Tilbake
8.3
Alle fag for Høyskole

8.3 Omhyllingsteoremet og skyggeprisen

Hvordan den optimale verdien endres med en parameter — uten å løse på nytt: $dU^*/dm=\lambda$, $dU^*/dp_i=-\lambda x_i^*$.

45 min
6 oppgaver
Omhyllingsteoremetskyggeprisen
Din fremgang i kapitlet
0 / 6 oppgaver
Kapitlets plass i kurset
Forkunnskaper. Kapitlet forutsetter kap. 8.1 og kap. 8.2. Du bør også kjenne partiellderivasjon fra kap. 1.2.

Sist du var her — de tre resultatene vi skal bygge videre på:

L=F(x,y)−λ(g(x,y)−m)L=F(x,y)-\lambda\big(g(x,y)-m\big)

max⁡ ln⁡x+ln⁡y under p1x+p2y=m ⟹ x∗=m2p1,y∗=m2p2,λ=2m\max\ \ln x+\ln y\ \text{under}\ p_1x+p_2y=m\ \Longrightarrow\ x^*=\frac{m}{2p_1},\quad y^*=\frac{m}{2p_2},\quad \lambda=\frac{2}{m}

min⁡ c1x1+c2x2 under x11/2x21/2=Qˉ ⟹ C∗=2Qˉc1c2,λ=2c1c2\min\ c_1x_1+c_2x_2\ \text{under}\ x_1^{1/2}x_2^{1/2}=\bar Q\ \Longrightarrow\ C^*=2\bar Q\sqrt{c_1c_2},\quad \lambda=2\sqrt{c_1c_2}

Legg allerede nå merke til den siste: dC∗dQˉ=2c1c2=λ\dfrac{dC^*}{d\bar Q}=2\sqrt{c_1c_2}=\lambda. Det er ikke et sammentreff, og dette kapitlet forklarer hvorfor.

En kommune har 40 millioner til et velferdstiltak og har regnet ut den beste fordelingen. Så kommer spørsmålet fra politisk hold: hva ville vi fått ut av én million til?

Den tunge veien er å løse hele optimeringsproblemet på nytt med 41 millioner og sammenligne. Den lette veien er å slå opp et tall du allerede har regnet ut.

Det tallet er λ\lambda. Multiplikatoren, som til nå bare har vært noe som skulle elimineres, måler nøyaktig hvor mye den beste oppnåelige verdien stiger når rammen løsnes med én enhet. Derfor kalles den en skyggepris — den er hva rammen er verdt på marginen, selv om ingen har satt en pris på den.

Den generelle regelen bak dette heter omhyllingsteoremet, og den gjelder for enhver parameter i problemet: en pris, en inntekt, et produksjonskrav, en vekt i målfunksjonen.

Løkke 1 — Verdifunksjonen og skyggeprisen (~16 min)

Verdifunksjonen
Verdifunksjonen er den beste oppnåelige verdien av målfunksjonen, som funksjon av parameterne.

V(a)=F(x∗(a),y∗(a))V(a)=F\big(x^*(a),y^*(a)\big)

Her står aa for en hvilken som helst parameter i problemet — inntekten mm, en pris p1p_1, et produksjonskrav Qˉ\bar Q. Poenget er at x∗x^* og y∗y^* selv avhenger av aa: endrer parameteren seg, flytter optimum seg. Verdifunksjonen tar hensyn til begge deler.

Skyggeprisen λ\lambda
Skyggeprisen er hva én enhet ekstra av den bindende ressursen er verdt.

dU∗dm=λ\frac{dU^*}{dm}=\lambda

Ordet «skygge» viser til at prisen ikke står i noe marked — ingen selger deg en ekstra krone budsjett. Den er likevel et helt konkret tall: den maksimale nytten stiger med λ\lambda per krone. I kostnadsminimering er den tilsvarende tolkningen grensekostnad: hva den neste produserte enheten koster.

