3.1 Differensialet

$df = f'_x\,dx + f'_y\,dy$ — den lille tilnærmede endringen, med begge ledd med.

40 min

8 oppgaver

Differensialet

Din fremgang i kapitlet

0 / 8 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.2Partiellderiverte: første og andre orden

Brukes videre i

3.2Lineær approksimasjon og approksimasjonsfeil

Differensialet er den billigste poengfangsten i hele eksamen — hvis du husker alle leddene.

Temaet differensial og lineær approksimasjon står i 11 av 16 sett i arkivet (69 prosent), og i 8 av de 9 ordinære settene (89 prosent). Det kommer nesten alltid som ett punkt i eksamens Oppgave 2, den oppgaven som i denne boka kalles sjanger SU — «sant eller usant? begrunn». Selve regnestykket kalles sjanger DA — differensial og lineær approksimasjon.

Slik ser punktet ut: du får en funksjon av to variabler og en påstand om hva differensialet er. Påstanden er som regel usann, og grunnen er alltid den samme: den mangler ett ledd. Du skal sette opp differensialet riktig, sammenligne ledd for ledd med påstanden, og skrive konklusjonen.

Merk sensorregelen som gjør dette til fagets viktigste vane: et ubegrunnet «usant» gir null poeng, selv om konklusjonen er riktig. Regningen ER svaret. To linjer med utregning og én konklusjonssetning gir full uttelling; ett ord gir ingenting.

Kapitlet har høyeste prioritet. Det er kort, mekanisk og gir poeng hver gang.

Forkunnskaper. Kapitlet bygger på kap. 1.1 (derivasjonsreglene) og kap. 1.2 (partiellderiverte). Du trenger å kunne finne

f'_x

f'_y

raskt — resten av kapitlet er én formel brukt om og om igjen.

Sist du var her — de to du trenger:

$f'_x=\text{deriver mht. }x\text{, hold }y\text{ konstant},\qquad f'_y=\text{deriver mht. }y\text{, hold }x\text{ konstant}$

$\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}},\qquad \frac{d}{dx}\ln g=\frac{g'}{g},\qquad \frac{d}{dx}e^{g}=e^{g}g'$

Strømprisen stiger med tre øre, og nettleien faller med ett. Hva skjer med den samlede regningen din?

Du kunne regnet ut den nye regningen fra bunnen av og trukket fra den gamle. Men når endringene er små, finnes det en snarvei som er både raskere og mer opplysende: gang hver liten endring med hvor følsom regningen er for akkurat den størrelsen, og legg sammen. Det er alt differensialet er.

Snarveien er nyttig fordi den skiller bidragene fra hverandre. Du ser med én gang hvor mye av endringen som kommer fra prisen og hvor mye som kommer fra nettleien — noe totalregningen skjuler.

Kapitlet er bygget som tre løkker: differensialet i én variabel (løkke 1), differensialet i to variabler med alle ledd (løkke 2), og regnereglene pluss eksamensformatet (løkke 3).

Løkke 1 — Differensialet i én variabel (~10 min)

Differensialet i én variabel

df=f'(x)\,dx

Tilveksten

\Delta f

\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)

dx

\Delta x

— hva som er hva

dx=\Delta x

✏️Eksempel 1: Tangent mot kurve

En strømleverandør har kostnadsfunksjonen $K(x)=x^{2}$ (i tusen kroner) når den leverer $x$ enheter.

a) Sett opp differensialet $dK$ i punktet $x=3$ med $dx=0{,}1$ .

b) Regn ut den faktiske tilveksten $\Delta K$ , og sammenlign.

a) Den deriverte er

K'(x)=2x

, som i

x=3

gir

K'(3)=6

. Differensialet er derfor

$dK=K'(3)\,dx=6\cdot 0{,}1=0{,}6$

b) Den faktiske tilveksten regnes ut direkte:

$\Delta K=K(3{,}1)-K(3)=9{,}61-9=0{,}61$

Sammenligning. Differensialet gir $0{,}6$ ; sannheten er $0{,}61$ . Avviket er $0{,}01$ , altså under to prosent av endringen.

Hvorfor avviker de? Fordi $dK$ følger tangenten i $x=3$ , mens $\Delta K$ følger kurven. Kurven $x^{2}$ krummer oppover, så den stiger litt raskere enn tangenten — og differensialet blir litt for lite. Fortegnet på avviket er altså ikke tilfeldig; det følger av krumningen. Det utnytter vi systematisk i kap. 3.2.

