Tilbake
8.2
Alle fag for Høyskole

8.2 Eliminér $\lambda$: tangeringsbetingelsen og optimal etterspørsel

Fra FOB til løsning: del den ene betingelsen på den andre så $\lambda$ faller ut, få MRS = prisforhold, sett inn i bibetingelsen.

60 min
8 oppgaver
Eliminér $\lambda$tangeringsbetingelsenoptimal etterspørsel
Din fremgang i kapitlet
0 / 8 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Kapitlet fortsetter direkte fra kap. 8.1. Du bør også ha kap. 5.1 (indifferenskurver og MRS) og kap. 1.2 (partiellderivasjon) friskt i minne.

Sist du var her — de tre linjene alt bygger på:

L=F(x,y)−λ(g(x,y)−m)L=F(x,y)-\lambda\big(g(x,y)-m\big)

FOB (1): Fx′=λgx′;FOB (2): Fy′=λgy′;FOB (3): g(x,y)=m\text{FOB (1)}:\ F'_x=\lambda g'_x;\qquad \text{FOB (2)}:\ F'_y=\lambda g'_y;\qquad \text{FOB (3)}:\ g(x,y)=m

MRS=Ux′Uy′— konsumentens eget bytteforhold\mathrm{MRS}=\frac{U'_x}{U'_y}\quad\text{— konsumentens eget bytteforhold}

Etter forrige kapittel står du med tre likninger og tre ukjente. Én av de ukjente — λ\lambda — er du egentlig ikke interessert i. Du vil vite hvor mye konsumenten kjøper, ikke hva multiplikatoren er.

Det er godt nytt, for det finnes et grep som fjerner λ\lambda i ett trekk: del den ene betingelsen på den andre. Multiplikatoren står som faktor på begge sider og forsvinner.

Det som blir igjen, er en likning mellom xx og yy alene — og den har en presis økonomisk mening. Sammen med bibetingelsen gir den to likninger og to ukjente, og da er du i mål.

Dette kapitlet går gjennom hele veien: eliminering, tangeringsbetingelse, innsetting, forenkling og kontroll av definisjonsområdet.

Løkke 1 — Eliminér λ\lambda (~15 min)

Eliminering av λ\lambda
Multiplikatoren fjernes ved å dele den ene førsteordensbetingelsen på den andre.

Fx′Fy′=λgx′λgy′=gx′gy′\frac{F'_x}{F'_y}=\frac{\lambda g'_x}{\lambda g'_y}=\frac{g'_x}{g'_y}

Delingen er lovlig når Fy′≠0F'_y\ne 0 og λ≠0\lambda\ne 0, som er tilfellet i alle standardoppgavene. En likeverdig vei er å løse hver FOB for λ\lambda og sette de to uttrykkene lik hverandre — det gir nøyaktig samme likning.

Tangeringsbetingelsen: MRS = prisforhold
Med en budsjettbibetingelse blir høyresiden prisforholdet, og likningen får en direkte økonomisk tolkning.

Ux′Uy′=p1p2\frac{U'_x}{U'_y}=\frac{p_1}{p_2}

Venstresiden er den marginale substitusjonsraten (MRS) — hvor mye yy konsumenten selv er villig til å gi fra seg for én enhet xx. Høyresiden er hva markedet krever. I optimum er de like, og geometrisk betyr det at indifferenskurven tangerer budsjettlinjen.

✏️Eksempel 1: Standardproblemet løst helt ut
Løs

max⁡ ln⁡x+ln⁡yunderp1x+p2y=m,\max\ \ln x+\ln y\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m,

der p1,p2,m>0p_1,p_2,m>0. Finn x∗x^*, y∗y^* og λ\lambda.

Steg 1 — oppsett og FOB.

L=ln⁡x+ln⁡y−λ(p1x+p2y−m)L=\ln x+\ln y-\lambda\big(p_1x+p_2y-m\big)

FOB (1): 1x=λp1FOB (2): 1y=λp2FOB (3): p1x+p2y=m\text{FOB (1)}:\ \frac1x=\lambda p_1\qquad \text{FOB (2)}:\ \frac1y=\lambda p_2\qquad \text{FOB (3)}:\ p_1x+p_2y=m

Steg 2 — eliminér λ\lambda. Del FOB (1) på FOB (2):

1/x1/y=λp1λp2 ⟹ yx=p1p2\frac{1/x}{1/y}=\frac{\lambda p_1}{\lambda p_2}\ \Longrightarrow\ \frac{y}{x}=\frac{p_1}{p_2}

Dette er tangeringsbetingelsen. Ganget opp:

p2y=p1xp_2y=p_1x

Intuisjon: konsumenten bruker like mye penger på hvert gode. Venstresiden p2yp_2y er pengene brukt på yy, høyresiden p1xp_1x er pengene brukt på xx.

