Tilbake
8.4
Alle fag for Høyskole

8.4 Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

Generalisering til $n$ variabler, symmetriargumentet — og den tredje fallgruven: klassifisering under bibetingelse gjøres ved å sammenligne funksjonsverdier, IKKE med andreordensbetingelse.

50 min
7 oppgaver
Flere variablersymmetriklassifisering ved funksjonsverdi
Din fremgang i kapitlet
0 / 7 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Kapitlet bygger på kap. 8.1 og kap. 8.2. Klassifiseringsdelen henter tankegangen fra kap. 4.3, der definisjonsområdet og ikke innsatte tallverdier bar argumentet. Eksempel 3 i Løkke 3 bruker dessuten omhyllingsteoremet fra kap. 8.3 i ett delpunkt.

Sist du var her — de tre linjene du trenger:

L=F−λ(g−m);Fx′=λgx′;Fy′=λgy′L=F-\lambda(g-m);\qquad F'_x=\lambda g'_x;\qquad F'_y=\lambda g'_y

max⁡ ln⁡x+ln⁡y under p1x+p2y=m ⟹ x∗=m2p1,λ=2m\max\ \ln x+\ln y\ \text{under}\ p_1x+p_2y=m\ \Longrightarrow\ x^*=\frac{m}{2p_1},\quad \lambda=\frac{2}{m}

ddxln⁡x=1x\frac{d}{dx}\ln x=\frac1x

En konsument som velger mellom to varer, er en modell. En konsument velger mellom hundrevis.

Heldigvis endrer ingenting seg prinsipielt når antallet varer vokser. Lagrange-funksjonen får flere ledd, og du får én førsteordensbetingelse per variabel — men de ser alle like ut. Derfor skriver man én av dem, med en generell indeks ii, og lar den stå for alle.

Er i tillegg alle varene like dyre og teller likt i nyttefunksjonen, er problemet symmetrisk, og da må løsningen være det også. Det sparer nesten all regning. Men symmetri er et argument, ikke en påstand, og sensor krever at argumentet skrives ut.

Siste del av kapitlet rydder opp i et spørsmål som har hengt igjen siden kap. 8.1: hvordan vet vi egentlig at et kandidatpunkt er et maksimum og ikke et minimum? Svaret er enklere enn du kanskje frykter — og det er ikke den metoden du kanskje forventer.

Løkke 1 — nn variabler og den generelle betingelsen (~17 min)

Lagrange med nn variabler
Oppsettet er det samme; det er bare flere ledd i målfunksjonen og i bibetingelsen.

L=F(x1,…,xn)−λ(∑i=1npixi−m)L=F(x_1,\dots,x_n)-\lambda\Big(\sum_{i=1}^{n}p_ix_i-m\Big)

Førsteordensbetingelsene blir nn i tallet, én per variabel, pluss bibetingelsen: til sammen n+1n+1 likninger og n+1n+1 ukjente (x1,…,xnx_1,\dots,x_n og λ\lambda). Regnskapet går opp på nøyaktig samme måte som i totilfellet.

Den generelle førsteordensbetingelsen
I stedet for å skrive nn likninger skriver du én, med en vilkårlig indeks.

∂L∂xi=Fi′−λpi=0for i=1,…,n\frac{\partial L}{\partial x_i}=F'_i-\lambda p_i=0\qquad\text{for }i=1,\dots,n

Setningen «for i=1,…,ni=1,\dots,n» er det som gjør den generell, og den skal stå der. Sensor forventer denne formen i nn-variabel-oppgaver — det er raskere å skrive og viser at du har sett strukturen, ikke bare kopiert et mønster.

Symmetri — og hvorfor den må begrunnes
Er alle variablene likestilte i både målfunksjon og bibetingelse, må de optimale verdiene være like.

x1∗=x2∗=⋯=xn∗x_1^*=x_2^*=\dots=x_n^*

Argumentet, som skal skrives ut: de nn førsteordensbetingelsene er identiske likninger i hver sin variabel. Løser man én av dem for xix_i, får man samme uttrykk uansett hvilken ii man valgte. Derfor er verdiene like.