Konklusjon: $dK=0{,}6$ og $\Delta K=0{,}61$ ; differensialet underestimerer med $0{,}01$ fordi funksjonen er konveks.

📝Oppgave 1

Sett opp differensialet $df$ for hver funksjon:

a) $f(x)=5x^{3}$

b) $f(x)=\ln x$ , $x>0$

c) $f(x)=e^{2x}$

📝Oppgave 2

Sjanger DA

La $f(x)=\sqrt{x}$ .

a) Sett opp $df$ i punktet $x=16$ med $dx=0{,}2$ , og regn ut tallverdien.

b) Regn ut $\Delta f=f(16{,}2)-f(16)$ med tre desimaler, og si hvilken av de to som er størst.

Løkke 2 — Differensialet i to variabler: alle ledd med (~14 min)

Differensialet i to variabler

df=f'_x\,dx+f'_y\,dy

Ett ledd per variabel

f(x,y)\ \Rightarrow\ 2\ \text{ledd},\qquad f(x,y,z)\ \Rightarrow\ 3\ \text{ledd}

✏️Eksempel 2: Eksamensformatet — en påstand som mangler et ledd

La $f(x,y)=x^{2}y$ .

a) Sett opp $df$ .

b) Avgjør om påstanden « $df=2xy\,dx$ » er sann eller usann. Begrunn.

a) Vi finner begge partiellderiverte.

Mht. $x$ (hold $y$ fast): $f'_x=2xy$ .

Mht. $y$ (hold $x$ fast): $f'_y=x^{2}$ .

Satt inn i formelen:

$df=2xy\,dx+x^{2}\,dy$

b) Sammenligning ledd for ledd. Påstanden er $2xy\,dx$ . Vår utregning gir $2xy\,dx+x^{2}\,dy$ . Det første leddet stemmer, men leddet $x^{2}\,dy$ mangler helt i påstanden.

Konklusjon: påstanden er usann. Den er riktig bare i det spesialtilfellet der $y$ holdes fast, altså $dy=0$ — og det står det ingenting om i påstanden. For alle andre endringer mangler bidraget fra $y$ .

Slik føres svaret på eksamen: regn ut begge partiellderiverte, skriv differensialet fullt ut, pek på leddet som mangler, og skriv konklusjonssetningen. Fire linjer, full uttelling. Skriver du bare «usant», får du null — også når det står usant i fasiten.

📝Oppgave 3

Sjanger DA

Sett opp differensialet $df$ for:

a) $f(x,y)=3x^{2}+5y$

b) $f(x,y)=xy$

c) $f(x,y)=x^{3}y^{2}$

Typiske feil med differensialet

- Å utelate ett ledd (#4 — utelate ett ledd i differensialet eller den lineære approksimasjonen). Dette er den desidert vanligste feilen, og hele grunnen til at oppgavetypen finnes. Tell variablene, tell leddene.
- Å forveksle $df$ og $\Delta f$ . $df$ følger tangenten (tilnærming), $\Delta f$ følger kurven (sannhet). En påstand om at de er like, er usann for enhver funksjon som krummer.
- Å svare ubegrunnet. «Usant» alene gir null poeng, selv når det er riktig. Vis utregningen, pek på leddet som mangler, og skriv konklusjonen.
- Fortegnsfeil når en endring er negativ. Faller $y$ , er $dy$ negativ. Sett tallet inn med fortegn, og ikke «snu» leddet manuelt i tillegg.
- Å bytte om hvilken differensial som hører til hvilken derivert. Det heter $f'_x\,dx$ , aldri $f'_x\,dy$ . Feilen er lett å gjøre når uttrykkene er symmetriske.

Regneregler: sum og konstant faktor

d(f+g)=df+dg,\qquad d(cf)=c\,df

Produkt- og kvotientregelen for differensialer

d(fg)=g\,df+f\,dg,\qquad d\!\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{g\,df-f\,dg}{g^{2}}

Differensialet av

\ln

e

d\big(\ln u\big)=\frac{du}{u},\qquad d\big(e^{u}\big)=e^{u}\,du

✏️Eksempel 3: Differensialet av en brøk i to variabler

To fabrikkhaller produserer sammen etter formelen

$P(K,L)=\frac{KL}{K+L},\qquad K,L>0,$

der $K$ er kapital og $L$ er arbeidskraft.

a) Finn $dP$ .

b) Regn ut den tilnærmede endringen når $(K,L)=(6,3)$ , kapitalen øker med $0{,}06$ og arbeidskraften faller med $0{,}03$ .

a) Kvotientregelen begge veier.