📜Omhyllingsteoremet
La V(a)=F(x∗(a),y∗(a))V(a)=F\big(x^*(a),y^*(a)\big) være verdifunksjonen for problemet

max⁡ F(x,y;a)underg(x,y;a)=m,\max\ F(x,y;a)\quad\text{under}\quad g(x,y;a)=m,

og la L∗L^* være Lagrange-funksjonen evaluert i optimum. Da er

dVda=∂L∗∂a\frac{dV}{da}=\frac{\partial L^*}{\partial a}

I ord: for å finne hvordan den optimale verdien endrer seg med en parameter, deriverer du Lagrange-funksjonen partielt med hensyn på parameteren og setter inn optimum. Du trenger ikke ta hensyn til at x∗x^* og y∗y^* flytter seg.

Hvorfor det virker (kort intuisjon, ikke en utledning du skal gjengi): i optimum er de partiellderiverte av LL med hensyn på xx og yy lik null. Bidragene fra at optimum flytter seg, blir derfor ganget med null og forsvinner. Bare det direkte bidraget fra parameteren står igjen.

Sensor forventer at teoremet brukes, ikke reutledes. Skriv formelen, deriver, sett inn.

✏️Eksempel 1: Skyggeprisen på inntekt

For problemet max⁡ ln⁡x+ln⁡y\max\ \ln x+\ln y under p1x+p2y=mp_1x+p_2y=m fant vi x∗=m2p1x^*=\dfrac{m}{2p_1}, y∗=m2p2y^*=\dfrac{m}{2p_2} og λ=2m\lambda=\dfrac{2}{m}.

a) Bruk omhyllingsteoremet til å finne dU∗/dmdU^*/dm.

b) Kontroller svaret ved å regne ut U∗(m)U^*(m) eksplisitt og derivere.

c) Med p1=2p_1=2, p2=5p_2=5 og m=200m=200: hvor mye stiger den maksimale nytten hvis inntekten øker med én krone?

a) Bruk teoremet. Lagrange-funksjonen er

L=ln⁡x+ln⁡y−λ(p1x+p2y−m)L=\ln x+\ln y-\lambda\big(p_1x+p_2y-m\big)

Parameteren er mm. Deriver partielt mht. mm, altså hold xx, yy og λ\lambda faste:

∂L∂m=−λ⋅(−1)=λ\frac{\partial L}{\partial m}=-\lambda\cdot(-1)=\lambda

Omhyllingsteoremet gir dermed

dU∗dm=λ=2m\frac{dU^*}{dm}=\lambda=\frac{2}{m}

Det er hele utregningen. Ingen reoptimering, ingen kjerneregel.

b) Kontroll ved direkte regning. Sett de optimale verdiene inn i nyttefunksjonen:

U∗(m)=ln⁡m2p1+ln⁡m2p2=ln⁡m24p1p2=2ln⁡m−ln⁡(4p1p2)U^*(m)=\ln\frac{m}{2p_1}+\ln\frac{m}{2p_2}=\ln\frac{m^2}{4p_1p_2}=2\ln m-\ln(4p_1p_2)

Deriver mht. mm. Det siste leddet er konstant når prisene er faste:

dU∗dm=2m ✓\frac{dU^*}{dm}=\frac{2}{m}\ ✓

Samme svar. Kontrollen tok lengre tid enn selve teoremet — det er nettopp derfor teoremet er verdt å kunne.

c) Tallcaset. Med m=200m=200 er

λ=2200=0,01\lambda=\frac{2}{200}=0{,}01

Én krone mer i inntekt gir omtrent 0,010{,}01 nytteenheter mer. Ordet «omtrent» er viktig: λ\lambda er en marginal størrelse, altså stigningstallet i punktet. For små endringer er tilnærmingen god; for store endringer er den bare en tilnærming, akkurat som den lineære approksimasjonen i kap. 3.2.

Merk at λ\lambda faller når mm stiger: med m=400m=400 er λ=0,005\lambda=0{,}005. Den første kronen er verdt mer enn den fire hundrede. Det er avtakende grensenytte av inntekt, direkte lesbart fra formelen.