Steg 3 — sett inn i bibetingelsen. Erstatt p2yp_2y med p1xp_1x i FOB (3):

p1x+p1x=m ⟹ 2p1x=mp_1x+p_1x=m\ \Longrightarrow\ 2p_1x=m

x∗=m2p1\boxed{x^*=\frac{m}{2p_1}}

Symmetrisk, ved å erstatte p1xp_1x med p2yp_2y i stedet:

y∗=m2p2\boxed{y^*=\frac{m}{2p_2}}

Steg 4 — multiplikatoren. Fra FOB (1):

λ=1p1x∗=1p1⋅m2p1=2m\lambda=\frac{1}{p_1x^*}=\frac{1}{p_1\cdot\frac{m}{2p_1}}=\frac{2}{m}

Steg 5 — kontroll. Sett inn i bibetingelsen:

p1⋅m2p1+p2⋅m2p2=m2+m2=m ✓p_1\cdot\frac{m}{2p_1}+p_2\cdot\frac{m}{2p_2}=\frac{m}{2}+\frac{m}{2}=m\ ✓

Og i FOB (2): 1y∗=2p2m\dfrac{1}{y^*}=\dfrac{2p_2}{m}, mens λp2=2p2m\lambda p_2=\dfrac{2p_2}{m} ✓.

Definisjonsområdet: x∗>0x^*>0 og y∗>0y^*>0 siden m,p1,p2>0m,p_1,p_2>0 ✓ — løsningen ligger der ln⁡\ln er definert.

Tallcase. Med p1=2p_1=2, p2=5p_2=5 og m=200m=200:

x∗=2004=50,y∗=20010=20,λ=2200=0,01x^*=\frac{200}{4}=50,\qquad y^*=\frac{200}{10}=20,\qquad \lambda=\frac{2}{200}=0{,}01

Kontroll: 2⋅50+5⋅20=100+100=2002\cdot 50+5\cdot 20=100+100=200 ✓ — og legg merke til at de to beløpene er like store, akkurat som tangeringsbetingelsen sa.

Konklusjon: konsumenten bruker halve inntekten på hvert gode, uansett hva prisene er. Det er et resultat verdt å kjenne igjen — det gjelder for all logaritmisk nytte med like vekter.

📝Oppgave 1
LG
Løs

max⁡ ln⁡x+ln⁡yunder5x+2y=100.\max\ \ln x+\ln y\quad\text{under}\quad 5x+2y=100.

Finn x∗x^*, y∗y^* og λ\lambda, og kontroller svaret mot bibetingelsen.

Løkke 2 — Optimal etterspørsel (~15 min)

Betinget etterspørselsfunksjon
Løsningen x∗x^* er ikke ett tall, men en funksjon av prisene og inntekten.

x∗=x∗(p1,p2,m)x^*=x^*(p_1,p_2,m)

Dette er etterspørselsfunksjonen for gode 1: hvor mye konsumenten kjøper når prisene og inntekten er som de er. Den er broen fra matematikken i ECON1100 til konsumentteorien i ECON1210 — der er nøyaktig denne funksjonen utgangspunktet for hele etterspørselsanalysen.

Budsjettandeler i logaritmisk nytte
For nytten aln⁡x+bln⁡ya\ln x+b\ln y fordeler utgiftene seg etter vektene aa og bb.

x∗=aa+b⋅mp1,y∗=ba+b⋅mp2x^*=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{m}{p_1},\qquad y^*=\frac{b}{a+b}\cdot\frac{m}{p_2}

Brøken a/(a+b)a/(a+b) er andelen av budsjettet som går til gode 1. Andelen avhenger bare av vektene, ikke av prisene: stiger p1p_1, kjøper konsumenten mindre av xx, men bruker like stor andel av pengene på det. Det er et kjennetegn ved Cobb-Douglas-nytte.

✏️Eksempel 2: Ulike vekter
Løs

max⁡ ln⁡x+2ln⁡yunderp1x+p2y=m.\max\ \ln x+2\ln y\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m.

