8.5 Drill: Lagrange fra ende til annen

Sjangerdrill på den tyngste storoppgaven: oppsett → FOB → eliminér $\lambda$ → optimal etterspørsel → omhyllingsteorem, i både nyttemaks- og kostnadsmin-innramming.

85 min

12 oppgaver

DrillLagrange fra ende til annen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.3Omhyllingsteoremet og skyggeprisen 8.4Flere variabler, symmetri og klassifisering ved funksjonsverdi

Brukes videre i

8.PPrøver til del 8: Betinget optimering — Lagrange

Dette er treningsøkta for fagets tyngste storoppgave.

Sjanger LG — Lagrange og betinget optimering — står i 13 av 16 sett i arkivet (81 %): 8 av 9 ordinære og 5 av 7 utsatte. Oppgaven er verdt 20–36 poeng.

Variantene som faktisk har forekommet, og som drilles her:

- Nyttemaksimering med logaritmisk nytte $a\ln x+b\ln y$ — den vanligste formen i de ordinære settene.
- Nyttemaksimering med Cobb-Douglas i potensform, $x^{\alpha}y^{\beta}$ .
- Nyttemaksimering med en sum av kvadratrøtter — en form der budsjettandelene ikke er faste.
- Kostnadsminimering under et produksjonskrav — vanligst i de utsatte settene.
- $n$ variabler med symmetri — én generell betingelse, symmetrien begrunnet.
- Omhyllingsteoremet som halepunkt — «hvor mye stiger nytten hvis budsjettet øker?»

Slik er kapitlet bygget: løsningsoppskriften i sju steg, ett gjennomregnet eksamenscase med kommentarer om hvor poengene ligger, og deretter tolv oppgaver som roterer variantene.

Tidsanslag: 85 minutter. Det er en lang økt, og den er delt med pausepunkter. Ta gjerne seks oppgaver i dag og seks i morgen — men regn dem for hånd.

Kilde for tallene: Skolesagas gjennomgang av 16 eksamenssett fra Økonomisk institutt, UiO (9 ordinære, 7 utsatte, V2018–H2025), hvorav 14 med offisiell sensorveiledning.

Forkunnskaper. Drillen forutsetter hele Del 8: kap. 8.1 (oppsett og FOB), kap. 8.2 (eliminering og etterspørsel), kap. 8.3 (omhyllingsteoremet) og kap. 8.4 (

n

variabler og klassifisering).

Sist du var her — de fire resultatene du bør ha i fingrene:

$L=F-\lambda(g-m);\qquad \frac{F'_x}{F'_y}=\frac{g'_x}{g'_y}$

$\max\ a\ln x+b\ln y\ \text{under}\ p_1x+p_2y=m\ \Longrightarrow\ x^*=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{m}{p_1},\quad \lambda=\frac{a+b}{m}$

$\min\ c_1x_1+c_2x_2\ \text{under}\ x_1^{1/2}x_2^{1/2}=\bar Q\ \Longrightarrow\ x_1^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}},\quad C^*=2\bar Q\sqrt{c_1c_2}$

$\frac{dV}{da}=\frac{\partial L^*}{\partial a};\qquad \frac{dU^*}{dm}=\lambda;\qquad \frac{dU^*}{dp_i}=-\lambda x_i^*$

Løsningsoppskriften — sju steg

Denne rekkefølgen dekker alle variantene av sjangeren. Følg den fra topp til bunn, og hopp bare over steg oppgaven ikke ber om.

Steg 1 — identifiser og sett opp. Skriv ned hva som er målfunksjon $F$ og hva som er bibetingelse $g=m$ , og sett opp

$L=F-\lambda(g-m)$

Skriv også ned definisjonsområdet med én gang: $\ln$ krever positive argumenter, kvadratrot krever ikke-negative.

Steg 2 — nummererte førsteordensbetingelser. Skriv FOB (1), FOB (2) og bibetingelsen som FOB (3). Ved $n$ variabler: én generell betingelse med «for $i=1,\dots,n$ ».

Steg 3 — eliminér $\lambda$ . Del den ene FOB på den andre. Det gir tangeringsbetingelsen

$\frac{F'_x}{F'_y}=\frac{g'_x}{g'_y}$

Rydd den til en enkel sammenheng mellom $x$ og $y$ før du går videre.

Steg 4 — sett inn i bibetingelsen og løs. Nå har du to likninger og to ukjente. Finn $x^*$ og $y^*$ , og deretter $\lambda$ fra en av de opprinnelige betingelsene.

Steg 5 — forkast røtter utenfor definisjonsområdet. Kom det opp en negativ rot der logaritmen krever positive verdier, skriv én setning om at den forkastes og hvorfor.