Å bare påstå «ved symmetri er alle like» uten dette resonnementet gir redusert uttelling. Argumentet tar to setninger.

✏️Eksempel 1: $n$ varer til samme pris
En konsument maksimerer

U=∑i=1nln⁡xiunderp∑i=1nxi=m,U=\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\quad\text{under}\quad p\sum_{i=1}^{n}x_i=m,

der alle nn varene koster det samme, p>0p>0.

a) Sett opp LL og den generelle førsteordensbetingelsen.

b) Begrunn at løsningen er symmetrisk, og finn xi∗x_i^* og λ\lambda.

c) Kontroller for n=5n=5, p=2p=2, m=60m=60.

a) Oppsett.

L=∑i=1nln⁡xi−λ(p∑i=1nxi−m)L=\sum_{i=1}^{n}\ln x_i-\lambda\Big(p\sum_{i=1}^{n}x_i-m\Big)

Deriver mht. en vilkårlig xix_i. Bare ett ledd i hver sum inneholder xix_i:

∂L∂xi=1xi−λp=0for i=1,…,n\frac{\partial L}{\partial x_i}=\frac{1}{x_i}-\lambda p=0\qquad\text{for }i=1,\dots,n

Bibetingelsen kommer i tillegg:

p∑i=1nxi=mp\sum_{i=1}^{n}x_i=m

b) Symmetriargumentet. Løs den generelle betingelsen for xix_i:

xi=1λpx_i=\frac{1}{\lambda p}

Høyresiden inneholder ingen ii. Uttrykket er altså det samme uansett hvilken variabel vi ser på, og dermed er

x1∗=x2∗=⋯=xn∗x_1^*=x_2^*=\dots=x_n^*

Dette er begrunnelsen sensor vil se — den er kort, men den er et argument og ikke en påstand.

Sett inn i bibetingelsen. Med nn like verdier blir summen nn ganger den ene:

p⋅n⋅xi∗=m ⟹ xi∗=mnpp\cdot n\cdot x_i^*=m\ \Longrightarrow\ \boxed{x_i^*=\frac{m}{np}}

Multiplikatoren fra den generelle betingelsen:

λ=1pxi∗=1p⋅npm=nm\lambda=\frac{1}{px_i^*}=\frac{1}{p}\cdot\frac{np}{m}=\frac{n}{m}

Tolkning av λ=n/m\lambda=n/m: skyggeprisen vokser med antall varer. Med flere goder å fordele pengene på gir hver ekstra krone større nyttegevinst — fordi den kan spres tynnere utover.

c) Kontroll for n=5n=5, p=2p=2, m=60m=60:

xi∗=605⋅2=6for alle i,λ=560=112x_i^*=\frac{60}{5\cdot 2}=6\quad\text{for alle }i,\qquad \lambda=\frac{5}{60}=\frac{1}{12}

Bibetingelsen: 2⋅(6+6+6+6+6)=2⋅30=602\cdot(6+6+6+6+6)=2\cdot 30=60 ✓

Førsteordensbetingelsen: 16−112⋅2=16−16=0\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{12}\cdot 2=\dfrac16-\dfrac16=0 ✓

Merk at hele oppgaven ble løst uten å skrive én eneste av de fem betingelsene ut.

📝Oppgave 1
LG
En konsument maksimerer

U=∑i=1nxiunderp∑i=1nxi=m.U=\sum_{i=1}^{n}\sqrt{x_i}\quad\text{under}\quad p\sum_{i=1}^{n}x_i=m.

a) Skriv den generelle førsteordensbetingelsen.

b) Begrunn symmetrien og finn xi∗x_i^*.

c) Regn ut xi∗x_i^* for n=4n=4, p=5p=5, m=100m=100.

