ser bommen ut

Figur i ord — tangenten under en konveks kurve. Tenk deg et vanlig koordinatsystem med $x$ vannrett og $y$ loddrett. Kurven $f$ starter nede til venstre og stiger mot høyre, samtidig som den bøyer oppover: den blir brattere hele veien. I punktet $x_0$ tegnes den rette tangentlinjen inn; den berører kurven akkurat der og fortsetter rett fram i begge retninger.

Gå nå et lite skritt $\Delta x$ mot høyre, til $x_0+\Delta x$ , og reis to loddrette streker opp fra $x$ -aksen: den ene stopper på tangenten, den andre på kurven. Streken til tangenten er $df$ ; streken til kurven er $\Delta f$ . Fordi kurven bøyer oppover, ligger kurvepunktet høyest — og differansen mellom de to strekene er approksimasjonsfeilen $\Delta f-df$ , som her er positiv.

Bøyde kurven i stedet nedover (konkav), ville tangenten ligget øverst og fortegnet snudd. Det er hele argumentet i kapitlets siste del, i én tegning.

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.