Mht. $K$ , med teller $KL$ (derivert $L$ ) og nevner $K+L$ (derivert 1):

$P'_K=\frac{L(K+L)-KL}{(K+L)^{2}}=\frac{LK+L^{2}-KL}{(K+L)^{2}}=\frac{L^{2}}{(K+L)^{2}}$

Mht. $L$ , helt symmetrisk:

$P'_L=\frac{K^{2}}{(K+L)^{2}}$

Differensialet blir dermed

$dP=\frac{L^{2}}{(K+L)^{2}}\,dK+\frac{K^{2}}{(K+L)^{2}}\,dL$

b) Innsetting. I punktet er $K+L=9$ , så $(K+L)^{2}=81$ .

$P'_K=\frac{9}{81}=\frac{1}{9},\qquad P'_L=\frac{36}{81}=\frac{4}{9}$

Med $dK=0{,}06$ og $dL=-0{,}03$ :

$dP=\frac{1}{9}\cdot 0{,}06+\frac{4}{9}\cdot(-0{,}03)=0{,}00667-0{,}01333=-0{,}00667$

Konklusjon: produksjonen faller med omtrent $0{,}0067$ enheter. Til kontroll: den faktiske endringen er $P(6{,}06\,;\,2{,}97)-P(6,3)=-0{,}00684$ , altså samme størrelsesorden og samme fortegn.

Legg merke til hva differensialet forteller: arbeidskraften er fire ganger så «tungtveiende» som kapitalen i dette punktet ( $4/9$ mot $1/9$ ), så et lite kutt i $L$ spiser opp en dobbelt så stor økning i $K$ . Det er den innsikten totalregnestykket skjuler.

📝Oppgave 4

Sjanger DA

Sett opp differensialet:

a) $f(x,y)=\ln(x^{2}+y)$ for $x^{2}+y>0$

b) $g(x,y)=e^{xy}$

c) $h(x,y)=\dfrac{x}{y}$ for $y\ne 0$

📝Oppgave 5

Sjanger DA

La $f(x,y)=x^{2}y^{3}$ .

Avgjør om hver påstand er sann eller usann. Begrunn hver konklusjon med utregning — et ubegrunnet svar gir null poeng.

a) « $df=2xy^{3}\,dx+3x^{2}y^{2}\,dy$ »

b) « $df=3x^{2}y^{2}\,dy$ »

c) « $\Delta f=df$ når $dx$ og $dy$ er små»

Løkke 3 — Tolkning, relativ endring og eksamensdrill (~14 min)

Differensialet i flere enn to variabler

df=f'_x\,dx+f'_y\,dy+f'_z\,dz

Hva

f'_x\,dx

betyr økonomisk

\underbrace{f'_x}_{\text{effekt per enhet}}\cdot\underbrace{dx}_{\text{antall enheter}}=\text{bidraget fra }x

Differensialet langs en nivåkurve

dF=F'_x\,dx+F'_y\,dy=0

Relativ endring:

df/f

\frac{df}{f}=d\big(\ln f\big)

✏️Eksempel 4: Eksamensnivå — differensial i en produksjonsmodell

En bedrift har produktfunksjonen

$Q(K,L)=40\,K^{1/2}L^{1/2}$

og befinner seg i punktet $(K,L)=(25,16)$ .

a) Sett opp $dQ$ generelt.

b) Regn ut $Q$ , $Q'_K$ og $Q'_L$ i punktet.

c) Bedriften vurderer å øke kapitalen med 1 enhet og samtidig kutte arbeidskraften med $0{,}5$ enheter. Bruk differensialet til å anslå virkningen på produksjonen, og avgjør om påstanden «produksjonen faller» er sann eller usann. Begrunn.

a) Vi deriverer partielt. Mht.

K

står

L^{1/2}

som konstant faktor:

$Q'_K=40\cdot\tfrac12 K^{-1/2}L^{1/2}=20\sqrt{\frac{L}{K}},\qquad Q'_L=20\sqrt{\frac{K}{L}}$

$dQ=20\sqrt{\frac{L}{K}}\,dK+20\sqrt{\frac{K}{L}}\,dL$

b) Innsetting med $\sqrt{25}=5$ og $\sqrt{16}=4$ :

$Q=40\cdot 5\cdot 4=800,\qquad Q'_K=20\cdot\frac{4}{5}=16,\qquad Q'_L=20\cdot\frac{5}{4}=25$

c) Med $dK=1$ og $dL=-0{,}5$ :

$dQ=16\cdot 1+25\cdot(-0{,}5)=16-12{,}5=3{,}5$

Konklusjon: påstanden er usann. Differensialet er positivt, så produksjonen anslås å stige med omtrent $3{,}5$ enheter — fra 800 til rundt $803{,}5$ .

