1.2 Partiellderiverte: første og andre orden

En funksjon av flere variabler er en regel som gir én tallverdi ut når du putter inn flere tall. Skriver vi $f(x,y)$, betyr det at verdien avhenger av to størrelser samtidig.

$$f(x,y)=x^{2}y+x^{2}+2y^{2}$$

Her er $f(1,2)=1\cdot 2+1+2\cdot 4=11$. I økonomi er $x$ og $y$ typisk to goder, to innsatsfaktorer eller to tidsperioder — og hele poenget er at de påvirker resultatet samtidig.

Den partiellderiverte av $f$ med hensyn på $x$ forteller hvor mye $f$ endrer seg når bare $x$ øker litt, mens alle andre variabler holdes helt fast. Du deriverer altså som vanlig, men behandler de andre bokstavene som om de var tall.

$$f'_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}$$

Legg merke til at $y$ står uendret på begge sider av brøkstreken — det er dette som er «å holde $y$ konstant». På samme måte gir $f'_{y}$ effekten av å endre bare $y$.

De to skrivemåtene for den partiellderiverte betyr nøyaktig det samme, og du vil møte begge på eksamen — sensor bruker dem om hverandre.

$$f'_{x}=\frac{\partial f}{\partial x},\qquad f'_{y}=\frac{\partial f}{\partial y}$$

Tegnet $\partial$ («runde d») er bare et signal om at funksjonen har flere variabler, så leseren vet at de andre holdes fast. Denne boka bruker $f'_{x}$ som hovedskrivemåte fordi den er kortest, men du skal kjenne igjen begge. Skriver oppgaven $\partial G/\partial s$, betyr det «deriver $G$ med hensyn på $s$».

Å holde $y$ konstant vil si å behandle $y$ som et hvilket som helst tall mens du deriverer med hensyn på $x$. Alt som bare inneholder $y$, oppfører seg som en konstant — og konstanter har derivert null.

I $f(x,y)=x^{2}y+x^{2}+2y^{2}$ er leddet $2y^{2}$ en ren konstant sett fra $x$-siden, så det forsvinner i $f'_{x}$. Leddet $x^{2}y$ har $y$ som konstant faktor, så det deriveres til $2xy$.

$$f'_{x}=2xy+2x$$

Praktisk knep hvis du er usikker: sett midlertidig $y=7$, deriver, og sett $7$ tilbake til $y$ etterpå.

Et ledd som ikke inneholder variabelen du deriverer med hensyn på, forsvinner helt — akkurat som et tallkonstantledd gjør i vanlig derivasjon.

I $f(x,y)=x^{2}y+x^{2}+2y^{2}$ forsvinner $2y^{2}$ når du deriverer mht. $x$, og $x^{2}$ forsvinner når du deriverer mht. $y$:

$$f'_{y}=x^{2}+4y$$

Her ble $x^{2}y$ til $x^{2}$ (fordi $x^{2}$ er konstant faktor og $y$ deriveres til 1), $x^{2}$ forsvant, og $2y^{2}$ ble $4y$. Å glemme at slike ledd faller bort — eller å la dem stå — er en billig, unødvendig feil.

Kvotientregelen brukes akkurat som i én variabel — du må bare huske hvilken variabel du deriverer med hensyn på, både i telleren og i nevneren.

$$\left(\frac{u}{v}\right)'_{x}=\frac{u'_{x}\,v-u\,v'_{x}}{v^{2}}$$

Hele poenget er at $u'_x$ og $v'_x$ regnes ut med $y$ som konstant. Nevneren $v^{2}$ er den samme uansett hvilken variabel du deriverer mht. — det er bare telleren som skifter.

Regelen er den samme som i én variabel — den deriverte av innmaten delt på innmaten — bare at «den deriverte av innmaten» tas med hensyn på den variabelen du jobber med.

$$\big(\ln g(x,y)\big)'_{x}=\frac{g'_{x}}{g},\qquad \big(\ln g(x,y)\big)'_{y}=\frac{g'_{y}}{g}$$

Nevneren er den samme begge veier; det er bare telleren som endrer seg. For $f=\ln(x^{2}+y)$ blir $\displaystyle f'_{x}=\frac{2x}{x^{2}+y}$ og $\displaystyle f'_{y}=\frac{1}{x^{2}+y}$.

