8.1 Lagrange-metoden: oppsett og førsteordensbetingelser

$$g(x,y)=m$$

Den typiske bibetingelsen i økonomi er et budsjett, $p_1x+p_2y=m$, der $p_1$ og $p_2$ er priser og $m$ er inntekten. En annen vanlig form er et produksjonskrav, $F(K,L)=\bar Y$. Ordet «bi» betyr her ikke «mindre viktig» — bibetingelsen er like bindende som målet er ettertraktet.

$$\max_{x,y}\ F(x,y)\quad\text{under}\quad g(x,y)=m$$

Funksjonen $F$ kalles målfunksjonen eller objektfunksjonen — det er den du vil ha mest mulig (eller minst mulig) av. Funksjonen $g$ er bibetingelsen. Å blande de to er den dyreste feilen i hele sjangeren, fordi alt som følger blir galt.

$$L(x,y)=F(x,y)-\lambda\big(g(x,y)-m\big)$$

Parentesen $g(x,y)-m$ er null nøyaktig når bibetingelsen er oppfylt. I et lovlig punkt er altså $L=F$ — det ekstra leddet forsvinner. Men de partiellderiverte til $L$ er ikke de samme som til $F$, og det er nettopp der metoden får kraften sin.

Boka skriver gjennomgående $L=F-\lambda(g-m)$.

$$\lambda:\ \text{ukjent tall, bestemmes sammen med }x^*\text{ og }y^*$$

Den er altså ikke en parameter du får oppgitt, men en tredje ukjent på linje med $x$ og $y$. I kap. 8.3 viser det seg at $\lambda$ har en presis økonomisk tolkning — den er skyggeprisen, verdien av å slakke bibetingelsen med én enhet. Foreløpig er den bare et regnehjelpemiddel som skal elimineres.

$$\text{FOB (1)}:\ L'_x=F'_x-\lambda g'_x=0\qquad \text{FOB (2)}:\ L'_y=F'_y-\lambda g'_y=0$$

$$\text{FOB (3)}:\ g(x,y)=m$$

Tre likninger, tre ukjente. Ordet «førsteordens» viser til at bare de første deriverte inngår — akkurat som $f'(a)=0$ i endimensjonal optimering.

$$L=F-\lambda(g-m)\qquad\text{eller}\qquad L=F+\lambda(m-g)$$

De to er identiske uttrykk — den andre er den første med minustegnet ganget inn. En tredje variant, $L=F+\lambda(g-m)$, er også lov, men da får $\lambda$ motsatt fortegn, og tolkningen som skyggepris snus tilsvarende. Boka bruker gjennomgående den første formen, så tallene i tolkningene stemmer.

$$\frac{\partial L}{\partial\lambda}=-\big(g(x,y)-m\big)=0\ \Longleftrightarrow\ g(x,y)=m$$

Det er derfor systemet av og til presenteres som «tre partiellderiverte lik null». Det er samme sak: den tredje betingelsen er bibetingelsen. Du kan derfor droppe å derivere mht. $\lambda$ og bare skrive bibetingelsen rett fram — så lenge den faktisk brukes.

$$\min\ c_1x_1+c_2x_2\quad\text{under}\quad F(x_1,x_2)=\bar Q$$

Her er $c_1,c_2$ faktorpriser og $\bar Q$ et produksjonskrav. Målfunksjonen er nå den enkle (en sum av priser ganger mengder), og bibetingelsen er den vanskelige (produktfunksjonen). Utsatte eksamener bruker denne innrammingen oftere enn de ordinære.

Signalord som peker på $F$: så stor som mulig, maksimer, billigst. Signalord som peker på $g=m$: gitt at, under, kravet er.

$$F\ \text{skal bli størst eller minst};\qquad g=m\ \text{må holde}$$

En god kontroll er at bibetingelsen alltid har en fast tallverdi eller parameter på høyre side — budsjettet $m$, produksjonskravet $\bar Q$, rammen på 125 millioner. Målfunksjonen har ingen slik verdi; den er det som skal bli størst eller minst.

$$x^*>0\ \text{og}\ y^*>0$$

Lagranges betingelser er laget for indre løsninger. I nyttefunksjoner med $\ln$ eller kvadratrot er dette automatisk oppfylt: nytten stuper mot $-\infty$ (eller grensenytten mot $+\infty$) når en variabel går mot null, så konsumenten velger aldri null av et gode. Ligger optimum derimot på kanten, er det en hjørneløsning, og da gjelder randargumentet fra kap. 4.3 i stedet.

$$L=F-\lambda(g-m);\quad L'_x=0;\quad L'_y=0;\quad g=m$$

De tre siste er FOB (1), FOB (2) og FOB (3). Skriv dem alltid nummerert — du skal referere til dem når du eliminerer $\lambda$ i neste steg.

$$\text{bundet i }(x,y)\ \longrightarrow\ \text{fritt i }(x,y,\lambda)$$

Vi legger til én ukjent og får til gjengjeld lov til å sette begge partiellderiverte lik null. Regnskapet går opp fordi bibetingelsen kommer inn som en tredje likning.

$$\max\ U(x,y)\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m$$

Nytten er målfunksjonen, budsjettet er bibetingelsen. Prisene $p_1,p_2$ og inntekten $m$ er gitte parametere, ikke ukjente.

$$\min\ c_1x_1+c_2x_2\quad\text{under}\quad F(x_1,x_2)=\bar Q$$

Nå er pengeuttrykket målfunksjonen og produktfunksjonen bibetingelsen. Rollene er byttet om i forhold til nyttemaksimering, og å ikke se det er den dyreste lesefeilen i sjangeren.

$$\frac{\partial L}{\partial\lambda}=-(g-m)=0\ \Longleftrightarrow\ g=m$$

Den er bibetingelsen i forkledning. Sensor godtar at man hopper over den, forutsatt at bibetingelsen faktisk brukes når systemet løses.

$$L=F-\lambda(g-m)$$

Andre bøker skriver $L=F+\lambda(m-g)$ (identisk) eller $L=F+\lambda(g-m)$ (gir $\lambda$ motsatt fortegn). Optimum er det samme uansett; det er bare tolkningen av multiplikatoren som følger valget.

$$g(x,y)=m,\qquad\text{ikke}\ g(x,y)\le m$$

I nyttemaksimering med «mer er bedre» brukes hele budsjettet uansett, så de to faller sammen. Ulikhetsbibetingelser som ikke er bindende, er ikke pensum i ECON1100.

$$\text{FOB oppfylt}\ \not\Rightarrow\ \text{maksimum}$$

Akkurat som $f'(a)=0$ i én variabel kan et Lagrange-kandidatpunkt være maksimum, minimum eller ingen av delene. Skal det avgjøres, sammenlignes funksjonsverdiene i kandidatpunktene.

$$\ln x\ \text{krever}\ x>0;\qquad \sqrt{x}\ \text{krever}\ x\ge 0$$

Skriv definisjonsområdet ned før du begynner. Da vet du med én gang at en negativ rot skal forkastes, i stedet for å oppdage det etterpå — eller ikke oppdage det i det hele tatt.