📝Oppgave 1
OM
I problemet

max⁡ ln⁡x+ln⁡yunder4x+y=40\max\ \ln x+\ln y\quad\text{under}\quad 4x+y=40

er løsningen x∗=5x^*=5, y∗=20y^*=20 og λ=120\lambda=\tfrac{1}{20}.

a) Hvor mye øker den maksimale nytten omtrent hvis budsjettet øker fra 40 til 41?

b) Kontroller svaret ved å regne ut U∗(m)U^*(m) eksplisitt og derivere.

Løkke 2 — Derivasjon med hensyn på en pris (~14 min)

Endring i optimal verdi når en pris endres
Stiger en pris, faller den maksimale nytten — og fallet har en enkel formel.

dU∗dpi=−λ xi∗\frac{dU^*}{dp_i}=-\lambda\,x_i^*

Fortegnet er negativt: dyrere varer gjør konsumenten dårligere stilt. Størrelsen er skyggeprisen ganget med hvor mye du kjøper. Kjøper du mye av varen, svir en prisøkning tilsvarende mer — noe som stemmer godt med hverdagserfaring.

Hvor minustegnet kommer fra
Fortegnet følger av at prisen står inne i bibetingelsen, ikke av en egen regel.

∂L∂p1=−λ∂∂p1(p1x+p2y−m)=−λx\frac{\partial L}{\partial p_1}=-\lambda\frac{\partial}{\partial p_1}\big(p_1x+p_2y-m\big)=-\lambda x

Deriverer du Lagrange-funksjonen partielt mht. p1p_1, treffer du bare det ene leddet −λp1x-\lambda p_1x, og det gir −λx-\lambda x. Evaluert i optimum blir det −λx∗-\lambda x^*. Å huske formelen uten minus er en av de vanligste feilene i sjangeren.

✏️Eksempel 2: Prisøkning og nyttetap

I problemet max⁡ ln⁡x+ln⁡y\max\ \ln x+\ln y under p1x+p2y=mp_1x+p_2y=m:

a) Bruk omhyllingsteoremet til å finne dU∗/dp1dU^*/dp_1.

b) Kontroller ved direkte derivasjon.

c) Med p1=2p_1=2, p2=5p_2=5, m=200m=200: hva skjer med den maksimale nytten hvis p1p_1 stiger med 0,1?

a) Bruk teoremet.

L=ln⁡x+ln⁡y−λ(p1x+p2y−m)L=\ln x+\ln y-\lambda\big(p_1x+p_2y-m\big)

∂L∂p1=−λx\frac{\partial L}{\partial p_1}=-\lambda x

Evaluert i optimum, med λ=2m\lambda=\dfrac{2}{m} og x∗=m2p1x^*=\dfrac{m}{2p_1}:

dU∗dp1=−λx∗=−2m⋅m2p1=−1p1\frac{dU^*}{dp_1}=-\lambda x^*=-\frac{2}{m}\cdot\frac{m}{2p_1}=-\frac{1}{p_1}

Forenklingen er poenget: mm faller ut, og svaret er ganske enkelt −1/p1-1/p_1.

b) Kontroll ved direkte derivasjon. Fra eksempel 1 er

U∗=2ln⁡m−ln⁡4−ln⁡p1−ln⁡p2U^*=2\ln m-\ln 4-\ln p_1-\ln p_2

dU∗dp1=−1p1 ✓\frac{dU^*}{dp_1}=-\frac{1}{p_1}\ ✓

Mellomregning: ln⁡(4p1p2)=ln⁡4+ln⁡p1+ln⁡p2\ln(4p_1p_2)=\ln 4+\ln p_1+\ln p_2, og bare det midterste leddet avhenger av p1p_1.

c) Tallcaset. Med p1=2p_1=2 er

dU∗dp1=−12=−0,5\frac{dU^*}{dp_1}=-\frac12=-0{,}5

En prisøkning på Δp1=0,1\Delta p_1=0{,}1 gir dermed omtrent

ΔU∗≈−0,5⋅0,1=−0,05\Delta U^*\approx -0{,}5\cdot 0{,}1=-0{,}05

Nytten faller altså med rundt 0,050{,}05 enheter.