Steg 6 — tolk $\lambda$ og bruk omhyllingsteoremet hvis oppgaven ber om det. Skyggepris i konsumentproblemet, grensekostnad i produsentproblemet. Endringer i parametere: $dV/da=\partial L^*/\partial a$ , brukt direkte.

Steg 7 — forenkle og kontroller. Sluttuttrykket skal være forenklet. Sett svaret tilbake i bibetingelsen og i minst én FOB. Skriv en verbal konklusjonssetning.

Ved $n$ variabler kommer symmetriargumentet inn mellom steg 3 og 4: løs den generelle betingelsen for $x_i$ , og vis at høyresiden ikke inneholder $i$ . Ved klassifisering sammenlignes funksjonsverdiene i kandidatpunktene — aldri en andreordensbetingelse under bibetingelse.

✏️Gjennomregnet eksamenscase — med kommentarer om hvor poengene ligger

Et land fordeler et velferdsbudsjett mellom to tiltak: klimatilpasning (

x

) og utslippskutt (

y

). Den samlede samfunnsnytten er

$U(x,y)=2\ln x+\ln y,$

enhetskostnadene er $p_1=4$ og $p_2=2$ millioner kroner, og budsjettet er $m=120$ millioner.

a) Sett opp Lagrange-funksjonen og førsteordensbetingelsene.

b) Finn den optimale fordelingen $x^*$ og $y^*$ , og multiplikatoren $\lambda$ .

c) Tolk $\lambda$ .

d) Budsjettet økes med 6 millioner. Hvor mye stiger den maksimale samfunnsnytten?

e) Hva skjer med den maksimale nytten hvis $p_1$ stiger med 0,5?

a) Steg 1 og 2.

Målfunksjonen er samfunnsnytten, bibetingelsen er budsjettet. Definisjonsområdet er $x>0$ og $y>0$ , siden logaritmene krever det.

$L=2\ln x+\ln y-\lambda\big(4x+2y-120\big)$

$\text{FOB (1)}:\ \frac{2}{x}-4\lambda=0\qquad \text{FOB (2)}:\ \frac{1}{y}-2\lambda=0\qquad \text{FOB (3)}:\ 4x+2y=120$

> Her ligger de første poengene. Et korrekt oppsett med nummererte betingelser gir uttelling uansett hva som skjer videre. Merk at definisjonsområdet er skrevet ned allerede nå — ikke fordi det trengs i dette problemet, men fordi vanen er billig og redder deg i de oppgavene der det trengs.

b) Steg 3 — eliminér $\lambda$ . Del FOB (1) på FOB (2):

$\frac{2/x}{1/y}=\frac{4}{2}\ \Longrightarrow\ \frac{2y}{x}=2\ \Longrightarrow\ x=y$

> Metodevalget er poenget her. Deling er sensors foretrukne vei, og den er verdt å navngi: «jeg eliminerer $\lambda$ ved å dele FOB (1) på FOB (2)».

Steg 4 — sett inn i bibetingelsen:

$4x+2x=120\ \Longrightarrow\ 6x=120\ \Longrightarrow\ x^*=20,\qquad y^*=20$

Multiplikatoren fra FOB (1):

$\lambda=\frac{2}{4x^*}=\frac{2}{80}=\frac{1}{40}=0{,}025$

> Merk at $x^*=y^*$ her ikke betyr like utgifter. Utgiftene er $4\cdot 20=80$ på klimatilpasning og $2\cdot 20=40$ på utslippskutt — altså to tredjedeler og en tredjedel, som vektene $2$ og $1$ tilsier. At mengdene tilfeldigvis ble like, kommer av at prisforholdet er det samme som vektforholdet.

Steg 7 — kontroll. Bibetingelsen: $4\cdot 20+2\cdot 20=80+40=120$ ✓. FOB (2): $\dfrac{1}{20}=0{,}05$ mot $2\lambda=0{,}05$ ✓.

c) Steg 6 — tolkning av $\lambda$ .

Multiplikatoren er skyggeprisen på budsjettet: verdien av én million kroner ekstra, målt i nytteenheter. Her er den $0{,}025$ .

> En tolkning i ord kreves, ikke bare tallet. « $\lambda=0{,}025$ » alene gir mindre uttelling enn « $\lambda=0{,}025$ betyr at én million kroner mer i budsjett løfter den maksimale samfunnsnytten med omtrent $0{,}025$ enheter».

d) Omhyllingsteoremet. Budsjettet står i bibetingelsen, så

$\frac{dU^*}{dm}=\lambda=0{,}025$

Med $\Delta m=6$ blir endringen omtrent

$\Delta U^*\approx 0{,}025\cdot 6=0{,}15$

> Sensor forventer direkte bruk her. Å regne hele problemet på nytt med $m=126$ er ikke galt, men det er tidsbruk uten ekstra poeng.