Eksponentialfunksjonen blir stående uendret, og du ganger med den partiellderiverte av eksponenten.

$$\big(e^{g(x,y)}\big)'_{x}=e^{g}\cdot g'_{x},\qquad \big(e^{g(x,y)}\big)'_{y}=e^{g}\cdot g'_{y}$$

For $f=e^{3xy}$ er $f'_{x}=3y\,e^{3xy}$ og $f'_{y}=3x\,e^{3xy}$. Merk hvordan den andre variabelen dukker opp som faktor foran — den satt som konstant i eksponenten og faller ned når du deriverer.

En Cobb-Douglas-funksjon er et produkt av potenser av variablene, og er den vanligste funksjonsformen i hele økonomifaget. Den brukes både som produktfunksjon (hvor mye en bedrift lager av kapital og arbeid) og som nyttefunksjon (hvor fornøyd en forbruker er med to goder).

$$Q(K,L)=A\,K^{\alpha}L^{\beta},\qquad A,\alpha,\beta>0$$

Her er $K$ kapital, $L$ arbeidskraft, og $A$ en produktivitetskonstant. Eksponentene $\alpha$ og $\beta$ er faste tall, ikke funksjoner — derfor gjelder vanlig potensregel.

Deriverer du en Cobb-Douglas-funksjon med hensyn på én av variablene, blir den andre potensen stående som konstant faktor, og du bruker potensregelen på din egen variabel.

$$Q=AK^{\alpha}L^{\beta}\quad\Longrightarrow\quad Q'_{K}=\alpha AK^{\alpha-1}L^{\beta}=\alpha\,\frac{Q}{K}$$

Den siste omskrivingen er verdt å merke seg: den partiellderiverte er alltid eksponenten ganger funksjonen delt på variabelen. Den formen sparer mye regning i Del 8 og 9 — og den er grunnen til at Cobb-Douglas gir så pene svar.

Deriver $f'_{x}$ én gang til med hensyn på $x$. Resultatet måler krumningen til funksjonen i $x$-retningen — hvordan effekten av $x$ selv endrer seg når $x$ vokser.

$$f''_{xx}=\big(f'_{x}\big)'_{x}=\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}$$

I økonomi er dette gjerne avtakende grenseprodukt eller avtakende grensenytte: er $f''_{xx}<0$, gir hver ny enhet av $x$ mindre igjen enn den forrige.

Helt tilsvarende: deriver $f'_{y}$ én gang til med hensyn på $y$. Den måler krumningen i $y$-retningen.

$$f''_{yy}=\big(f'_{y}\big)'_{y}=\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}$$

For $f(x,y)=x^{2}y+x^{2}+2y^{2}$ er $f'_{y}=x^{2}+4y$, og dermed $f''_{yy}=4$. Konstant og positiv — funksjonen krummer oppover i $y$-retningen overalt.

Den kryssderiverte forteller hvordan effekten av den ene variabelen endrer seg når den andre variabelen øker. Du deriverer først mht. $x$, deretter mht. $y$.

$$f''_{xy}=\big(f'_{x}\big)'_{y}$$

Økonomisk tolkning: er $f''_{xy}>0$, forsterker de to variablene hverandre (mer arbeidskraft gjør hver maskin mer produktiv). Er den negativ, konkurrerer de. For $f=x^{2}y+x^{2}+2y^{2}$ er $f'_{x}=2xy+2x$, og dermed $f''_{xy}=2x$.

Notasjonen leses fra venstre mot høyre i derivasjonsrekkefølgen: $f''_{xy}$ betyr «først mht. $x$, så mht. $y$», og $f''_{yx}$ betyr det motsatte.

$$f''_{xy}=\big(f'_{x}\big)'_{y},\qquad f''_{yx}=\big(f'_{y}\big)'_{x}$$

I praksis spiller rekkefølgen ingen rolle for svaret (se Youngs teorem under), men den spiller en rolle for hvor mye arbeid du får: velg den veien der det første derivasjonssteget gir det enkleste uttrykket.