Finn x∗x^*, y∗y^* og λ\lambda, og tolk budsjettandelene.

FOB:

FOB (1): 1x=λp1FOB (2): 2y=λp2FOB (3): p1x+p2y=m\text{FOB (1)}:\ \frac1x=\lambda p_1\qquad \text{FOB (2)}:\ \frac2y=\lambda p_2\qquad \text{FOB (3)}:\ p_1x+p_2y=m

Eliminér λ\lambda:

1/x2/y=p1p2 ⟹ y2x=p1p2 ⟹ p2y=2p1x\frac{1/x}{2/y}=\frac{p_1}{p_2}\ \Longrightarrow\ \frac{y}{2x}=\frac{p_1}{p_2}\ \Longrightarrow\ p_2y=2p_1x

Intuisjon: konsumenten bruker dobbelt så mye på yy som på xx, fordi yy teller dobbelt i nyttefunksjonen.

Sett inn i bibetingelsen:

p1x+2p1x=m ⟹ 3p1x=m ⟹ x∗=m3p1p_1x+2p_1x=m\ \Longrightarrow\ 3p_1x=m\ \Longrightarrow\ \boxed{x^*=\frac{m}{3p_1}}

p2y=2p1x∗=2m3 ⟹ y∗=2m3p2p_2y=2p_1x^*=\frac{2m}{3}\ \Longrightarrow\ \boxed{y^*=\frac{2m}{3p_2}}

Multiplikatoren:

λ=1p1x∗=3m\lambda=\frac{1}{p_1x^*}=\frac{3}{m}

Kontroll: p1x∗+p2y∗=m3+2m3=mp_1x^*+p_2y^*=\dfrac{m}{3}+\dfrac{2m}{3}=m ✓. Og FOB (2): 2y∗=2⋅3p22m=3p2m\dfrac{2}{y^*}=\dfrac{2\cdot 3p_2}{2m}=\dfrac{3p_2}{m}, mens λp2=3p2m\lambda p_2=\dfrac{3p_2}{m} ✓.

Budsjettandelene: en tredjedel av inntekten på xx, to tredjedeler på yy — nøyaktig forholdet mellom vektene 11 og 22. Formelen aa+b\dfrac{a}{a+b} gir 13\dfrac{1}{3} og 23\dfrac{2}{3} ✓.

Tallcase: med p1=3p_1=3, p2=4p_2=4, m=90m=90 blir x∗=909=10x^*=\dfrac{90}{9}=10 og y∗=18012=15y^*=\dfrac{180}{12}=15. Kontroll: 3⋅10+4⋅15=30+60=903\cdot 10+4\cdot 15=30+60=90 ✓, og utgiftene er 3030 og 6060 — én tredjedel og to tredjedeler ✓.

Merk at andelene ikke avhenger av prisene. Doble p1p_1, og x∗x^* halveres — men utgiften p1x∗=m/3p_1x^*=m/3 er uendret.

📝Oppgave 2
Sjanger LG
Løs

max⁡ ln⁡x+3ln⁡yunderp1x+p2y=m,\max\ \ln x+3\ln y\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m,

og oppgi budsjettandelene.

📝Oppgave 3
Sjanger LG
Løs

max⁡ x1/2y1/2under2x+8y=64.\max\ x^{1/2}y^{1/2}\quad\text{under}\quad 2x+8y=64.

Finn x∗x^*, y∗y^*, nytteverdien U∗U^* og λ\lambda.

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — Røtter utenfor definisjonsområdet (~14 min)

Å forkaste røtter
En kandidat som ligger utenfor definisjonsområdet, er ikke en løsning — uansett hvor pent den oppfyller likningene.

y2=4 ⟹ y=2 eller y=−2;ln⁡y krever y>0 ⟹ y=2y^2=4\ \Longrightarrow\ y=2\ \text{eller}\ y=-2;\quad \ln y\ \text{krever}\ y>0\ \Longrightarrow\ y=2

Forkastingen skal skrives ut: «y=−2y=-2 forkastes fordi ln⁡y\ln y krever y>0y>0». Sensor gir uttelling for begrunnelsen, ikke for at riktig tall tilfeldigvis står igjen. Dette er feilkatalogens #11.