Hvorfor blir det slik? Grenseproduktet av arbeidskraft (25) er større enn grenseproduktet av kapital (16), så et kutt i $L$ er isolert sett dyrere enn en tilsvarende økning i $K$ er verdt. Men kuttet er bare halvparten så stort som økningen, og $16\cdot 1>25\cdot 0{,}5$ . Det er balansen mellom effekt og skrittlengde som avgjør — og det er nettopp den differensialet gjør synlig.

Kontroll mot fasit: den eksakte verdien er $Q(26\,;\,15{,}5)=802{,}99$ , mot anslaget $803{,}5$ . Anslaget bommer med $0{,}5$ enheter, altså omtrent $0{,}06$ prosent — akseptabelt for et skritt av denne størrelsen, men et nyttig minne om at differensialet blir mindre presist jo større skrittet er.

📝Oppgave 6

Sjanger DA

En husholdning har nyttefunksjonen $U(x,y)=x^{1/3}y^{2/3}$ , der $x$ er strøm og $y$ er alt annet forbruk. Husholdningen er i punktet $(x,y)=(8,27)$ .

a) Finn $U'_x$ og $U'_y$ i punktet.

b) Sett opp $dU$ og anslå endringen i nytten når strømforbruket øker med $0{,}4$ enheter mens annet forbruk faller med $0{,}6$ enheter.

c) Blir husholdningen bedre eller dårligere stilt? Begrunn.

📝Oppgave 7

Sjanger SU

La $f(x,y)=\dfrac{x}{x+y}$ for $x+y>0$ .

Avgjør om hver påstand er sann eller usann, og begrunn med utregning.

a) « $df=\dfrac{y\,dx-x\,dy}{(x+y)^{2}}$ »

b) «Beveger vi oss slik at $dx=dy$ , endres ikke $f$ når $x=y$ .»

📝Oppgave 8

Sjanger DA

F

være en deriverbar funksjon av to variabler, og la et selskaps kostnad være

$C(r,w)=r\,K_0+w\,L_0+F(r,w),$

der $K_0$ og $L_0$ er faste tall, $r$ er kapitalprisen og $w$ er lønnen.

a) Sett opp $dC$ .

b) Anta at $F'_r<0$ og $F'_w<0$ . Selskapet står overfor at $r$ stiger med $dr>0$ mens $w$ er uendret. Kan kostnaden falle? Begrunn.

Konvensjon:

df

er ikke

\Delta f

Disse to forveksles i hver eneste eksamensbesvarelse som mister poeng på temaet, så det er verdt å slå det fast:

- $df=f'_x\,dx+f'_y\,dy$ er den tilnærmede endringen, målt langs tangentplanet. Den er lineær i $dx$ og $dy$ : doble skrittene, og $df$ dobles.
- $\Delta f=f(x+\Delta x,\,y+\Delta y)-f(x,y)$ er den faktiske endringen, målt på funksjonen selv. Den er ikke lineær.

De er like store bare når funksjonen er lineær (et plan). For alt annet er $\Delta f-df\ne 0$ , og differansen kalles approksimasjonsfeilen. Fortegnet på den følger av krumningen, og det er tema i kap. 3.2.

Praktisk regel på eksamen: ser du ordet «tilnærmet» eller «omtrent» i oppgaven, er det $df$ som etterspørres. Ser du «nøyaktig» eller «faktisk», skal du regne ut $\Delta f$ ved innsetting.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Prosenttolkning av differensialet

\frac{df}{f}=\frac{f'_x\,x}{f}\cdot\frac{dx}{x}+\frac{f'_y\,y}{f}\cdot\frac{dy}{y}

Malen for en differensialpåstand på eksamen

\text{regn }f'_x,\ f'_y\ \to\ \text{skriv }df\ \to\ \text{sammenlign ledd}\ \to\ \text{konkluder}

Numerisk kontroll av et differensial

df\approx\Delta f\quad\text{for små }dx,\,dy

Differensialet av en Cobb-Douglas-funksjon

AK^{\alpha}L^{\beta}

Fortegn på

dx

dy

\text{faller med }0{,}5\ \Longrightarrow\ dy=-0{,}5

Repetisjonsoppgaver

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.