Grensenytten er den partiellderiverte av en nyttefunksjon med hensyn på ett av godene: hvor mye mer fornøyd forbrukeren blir av én enhet til av det godet, når konsumet av det andre holdes uendret.

$$U=U(x,y)\quad\Longrightarrow\quad \text{grensenytte av gode }x=U'_{x}$$

For $U(x,y)=\ln x+2\ln y$ er $U'_{x}=\dfrac1x$ og $U'_{y}=\dfrac2y$. Begge er positive (mer er bedre) og avtakende (den tiende kaffekoppen gir mindre glede enn den første).

Grenseproduktet er den partiellderiverte av en produktfunksjon med hensyn på én innsatsfaktor: hvor mye mer bedriften produserer av én enhet til av den faktoren, med de andre faste.

$$Q=Q(K,L)\quad\Longrightarrow\quad \text{grenseprodukt av arbeidskraft}=Q'_{L}$$

Grenseproduktet er normalt positivt ($Q'_{L}>0$: mer arbeid gir mer produksjon) og avtakende ($Q''_{LL}<0$: hver ny arbeider gir mindre enn den forrige, fordi utstyret er fast).

«Avtakende» betyr at den førstederiverte er positiv, men den andrederiverte negativ. Nytten eller produksjonen vokser, men stadig saktere.

$$U'_{x}>0\quad\text{og}\quad U''_{xx}<0$$

Dette er den vanligste egenskapen økonomiske modeller antar om nytte og produksjon, og den er ren fortegnsinformasjon fra første- og andreordens partiellderiverte. Den er også grunnen til at optimeringsproblemene i Del 8 har pene, entydige løsninger.

Skriver vi $f'_{x}(a,b)$, mener vi den partiellderiverte regnet ut i det bestemte punktet $(a,b)$ — altså et tall, ikke en funksjon.

$$f'_{x}(1,2)=2\cdot 1\cdot 2+2\cdot 1=6\qquad\text{for }f(x,y)=x^{2}y+x^{2}+2y^{2}$$

Rekkefølgen er alltid den samme som i funksjonsnavnet: første tall er $x$-verdien, andre er $y$-verdien. Å sette inn i feil rekkefølge er en unødvendig, men vanlig, tabbe under tidspress.

En funksjon er symmetrisk i $x$ og $y$ hvis den er uendret når du bytter om de to variablene: $f(x,y)=f(y,x)$.

$$f(x,y)=\frac{xy}{x+y}\quad\text{er symmetrisk, siden}\quad f(y,x)=\frac{yx}{y+x}=f(x,y)$$

Symmetri sparer halve regnearbeidet: har du funnet $f'_{x}$, får du $f'_{y}$ ved å bytte om bokstavene. Sensor godtar dette som fullgod begrunnelse — men bare hvis du sier at du bruker symmetri, ikke bare skriver svaret.

Fortegnet på $f'_{x}$ forteller om $f$ vokser eller avtar når $x$ øker og $y$ holdes fast — helt uavhengig av hva $f'_{y}$ gjør.

$$f'_{x}>0:\ f\ \text{vokser i}\ x\text{-retningen},\qquad f'_{x}<0:\ f\ \text{avtar}$$

I økonomiske modeller er dette ofte hele svaret på et spørsmål: er grensenytten positiv, er mer bedre; er grenseproduktet av arbeid positivt, lønner det seg å ansette flere (før man ser på kostnaden).

Den andreordens partiellderiverte $f''_{xx}$ måler om funksjonen krummer oppover eller nedover langs $x$-aksen, med $y$ fast.

$$f''_{xx}>0:\ \text{konveks i }x\text{-retningen},\qquad f''_{xx}<0:\ \text{konkav i }x\text{-retningen}$$

Vær oppmerksom på at dette bare sier noe om én retning. En funksjon kan godt være konveks i $x$-retningen og konkav i $y$-retningen samtidig — og da er punktet verken et toppunkt eller et bunnpunkt. Den fulle testen kommer i Del 6.

Produktregelen brukes helt som vanlig, men bare de faktorene som inneholder din variabel, deriveres — resten er konstanter som blir stående.

$$\big(y\,e^{xy}\big)'_{x}=y\cdot e^{xy}\cdot y=y^{2}e^{xy}$$

Her var $y$ foran en ren konstant faktor, så produktregelen trengtes ikke i det hele tatt. Deriverer du derimot mht. $y$, varierer begge faktorene, og produktregelen må brukes: $\big(y\,e^{xy}\big)'_{y}=e^{xy}(1+xy)$.