Til kontroll, den eksakte endringen: med $m=126$ blir $x^*=\dfrac{2\cdot 126}{3\cdot 4}=21$ og $y^*=\dfrac{126}{3\cdot 2}=21$ , altså

$U^*(126)-U^*(120)=3\ln 21-3\ln 20=3\ln\frac{21}{20}\approx 0{,}146$

Tilnærmingen $0{,}15$ er god, og ordet «omtrent» hører med i svaret.

e) Prisøkning. Nå er parameteren en pris:

$\frac{dU^*}{dp_1}=-\lambda x^*=-\frac{1}{40}\cdot 20=-0{,}5$

Med $\Delta p_1=0{,}5$ blir endringen omtrent

$\Delta U^*\approx -0{,}5\cdot 0{,}5=-0{,}25$

Den maksimale nytten faller altså med rundt $0{,}25$ enheter.

> Fortegnskontroll: dyrere tiltak gjør landet dårligere stilt ✓. Får du et positivt tall her, har du mistet et minustegn.

Verbal konklusjon: landet bør bruke 80 millioner på klimatilpasning og 40 millioner på utslippskutt. Én million ekstra er verdt omtrent $0{,}025$ nytteenheter, og en prisøkning på 0,5 millioner per enhet klimatilpasning koster omtrent ti ganger så mye som én million ekstra er verdt.

De fem feilene drillen skal utrydde

Hver av oppgavene under er bygget for å utløse minst én av disse.

1. Rot utenfor definisjonsområdet tatt med — dette er feil #11: å beholde en rot som ikke ligger i definisjonsområdet i Lagrange-løsningen. Skriv definisjonsområdet ned i steg 1, og forkast med én setning.
2. Andreordensbetingelse under bibetingelse brukt. Den finnes ikke i dette faget. Klassifisering gjøres ved å sammenligne funksjonsverdier (kap. 8.4).
3. Omhyllingsteoremet reutledet i stedet for brukt. Sensor forventer direkte bruk; en utledning koster tid uten uttelling.
4. Symmetri påstått uten begrunnelse. To setninger kreves: betingelsene er identiske, og høyresiden inneholder ingen indeks.
5. Uforenklet sluttsvar. $\dfrac{m/2}{p_1}$ er ikke ferdig; $\dfrac{m}{2p_1}$ er det. Åpenbar forenkling kreves for full uttelling.

Et sjette punkt som ikke er en feil, men en vane: kontroller alltid ved å sette svaret tilbake i bibetingelsen. Det tar 20 sekunder.

Drilloppgavene

Tolv oppgaver som roterer variantene. De første er rene gjennomkjøringer av oppskriften; de siste har halepunkter og feller.

Oppgave 1–4 (~30 min): nyttemaksimering i tre former.
Oppgave 5–8 (~28 min): kostnadsminimering, $n$ variabler, omhyllingsteorem.
Oppgave 9–12 (~27 min): eksamensnivå med halepunkter, forkasting og klassifisering.

Regn dem for hånd, og les fasiten som sensor: er metodevalget navngitt, er kontrollen gjort, er sluttsvaret forenklet?

📝Oppgave 1

Løs

$\max\ \ln x+\ln y\quad\text{under}\quad 3x+5y=90.$

Finn $x^*$ , $y^*$ og $\lambda$ , og kontroller svaret.

📝Oppgave 2

Sjanger LG

Løs

$\max\ 2\ln x+3\ln y\quad\text{under}\quad 4x+5y=100.$

Finn $x^*$ , $y^*$ og $\lambda$ , og oppgi budsjettandelene.

📝Oppgave 3

Sjanger LG

Løs

$\max\ x^{1/3}y^{2/3}\quad\text{under}\quad x+4y=90.$

Finn $x^*$ og $y^*$ .

📝Oppgave 4

Sjanger LG

Løs

$\max\ \sqrt{x}+\sqrt{y}\quad\text{under}\quad x+4y=20.$

Finn $x^*$ , $y^*$ , nytteverdien og $\lambda$ . Er budsjettandelene like som i en Cobb-Douglas-modell?

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 5

Sjanger LG

En bedrift har produktfunksjonen $Q=x_1^{1/2}x_2^{1/2}$ , faktorpriser $c_1=2$ og $c_2=8$ , og må produsere $\bar Q=10$ .

a) Finn $x_1^*$ , $x_2^*$ og den minimale kostnaden.

b) Finn $\lambda$ og tolk den.