Definisjonsområdet skrives ned først
Området fastsettes av funksjonsuttrykkene, før noen likning løses.

ln⁡x ⇒ x>0;x ⇒ x≥0;1/x ⇒ x≠0\ln x\ \Rightarrow\ x>0;\qquad \sqrt{x}\ \Rightarrow\ x\ge 0;\qquad 1/x\ \Rightarrow\ x\ne 0

Skriver du området ned på arket før du regner, blir forkastingen en selvfølge i stedet for noe du kanskje kommer på. Det er den samme disiplinen som i kap. 4.3, der definisjonsområdet avgjorde hvor ekstrempunktene kunne ligge.

✏️Eksempel 3: To røtter, én lovlig

En bedrift fordeler en ressurs mellom to prosesser. Utbyttet er ln⁡x+ln⁡y\ln x+\ln y, og ressursbruken er x+y2=12x+y^2=12 (den andre prosessen bruker ressurser kvadratisk). Maksimer utbyttet.

Definisjonsområde først: ln⁡x\ln x og ln⁡y\ln y krever x>0x>0 og y>0y>0.

Oppsett:

L=ln⁡x+ln⁡y−λ(x+y2−12)L=\ln x+\ln y-\lambda\big(x+y^2-12\big)

FOB (1): 1x−λ=0FOB (2): 1y−2λy=0FOB (3): x+y2=12\text{FOB (1)}:\ \frac1x-\lambda=0\qquad \text{FOB (2)}:\ \frac1y-2\lambda y=0\qquad \text{FOB (3)}:\ x+y^2=12

Eliminér λ\lambda. FOB (1) gir λ=1x\lambda=\dfrac1x. Sett inn i FOB (2):

1y=2yx ⟹ x=2y2\frac1y=\frac{2y}{x}\ \Longrightarrow\ x=2y^2

Sett inn i bibetingelsen:

2y2+y2=12 ⟹ 3y2=12 ⟹ y2=42y^2+y^2=12\ \Longrightarrow\ 3y^2=12\ \Longrightarrow\ y^2=4

y=2ellery=−2y=2\quad\text{eller}\quad y=-2

Forkasting: y=−2y=-2 ligger utenfor definisjonsområdet, siden ln⁡y\ln y krever y>0y>0. Den forkastes.

Løsningen:

y∗=2,x∗=2⋅4=8,λ=18y^*=2,\qquad x^*=2\cdot 4=8,\qquad \lambda=\frac18

Kontroll av alle tre betingelsene:

- FOB (3): 8+22=8+4=128+2^2=8+4=12 ✓
- FOB (1): 18−18=0\dfrac18-\dfrac18=0 ✓
- FOB (2): 12−2⋅18⋅2=12−12=0\dfrac12-2\cdot\dfrac18\cdot 2=\dfrac12-\dfrac12=0 ✓

Utbyttet blir ln⁡8+ln⁡2=ln⁡16≈2,77\ln 8+\ln 2=\ln 16\approx 2{,}77.

At dette er et maksimum, ser vi ved å prøve andre lovlige punkter på bibetingelsen: med y=1y=1 er x=11x=11 og utbyttet ln⁡11≈2,40\ln 11\approx 2{,}40; med y=3y=3 er x=3x=3 og utbyttet ln⁡9≈2,20\ln 9\approx 2{,}20. Begge er lavere enn 2,772{,}77 ✓. Sammenligning av funksjonsverdier er den lovlige veien til en slik konklusjon — se kap. 8.4.

Merk hvor lett det er å miste poenget her. Hadde vi skrevet «y=±2y=\pm 2» og gått videre uten et ord, ville sensor sett en kandidat som ikke har sjekket definisjonsområdet. Én setning er alt som skal til.

📝Oppgave 4
Sjanger LG
Maksimer ln⁡x+ln⁡y\ln x+\ln y under bibetingelsen

x2+y=18,x^2+y=18,

der x>0x>0 og y>0y>0. Finn x∗x^*, y∗y^* og λ\lambda, og skriv eksplisitt hvilken rot som forkastes og hvorfor.

Løkke 4 — Kostnadsminimering og faktoretterspørsel (~16 min)

Betinget faktoretterspørsel
I kostnadsminimering er løsningen hvor mye av hver innsatsfaktor bedriften bruker for å nå produksjonskravet billigst.

x1∗=x1∗(c1,c2,Qˉ)x_1^*=x_1^*(c_1,c_2,\bar Q)

Den kalles betinget fordi den er betinget av produksjonskravet Qˉ\bar Q: den svarer på «hva er billigste vei til akkurat denne produksjonen», ikke på «hvor mye bør bedriften produsere». Det siste spørsmålet hører til profittmaksimering i Del 9.