📝Oppgave 2
Sjanger LG
En konsument maksimerer

U=∑i=1nln⁡xiunder∑i=1npixi=m,U=\sum_{i=1}^{n}\ln x_i\quad\text{under}\quad \sum_{i=1}^{n}p_ix_i=m,

der prisene p1,…,pnp_1,\dots,p_n nå kan være forskjellige.

a) Skriv den generelle førsteordensbetingelsen og løs den for xix_i.

b) Finn λ\lambda og deretter xi∗x_i^*.

c) Er løsningen symmetrisk? Forklar.

Løkke 2 — Klassifisering: den tredje fallgruven (~17 min)

Klassifisering ved funksjonsverdi
Kandidatene rangeres ved å sette dem inn i målfunksjonen og sammenligne tallene.

F(P1), F(P2), … ⟹ størst er maks, minst er minF(P_1),\ F(P_2),\ \dots\ \Longrightarrow\ \text{størst er maks, minst er min}

Metoden er lovlig fordi førsteordensbetingelsene fanger opp alle mulige kandidater. Den er også rask: du har allerede punktene, og innsettingen er ren regning.

Når sammenligningen gir et globalt svar
Rangeringen av kandidater blir en global konklusjon når bibetingelsen avgrenser et lukket og begrenset område.

x2+y2=3 (en sirkel — lukket og begrenset)x^2+y^2=3\ \text{(en sirkel — lukket og begrenset)}

Da finnes både et største og et minste punkt, og de må være blant kandidatene. Er kurven derimot ubegrenset — som hyperbelen xy=4xy=4, der grenene stikker av mot uendelig — kan det hende at verken maksimum eller minimum eksisterer, og da beskriver kandidatpunktene bare lokale forhold.

✏️Eksempel 2: Tre verdinivåer, rangert

Finn det største og det minste mulige verdien av f(x,y)=x2yf(x,y)=x^2y på sirkelen x2+y2=3x^2+y^2=3.

Oppsett:

L=x2y−λ(x2+y2−3)L=x^2y-\lambda\big(x^2+y^2-3\big)

FOB (1): 2xy−2λx=0 ⟹ 2x(y−λ)=0\text{FOB (1)}:\ 2xy-2\lambda x=0\ \Longrightarrow\ 2x(y-\lambda)=0

FOB (2): x2−2λy=0\text{FOB (2)}:\ x^2-2\lambda y=0

FOB (3): x2+y2=3\text{FOB (3)}:\ x^2+y^2=3

FOB (1) faktoriseres, og et produkt er null når en faktor er det. Det gir to tilfeller.

Tilfelle A: x=0x=0. Da gir FOB (3) at y2=3y^2=3, altså y=±3y=\pm\sqrt3. Kandidatene er

(0,3)og(0,−3)(0,\sqrt3)\quad\text{og}\quad(0,-\sqrt3)

Sjekk av FOB (2): 0−2λy=00-2\lambda y=0 med y≠0y\ne 0 gir λ=0\lambda=0 ✓ — konsistent.

Tilfelle B: y=λy=\lambda. Sett inn i FOB (2):

x2=2λy=2y2x^2=2\lambda y=2y^2

Og i FOB (3):

2y2+y2=3 ⟹ y2=1 ⟹ y=±12y^2+y^2=3\ \Longrightarrow\ y^2=1\ \Longrightarrow\ y=\pm 1

Med x2=2y2=2x^2=2y^2=2 blir x=±2x=\pm\sqrt2. Det gir fire kandidater:

(2,1), (−2,1), (2,−1), (−2,−1)(\sqrt2,1),\ (-\sqrt2,1),\ (\sqrt2,-1),\ (-\sqrt2,-1)

Klassifisering — sett inn i ff. Legg merke til at f=x2yf=x^2y bare avhenger av xx gjennom x2x^2, så fortegnet på xx spiller ingen rolle:

Kandidatx2x^2yyf=x2yf=x^2y
(0,±3)(0,\pm\sqrt3)00±3\pm\sqrt300
(±2,1)(\pm\sqrt2,1)221122
(±2,−1)(\pm\sqrt2,-1)22−1-1−2-2