Sammenlign med eksempel 1: der ga én ekstra krone i inntekt +0,01+0{,}01. En prisøkning på 5 % på gode 1 koster altså like mye som å miste fem kroner i inntekt. Det er nettopp slike sammenligninger omhyllingsteoremet gjør mulige uten å regne noe på nytt.

Kontroll av fortegnet mot intuisjonen: dyrere varer gjør konsumenten dårligere stilt ✓.

📝Oppgave 2
Sjanger OM
Betrakt max⁡ ln⁡x+2ln⁡y\max\ \ln x+2\ln y under p1x+p2y=mp_1x+p_2y=m, med løsningen

x∗=m3p1,y∗=2m3p2,λ=3m.x^*=\frac{m}{3p_1},\qquad y^*=\frac{2m}{3p_2},\qquad \lambda=\frac{3}{m}.

a) Finn dU∗/dmdU^*/dm og dU∗/dp2dU^*/dp_2 ved hjelp av omhyllingsteoremet.

b) Kontroller dU∗/dp2dU^*/dp_2 ved direkte derivasjon av U∗U^*.

📝Oppgave 3
Sjanger SU

Avgjør om påstandene er sanne eller usanne, og begrunn.

a) «dU∗/dmdU^*/dm og ∂U/∂m\partial U/\partial m er to navn på samme størrelse.»

b) «Skyggeprisen λ\lambda er den samme uansett hvor stort budsjettet er.»

c) «En prisøkning på et gode konsumenten kjøper mye av, koster mer i nytte enn samme prisøkning på et gode hun kjøper lite av.»

— naturlig pausepunkt —

Løkke 3 — Den generelle formen (~15 min)

Omhyllingsteoremet i generell form
Regelen gjelder for enhver parameter, uansett om den står i målfunksjonen eller i bibetingelsen.

dVda=∂L∗∂a\frac{dV}{da}=\frac{\partial L^*}{\partial a}

Oppskriften er tre steg: (1) skriv opp LL med parameteren synlig, (2) deriver partielt mht. parameteren, (3) sett inn de optimale verdiene. Spesialtilfellene dU∗/dm=λdU^*/dm=\lambda og dU∗/dpi=−λxi∗dU^*/dp_i=-\lambda x_i^* er bare denne regelen brukt på hver sin parameter.

Hvorfor de indirekte leddene faller bort
At optimum flytter seg når parameteren endres, spiller ingen rolle på marginen.

Lx′=0 og Ly′=0 i optimumL'_x=0\ \text{og}\ L'_y=0\ \text{i optimum}

Bidragene fra dx∗/dadx^*/da og dy∗/dady^*/da blir ganget med nettopp disse to nullene. Derfor står bare det direkte bidraget fra parameteren igjen. Dette er hele innholdet i teoremet, og det er grunnen til at det sparer så mye arbeid.

Parameter i målfunksjonen
Står parameteren i målfunksjonen i stedet for i bibetingelsen, er oppskriften den samme.

U=aln⁡x+ln⁡y ⟹ ∂L∂a=ln⁡x ⟹ dU∗da=ln⁡x∗U=a\ln x+\ln y\ \Longrightarrow\ \frac{\partial L}{\partial a}=\ln x\ \Longrightarrow\ \frac{dU^*}{da}=\ln x^*

Merk at multiplikatoren ikke er med her — den dukker bare opp når parameteren står i bibetingelsen. Fremgangsmåten er identisk: deriver LL partielt mht. parameteren, og sett inn optimum.