Tangering i produsentbildet
Kostnadsminimering er samme geometri med nye navn på kurvene.

F1′F2′=c1c2\frac{F'_1}{F'_2}=\frac{c_1}{c_2}

Venstresiden er forholdet mellom grenseproduktene, høyresiden forholdet mellom faktorprisene. Kurven F(x1,x2)=QˉF(x_1,x_2)=\bar Q kalles en isokvant (lik mengde), og de rette linjene med konstant kostnad kalles isokostlinjer. Optimum er der isokostlinjen så vidt berører isokvanten.

✏️Eksempel 4: Eksamensnivå — kostnadsminimering generelt

En bedrift har produktfunksjonen Q=x11/2x21/2Q=x_1^{1/2}x_2^{1/2} og faktorpriser c1,c2>0c_1,c_2>0. Den skal produsere Qˉ\bar Q enheter til lavest mulig kostnad.

a) Finn betinget faktoretterspørsel x1∗x_1^* og x2∗x_2^*.

b) Finn den minimale kostnaden C∗C^* og multiplikatoren λ\lambda.

c) Regn ut tallcaset c1=4c_1=4, c2=9c_2=9, Qˉ=6\bar Q=6, og kontroller.

a) Oppsett. Kostnaden minimeres, produksjonen er kravet:

L=c1x1+c2x2−λ(x11/2x21/2−Qˉ)L=c_1x_1+c_2x_2-\lambda\big(x_1^{1/2}x_2^{1/2}-\bar Q\big)

FOB (1): c1=λ⋅12x1−1/2x21/2\text{FOB (1)}:\ c_1=\lambda\cdot\tfrac12 x_1^{-1/2}x_2^{1/2}

FOB (2): c2=λ⋅12x11/2x2−1/2\text{FOB (2)}:\ c_2=\lambda\cdot\tfrac12 x_1^{1/2}x_2^{-1/2}

FOB (3): x11/2x21/2=Qˉ\text{FOB (3)}:\ x_1^{1/2}x_2^{1/2}=\bar Q

Eliminér λ\lambda. Del FOB (1) på FOB (2):

c1c2=x1−1/2x21/2x11/2x2−1/2=x2x1\frac{c_1}{c_2}=\frac{x_1^{-1/2}x_2^{1/2}}{x_1^{1/2}x_2^{-1/2}}=\frac{x_2}{x_1}

⟹ c1x1=c2x2\Longrightarrow\ c_1x_1=c_2x_2

Intuisjon: bedriften bruker like mye penger på hver faktor. Det er samme mønster som de like budsjettandelene i konsumentproblemet, og det kommer av at eksponentene er like.

Sett inn i bibetingelsen. Fra tangeringsbetingelsen er x2=c1x1c2x_2=\dfrac{c_1x_1}{c_2}, så

x11/2(c1x1c2)1/2=Qˉ ⟹ x1c1c2=Qˉx_1^{1/2}\left(\frac{c_1x_1}{c_2}\right)^{1/2}=\bar Q\ \Longrightarrow\ x_1\sqrt{\frac{c_1}{c_2}}=\bar Q

x1∗=Qˉc2c1,x2∗=Qˉc1c2\boxed{x_1^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}}},\qquad \boxed{x_2^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_1}{c_2}}}

Kontroll av bibetingelsen: x1∗x2∗=Qˉ2⋅c2c1⋅c1c2=Qˉ2=Qˉ\sqrt{x_1^*x_2^*}=\sqrt{\bar Q^2\cdot\sqrt{\tfrac{c_2}{c_1}}\cdot\sqrt{\tfrac{c_1}{c_2}}}=\sqrt{\bar Q^2}=\bar Q ✓

b) Minimal kostnad:

C∗=c1Qˉc2c1+c2Qˉc1c2=Qˉc1c2+Qˉc1c2=2Qˉc1c2C^*=c_1\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}}+c_2\bar Q\sqrt{\frac{c_1}{c_2}}=\bar Q\sqrt{c_1c_2}+\bar Q\sqrt{c_1c_2}=2\bar Q\sqrt{c_1c_2}

Mellomregning: c1c2/c1=c12⋅c2/c1=c1c2c_1\sqrt{c_2/c_1}=\sqrt{c_1^2\cdot c_2/c_1}=\sqrt{c_1c_2}, og tilsvarende for det andre leddet.