Konklusjon:
fmax⁡=2 i (±2,1);fmin⁡=−2 i (±2,−1)f_{\max}=2\ \text{i}\ (\pm\sqrt2,1);\qquad f_{\min}=-2\ \text{i}\ (\pm\sqrt2,-1)
Hvorfor dette er et gyldig argument: sirkelen x2+y2=3x^2+y^2=3 er lukket og begrenset, og ff er kontinuerlig. Da finnes både et største og et minste punkt, og de må være blant kandidatene fra førsteordensbetingelsene. Sammenligningen av de tre verdinivåene 22, 00 og −2-2 avgjør dermed saken fullt ut.
Kontroll av bibetingelsen i et av punktene: (2)2+12=2+1=3(\sqrt2)^2+1^2=2+1=3 ✓

Merk hva vi ikke gjorde. Vi regnet ingen andrederiverte av LL, og vi brukte ingen andreordensbetingelse under bibetingelse. Hele klassifiseringen kom fra tre innsettinger.

📝Oppgave 3
Sjanger LG

Finn den største og den minste verdien av f(x,y)=x+2yf(x,y)=x+2y på sirkelen x2+y2=5x^2+y^2=5.

📝Oppgave 4
Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) «Klassifisering av kandidatpunkter under en bibetingelse gjøres med en andreordensbetingelse, på samme måte som Hesse-determinanten brukes i fri optimering.»

b) «Har et betinget optimeringsproblem bare ett kandidatpunkt, og bibetingelsen avgrenser en sirkel, er punktet både største og minste verdi.»

c) «Sammenligning av funksjonsverdier i kandidatpunktene er et lovlig klassifiseringsargument.»

Løkke 3 — Notasjon, kontroll og eksamensnivå (~16 min)

Notasjonstoleranse i nn-variabel-oppgaver
Sensor måler forståelsen, ikke summeskrivingens eleganse.

∑i=1nxiellerx1+x2+⋯+xn\sum_{i=1}^{n}x_i\qquad\text{eller}\qquad x_1+x_2+\dots+x_n

Begge skrivemåtene godtas, og en litt upresis generell notasjon straffes ikke i disse oppgavene. Det som må være på plass, er at betingelsen gjelder for alle ii, og at symmetrien begrunnes. Ikke bruk tid på å pusse notasjon når argumentet er det som teller.

Kontrollen i nn-variabel-tilfellet
Innsettingen i bibetingelsen er like enkel som i totilfellet.

n⋅p⋅xi∗=mn\cdot p\cdot x_i^*=m

Er alle verdiene like, blir summen bare nn ganger den ene. Er de ulike, regner du ut pixi∗p_ix_i^* for hver og legger sammen. Kontrollen tar noen sekunder og fanger nesten alltid en glemt faktor nn — den vanligste regnefeilen i denne oppgavetypen.

✏️Eksempel 3: Eksamensnivå — kutt fordelt på $n$ sektorer
Et land skal kutte utslipp i nn sektorer. Sektor ii kutter xix_i tonn, og den samlede miljøgevinsten er

G=∑i=1nln⁡xi.G=\sum_{i=1}^{n}\ln x_i.

Kostnaden per tonn er pp i alle sektorer, og den samlede rammen er mm kroner.

a) Utled den generelle førsteordensbetingelsen, begrunn symmetrien, og finn xi∗x_i^* og λ\lambda.

b) Bruk omhyllingsteoremet til å finne hvor mye miljøgevinsten øker når rammen mm løsnes marginalt.

c) Landet vurderer å slå sammen to av sektorene, slik at antallet blir n−1n-1. Hva skjer med kuttet per sektor, og hva skjer med den samlede gevinsten? Bruk n=6n=6, p=2p=2, m=60m=60.

a)

L=∑i=1nln⁡xi−λ(p∑i=1nxi−m)L=\sum_{i=1}^{n}\ln x_i-\lambda\Big(p\sum_{i=1}^{n}x_i-m\Big)

∂L∂xi=1xi−λp=0for i=1,…,n\frac{\partial L}{\partial x_i}=\frac{1}{x_i}-\lambda p=0\qquad\text{for }i=1,\dots,n

Symmetriargumentet: løst for xix_i blir betingelsen xi=1λpx_i=\dfrac{1}{\lambda p}, og høyresiden inneholder ingen ii. Alle verdiene er derfor like.