📝Oppgave 6

Sjanger LG

En bedrift har $Q=K^{1/2}N^{1/2}$ , kapitalpris $r=3$ , lønn $w=12$ og produksjonskrav $\bar Q=30$ .

a) Finn $K^*$ , $N^*$ og $C^*$ .

b) Bruk omhyllingsteoremet til å finne hvor mye kostnaden stiger hvis lønna øker med én krone.

📝Oppgave 7

Sjanger LG

En kommune fordeler et budsjett på $m=96$ millioner mellom $n=4$ likestilte tiltak. Samlet nytte er $\sum_{i=1}^{4}\ln x_i$ , og hvert tiltak koster $p=3$ millioner per enhet.

a) Skriv den generelle førsteordensbetingelsen og begrunn symmetrien.

b) Finn $x_i^*$ og $\lambda$ .

c) Hvor mye stiger den maksimale nytten hvis budsjettet øker med én million?

📝Oppgave 8

Sjanger OM

Ta utgangspunkt i oppgave 1: $\max\ \ln x+\ln y$ under $3x+5y=90$ , med $x^*=15$ , $y^*=9$ og $\lambda=\tfrac{1}{45}$ .

a) Hvor mye stiger den maksimale nytten hvis budsjettet øker fra 90 til 92?

b) Hvor mye faller den hvis prisen på gode 1 stiger fra 3 til 3,2?

c) Hvilken av de to endringene betyr mest?

— naturlig pausepunkt —

📝Oppgave 9

Sjanger LG

Løs

$\max\ \ln x+\ln y\quad\text{under}\quad x+y^2=27,$

der $x>0$ og $y>0$ . Finn $x^*$ , $y^*$ og $\lambda$ , og skriv eksplisitt hvilken rot som forkastes og hvorfor.

📝Oppgave 10

Sjanger LG

Finn den største og den minste verdien av

$f(x,y)=2x+3y$

på sirkelen $x^2+y^2=13$ . Begrunn at konklusjonen er global, og forklar hvorfor du ikke bruker en andreordensbetingelse.

📝Oppgave 11

Sjanger LG

U(x,y)

U'_x>0

U'_y>0

, og betrakt

$\max\ U(x,y)\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m.$

a) Skriv FOB og utled tangeringsbetingelsen.

b) Vis at $\lambda>0$ .

c) Anta at nytten omformes til $W(x,y)=\ln U(x,y)$ . Vis at tangeringsbetingelsen blir den samme, og forklar hva det betyr.

📝Oppgave 12

Sjanger LG

En bedrift produserer med $Q=x_1^{1/2}x_2^{1/2}$ og har faktorpriser $c_1$ og $c_2$ . Den må levere $\bar Q$ enheter.

a) Utled betinget faktoretterspørsel $x_1^*$ og $x_2^*$ og kostnadsfunksjonen $C^*(c_1,c_2,\bar Q)$ .

b) Finn $\lambda$ på to måter: fra førsteordensbetingelsene, og ved å derivere $C^*$ .

c) Vis at $dC^*/dc_2=x_2^*$ , og forklar resultatet.

d) Regn ut alt for $c_1=4$ , $c_2=9$ , $\bar Q=6$ , og kontroller.

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Sjustegsoppskriften

\text{sett opp}\to\text{FOB}\to\text{eliminér }\lambda\to\text{sett inn}\to\text{forkast}\to\text{tolk}\to\text{forenkle og kontroller}

Hvor poengene vinnes

\text{korrekt oppsett}+\text{riktig eliminering}+\text{løsning satt inn}+\text{tolkning i ord}

Varselsignaler i oppgaveteksten

\min\ c_1x_1+c_2x_2\ \text{under}\ F=\bar Q;\qquad \frac{dV}{da}=\frac{\partial L^*}{\partial a}

De to standardresultatene du bør kjenne igjen

x^*=\frac{a}{a+b}\cdot\frac{m}{p_1};\qquad x_1^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}}

Budsjettandeler: når regelen gjelder

a\ln x+b\ln y\ \text{og}\ x^{\alpha}y^{\beta}:\ \text{faste andeler};\qquad \sqrt{x}+\sqrt{y}:\ \text{ikke faste}

Tidsbudsjett for en LG-oppgave

\text{oppsett + FOB}\approx 5\ \text{min};\quad\text{løsning}\approx 10\ \text{min};\quad\text{halepunkter}\approx 10\ \text{min}

Kontrollen som alltid virker

g(x^*,y^*)\overset{?}{=}m;\qquad F'_x\overset{?}{=}\lambda g'_x;\qquad F'_y\overset{?}{=}\lambda g'_y

Fortegnene du kan kontrollere mot intuisjonen

\lambda>0;\quad \frac{dU^*}{dm}>0;\quad \frac{dU^*}{dp_i}<0;\quad \frac{dC^*}{dc_i}>0

Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.