Multiplikatoren fra FOB (1), med x2∗/x1∗=c1/c2x_2^*/x_1^*=c_1/c_2:

c1=λ⋅12x2∗x1∗=λ⋅12c1c2 ⟹ λ=2c1c2c1=2c1c2c_1=\lambda\cdot\tfrac12\sqrt{\frac{x_2^*}{x_1^*}}=\lambda\cdot\tfrac12\sqrt{\frac{c_1}{c_2}}\ \Longrightarrow\ \lambda=2c_1\sqrt{\frac{c_2}{c_1}}=2\sqrt{c_1c_2}

Legg merke til sammenhengen: C∗=2Qˉc1c2C^*=2\bar Q\sqrt{c_1c_2}, så dC∗dQˉ=2c1c2=λ\dfrac{dC^*}{d\bar Q}=2\sqrt{c_1c_2}=\lambda. Multiplikatoren er altså grensekostnaden — hva den neste produserte enheten koster. Det er ikke tilfeldig, og det er tema i kap. 8.3.

c) Tallcase c1=4c_1=4, c2=9c_2=9, Qˉ=6\bar Q=6:

x1∗=694=6⋅32=9,x2∗=649=6⋅23=4x_1^*=6\sqrt{\frac94}=6\cdot\frac32=9,\qquad x_2^*=6\sqrt{\frac49}=6\cdot\frac23=4

C∗=4⋅9+9⋅4=36+36=72,λ=236=12C^*=4\cdot 9+9\cdot 4=36+36=72,\qquad \lambda=2\sqrt{36}=12

Kontroll: 9⋅4=36=6=Qˉ\sqrt{9\cdot 4}=\sqrt{36}=6=\bar Q ✓, og formelen gir C∗=2⋅6⋅36=72C^*=2\cdot 6\cdot\sqrt{36}=72 ✓. Utgiftene er 3636 på hver faktor, som tangeringsbetingelsen c1x1=c2x2c_1x_1=c_2x_2 krever ✓.

📝Oppgave 5
Sjanger LG

En bedrift har produktfunksjonen Q=K1/2N1/2Q=K^{1/2}N^{1/2}, der KK er kapital og NN er sysselsetting. Kapitalprisen er r=5r=5 og lønna er w=20w=20. Bedriften må produsere Qˉ=40\bar Q=40.

a) Finn K∗K^* og N∗N^*.

b) Finn den minimale kostnaden og λ\lambda, og tolk λ\lambda.

📝Oppgave 6
Sjanger LG
Løs

max⁡ x+yunderx+3y=12.\max\ \sqrt{x}+\sqrt{y}\quad\text{under}\quad x+3y=12.

Finn x∗x^* og y∗y^*, og kontroller mot bibetingelsen.

📝Oppgave 7
Sjanger LG
Løs

max⁡ aln⁡x+bln⁡yunderp1x+p2y=m,\max\ a\ln x+b\ln y\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m,

der a,b,p1,p2,m>0a,b,p_1,p_2,m>0.

a) Utled x∗x^* og y∗y^* som funksjoner av a,b,p1,p2,ma,b,p_1,p_2,m.

b) Finn λ\lambda.

c) Vis at utgiftsandelen på gode 1 er uavhengig av prisene, og forklar hva det betyr.

📝Oppgave 8
Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) «Når tangeringsbetingelsen MRS=p1/p2\mathrm{MRS}=p_1/p_2 er funnet, er problemet løst.»

b) «For nytten ln⁡x+ln⁡y\ln x+\ln y halveres etterspørselen etter gode 1 når p1p_1 dobles.»

c) «Ved kostnadsminimering med Q=x11/2x21/2Q=x_1^{1/2}x_2^{1/2} bruker bedriften like mye penger på hver faktor, uansett faktorpriser.»

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Firestegsoppskriften
Hele veien fra oppgavetekst til svar, i fire trekk.

FOB → elimineˊr λ → sett inn i bibetingelsen → forenkle og kontroller\text{FOB}\ \to\ \text{eliminér }\lambda\ \to\ \text{sett inn i bibetingelsen}\ \to\ \text{forenkle og kontroller}

De fire stegene gjentas identisk i alle innramminger. Det er dette som gjør sjangeren trenbar: variasjonen ligger i funksjonene, ikke i metoden.