Bibetingelsen gir pnxi∗=mpnx_i^*=m, altså

xi∗=mnp,λ=1pxi∗=nmx_i^*=\frac{m}{np},\qquad \lambda=\frac{1}{px_i^*}=\frac{n}{m}

b) Rammen mm står i bibetingelsen, så omhyllingsteoremet (kap. 8.3) gir direkte

dG∗dm=λ=nm\frac{dG^*}{dm}=\lambda=\frac{n}{m}

Kontroll ved direkte regning: den maksimale gevinsten er

G∗=∑i=1nln⁡mnp=nln⁡mnp=nln⁡m−nln⁡(np)G^*=\sum_{i=1}^{n}\ln\frac{m}{np}=n\ln\frac{m}{np}=n\ln m-n\ln(np)

dG∗dm=nm ✓\frac{dG^*}{dm}=\frac{n}{m}\ ✓

c) Sammenslåing. Med n=6n=6, p=2p=2, m=60m=60:

xi∗=6012=5 tonn per sektor,G∗=6ln⁡5≈9,657x_i^*=\frac{60}{12}=5\ \text{tonn per sektor},\qquad G^*=6\ln 5\approx 9{,}657

Med n=5n=5 sektorer og samme ramme:

xi∗=6010=6 tonn per sektor,G∗=5ln⁡6≈8,959x_i^*=\frac{60}{10}=6\ \text{tonn per sektor},\qquad G^*=5\ln 6\approx 8{,}959

Kuttet per sektor stiger fra 5 til 6 tonn — de gjenværende sektorene må ta mer. Den samlede gevinsten faller fra omtrent 9,669{,}66 til 8,968{,}96.

Hvorfor faller gevinsten? Fordi ln⁡\ln er konkav: gevinsten av det første tonnet i en sektor er større enn gevinsten av det sjette. Å ha flere sektorer å spre kuttene på, gir høyere samlet gevinst for samme penger. Å slå sammen sektorer fjerner den muligheten.

Kontroll av begge tallene: 6ln⁡5=6⋅1,6094=9,6576\ln 5=6\cdot 1{,}6094=9{,}657 og 5ln⁡6=5⋅1,7918=8,9595\ln 6=5\cdot 1{,}7918=8{,}959 ✓, og bibetingelsen holder i begge tilfeller: 2⋅6⋅5=602\cdot 6\cdot 5=60 ✓ og 2⋅5⋅6=602\cdot 5\cdot 6=60 ✓.

Merk at skyggeprisen også faller: λ=6/60=0,1\lambda=6/60=0{,}1 mot λ=5/60≈0,083\lambda=5/60\approx 0{,}083. Med færre sektorer er én krone til mindre verdt.

📝Oppgave 5
Sjanger LG
En bedrift må produsere Qˉ\bar Q enheter, og produktfunksjonen er

Q=(∏i=1nxi)1/n=(x1x2⋯xn)1/n.Q=\Big(\prod_{i=1}^{n}x_i\Big)^{1/n}=\big(x_1x_2\cdots x_n\big)^{1/n}.

Alle nn faktorene koster cc per enhet.

a) Forklar hvorfor problemet er symmetrisk.

b) Finn xi∗x_i^* og den minimale kostnaden.

📝Oppgave 6
Sjanger LG
Finn den største og den minste verdien av

f(x,y)=xyf(x,y)=xy

på sirkelen x2+y2=8x^2+y^2=8.

a) Finn alle kandidatpunktene.

b) Klassifiser dem, og begrunn at konklusjonen er global.

c) Forklar hvorfor en andreordensbetingelse under bibetingelse ikke er nødvendig her.