Hvorfor λ\lambda faller ut
Multiplikatoren står som faktor på begge sider av brøken.

λgx′λgy′=gx′gy′\frac{\lambda g'_x}{\lambda g'_y}=\frac{g'_x}{g'_y}

Derfor er deling den raskeste veien. Alternativet — å løse begge FOB for λ\lambda og sette dem lik — gir samme likning, men med ett regnesteg mer.

Standardresultatet for ln⁡x+ln⁡y\ln x+\ln y
Verdt å kjenne igjen, fordi det dukker opp i sett etter sett.

x∗=m2p1,y∗=m2p2,λ=2mx^*=\frac{m}{2p_1},\qquad y^*=\frac{m}{2p_2},\qquad \lambda=\frac{2}{m}

Halve inntekten på hvert gode. Kjenner du dette igjen, kan du kontrollere din egen utregning på fem sekunder — men du må fortsatt vise veien dit.

Standardresultatet for kostnadsminimering
Cobb-Douglas med like eksponenter gir en pen lukket løsning.

x1∗=Qˉc2c1,x2∗=Qˉc1c2,C∗=2Qˉc1c2x_1^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}},\qquad x_2^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_1}{c_2}},\qquad C^*=2\bar Q\sqrt{c_1c_2}

Merk at den dyre faktoren brukes minst — kvadratroten står med prisene byttet om. Det er lett å skrive feil vei, så kontroller alltid mot produksjonskravet.

λ\lambda som grensekostnad
I kostnadsminimering er multiplikatoren prisen på én enhet mer produksjon.

λ=dC∗dQˉ=2c1c2\lambda=\frac{dC^*}{d\bar Q}=2\sqrt{c_1c_2}

Dette er den samme tolkningen som skyggeprisen i konsumentproblemet, sett fra kostnadssiden. Den utdypes i kap. 8.3.

Kontrollen som alltid virker
Sett svaret tilbake i bibetingelsen og i begge FOB.

p1x∗+p2y∗=?mp_1x^*+p_2y^*\overset{?}{=}m

Holder ikke likheten, er det en regnefeil før du kom hit. Kontrollen tar under et minutt og er den billigste forsikringen i hele sjangeren.

Strengt voksende omforming endrer ikke optimum
Nyttefunksjoner som er monotone omforminger av hverandre, gir samme løsning.

ln⁡(x1/2y1/2)=12(ln⁡x+ln⁡y)\ln\big(x^{1/2}y^{1/2}\big)=\tfrac12\big(\ln x+\ln y\big)

Derfor gir x1/2y1/2x^{1/2}y^{1/2} og ln⁡x+ln⁡y\ln x+\ln y nøyaktig samme x∗x^* og y∗y^*. Multiplikatoren λ\lambda blir derimot forskjellig, siden den måler endring i selve nytteverdien.

Summenyttefunksjoner oppfører seg annerledes
Faste budsjettandeler er en Cobb-Douglas-egenskap, ikke en generell regel.

U=x+y ⟹ x∗=mp2p1(p1+p2)U=\sqrt{x}+\sqrt{y}\ \Longrightarrow\ x^*=\frac{mp_2}{p_1(p_1+p_2)}

Her avhenger andelene av prisene. Å overføre «halve inntekten på hvert gode» til en sum av kvadratrøtter er en feil som ser plausibel ut, og som derfor er ekstra farlig.

Feil #11 i praksis
En rot som bryter definisjonsområdet, skal forkastes med en setning.

y2=4, ln⁡y krevet ⟹ y=2 (og y=−2 forkastes)y^2=4,\ \ln y\ \text{krevet}\ \Longrightarrow\ y=2\ \text{(og }y=-2\text{ forkastes)}

Sensor gir uttelling for begrunnelsen, ikke for at riktig tall står igjen. Skriv definisjonsområdet ned før du begynner å regne.

Isokvant og isokostlinje
Produsentens versjon av indifferenskurve og budsjettlinje.

F(x1,x2)=Qˉ (isokvant);c1x1+c2x2=konst. (isokostlinje)F(x_1,x_2)=\bar Q\ \text{(isokvant)};\qquad c_1x_1+c_2x_2=\text{konst.}\ \text{(isokostlinje)}

Optimum er der en isokostlinje så vidt berører isokvanten — samme geometri som tangeringen mellom indifferenskurve og budsjettlinje, med nye navn.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.