📝Oppgave 7
Sjanger LG
Betrakt

f(x,y)=x+yunderxy=4.f(x,y)=x+y\quad\text{under}\quad xy=4.

a) Finn alle kandidatpunktene.

b) Regn ut funksjonsverdiene, og undersøk hva som skjer med ff langs bibetingelsen når x→∞x\to\infty og når x→0+x\to 0^+.

c) Har problemet et globalt maksimum eller minimum? Begrunn.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Standardresultatet for symmetrisk nn-variabel
Det mest gjenbrukte resultatet i denne oppgavetypen.

xi∗=mnp,λ=nmx_i^*=\frac{m}{np},\qquad \lambda=\frac{n}{m}

Gjelder for ∑ln⁡xi\sum\ln x_i og for ∑xi\sum\sqrt{x_i} under p∑xi=mp\sum x_i=m — begge symmetriske summer med like priser. Budsjettet deles likt på de nn varene.

Ulike priser gir like utgifter
Symmetrien overlever, men den flytter seg fra mengder til kroner.

xi∗=mnpi ⟹ pixi∗=mnx_i^*=\frac{m}{np_i}\ \Longrightarrow\ p_ix_i^*=\frac{m}{n}

Hver vare får samme beløp, men ulike mengder. Det er nyttefunksjonen som er symmetrisk, ikke prisene.

Symmetriargumentet i to setninger
Formuleringen som gir full uttelling.

xi=1λp — høyresiden inneholder ingen ix_i=\frac{1}{\lambda p}\ \text{— høyresiden inneholder ingen }i

«De nn betingelsene er identiske likninger i hver sin variabel. Løst for xix_i er høyresiden den samme uansett indeks, altså er alle xi∗x_i^* like.» Skriv den, ikke bare tenk den.

Klassifisering: den lovlige veien
Tre steg, ingen nye derivasjoner.

finn alle kandidater → regn F i hver → rangeˊr\text{finn alle kandidater}\ \to\ \text{regn }F\ \text{i hver}\ \to\ \text{rangér}

Høyest verdi er maksimum, lavest er minimum. Metoden virker fordi førsteordensbetingelsene fanger opp alle mulige optimumspunkter.

Andreordensbetingelse under bibetingelse: ikke pensum
En metode du skal la ligge.

ikke pensum i ECON1100\text{ikke pensum i ECON1100}

Sensorveiledningen sier uttrykkelig at studentene ikke har lært den. Å bruke den er ikke bare unødvendig — det er å svare på et annet spørsmål enn det som er stilt.

Når rangeringen blir global
Forutsetningen som gjør sammenligningen til et bevis.

bibetingelsens kurve lukket og begrenset+F kontinuerlig\text{bibetingelsens kurve lukket og begrenset}+F\ \text{kontinuerlig}

Da finnes både største og minste punkt, og de ligger blant kandidatene. En sirkel oppfyller dette; en hyperbel gjør det ikke.

Faktoriserte betingelser gir flere tilfeller
Et produkt er null når én faktor er det — og begge tilfeller må undersøkes.

2x(y−λ)=0 ⟹ x=0 eller y=λ2x(y-\lambda)=0\ \Longrightarrow\ x=0\ \text{eller}\ y=\lambda

Å hoppe over det ene tilfellet er den vanligste måten å miste kandidater på. I eksempel 2 ga tilfellet x=0x=0 verdinivået null, som lå mellom maksimum og minimum.

Notasjonstoleranse
Hva som teller og hva som ikke gjør det.

∑i=1nxi  eller  x1+⋯+xn\sum_{i=1}^{n}x_i\ \ \text{eller}\ \ x_1+\dots+x_n

Begge er greit. Det som må stå, er «for i=1,…,ni=1,\dots,n» på den generelle betingelsen, og symmetribegrunnelsen. Pen notasjon gir ingen ekstra poeng.

Konkav målfunksjon og spredning
Hvorfor flere sektorer eller varer gir høyere samlet verdi.

nln⁡mnp synker na˚r n synker (fast m)n\ln\frac{m}{np}\ \text{synker når}\ n\ \text{synker (fast }m\text{)}

Logaritmen er konkav, så det første tonnet i en sektor er verdt mer enn det sjette. Å spre samme ramme på flere enheter gir derfor mer igjen for pengene.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.