✏️Eksempel 3: Eksamensnivå — grensekostnad og faktorpris
En bedrift minimerer c1x1+c2x2c_1x_1+c_2x_2 under produksjonskravet x11/2x21/2=Qˉx_1^{1/2}x_2^{1/2}=\bar Q. Fra kap. 8.2:

x1∗=Qˉc2c1,x2∗=Qˉc1c2,C∗=2Qˉc1c2,λ=2c1c2x_1^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}},\qquad x_2^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_1}{c_2}},\qquad C^*=2\bar Q\sqrt{c_1c_2},\qquad \lambda=2\sqrt{c_1c_2}

a) Bruk omhyllingsteoremet til å finne dC∗/dQˉdC^*/d\bar Q, og tolk resultatet.

b) Bruk teoremet til å finne dC∗/dc1dC^*/dc_1, og tolk resultatet.

c) Regn ut begge for c1=4c_1=4, c2=9c_2=9, Qˉ=6\bar Q=6, og kontroller mot direkte derivasjon.

a) Produksjonskravet. Lagrange-funksjonen er

L=c1x1+c2x2−λ(x11/2x21/2−Qˉ)L=c_1x_1+c_2x_2-\lambda\big(x_1^{1/2}x_2^{1/2}-\bar Q\big)

Parameteren Qˉ\bar Q står bare i det siste leddet, med fortegn −λ⋅(−Qˉ)-\lambda\cdot(-\bar Q):

∂L∂Qˉ=λ ⟹ dC∗dQˉ=λ=2c1c2\frac{\partial L}{\partial \bar Q}=\lambda\ \Longrightarrow\ \frac{dC^*}{d\bar Q}=\lambda=2\sqrt{c_1c_2}

Tolkning: multiplikatoren er grensekostnaden — hva den neste produserte enheten koster. Her er den konstant, uavhengig av hvor mye som produseres. Det er en egenskap ved denne teknologien (konstant skalautbytte), ikke en generell regel.

b) Faktorprisen. Parameteren c1c_1 står i målfunksjonen:

∂L∂c1=x1 ⟹ dC∗dc1=x1∗=Qˉc2c1\frac{\partial L}{\partial c_1}=x_1\ \Longrightarrow\ \frac{dC^*}{dc_1}=x_1^*=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}}

Tolkning: stiger prisen på faktor 1 med én krone, stiger den minimale kostnaden med x1∗x_1^* kroner — altså med det antallet enheter bedriften faktisk bruker.

Det er et pent og intuitivt resultat: bedriften vil tilpasse seg og bruke litt mindre av den dyrere faktoren, men på marginen teller bare mengden den bruker i dag. Tilpasningen gir ingen gevinst av første orden, og det er nettopp innholdet i omhyllingsteoremet.

Merk fortegnet: her er det positivt. Dyrere innsatsfaktorer gir høyere kostnad, mens dyrere konsumvarer ga lavere nytte. Fortegnet følger av hva parameteren gjør med målfunksjonen, ikke av en fast regel.

c) Tallcaset c1=4c_1=4, c2=9c_2=9, Qˉ=6\bar Q=6:

dC∗dQˉ=236=12,dC∗dc1=x1∗=694=9\frac{dC^*}{d\bar Q}=2\sqrt{36}=12,\qquad \frac{dC^*}{dc_1}=x_1^*=6\sqrt{\frac94}=9

Kontroll ved direkte derivasjon. Verdifunksjonen er C∗=2Qˉc1c2C^*=2\bar Q\sqrt{c_1c_2}.

Mht. Qˉ\bar Q er dette en lineær funksjon:

dC∗dQˉ=2c1c2=236=12 ✓\frac{dC^*}{d\bar Q}=2\sqrt{c_1c_2}=2\sqrt{36}=12\ ✓

Mht. c1c_1, skriv C∗=2Qˉc2⋅c11/2C^*=2\bar Q\sqrt{c_2}\cdot c_1^{1/2} og deriver:

dC∗dc1=2Qˉc2⋅12c1−1/2=Qˉc2c1=6⋅32=9 ✓\frac{dC^*}{dc_1}=2\bar Q\sqrt{c_2}\cdot\tfrac12 c_1^{-1/2}=\bar Q\sqrt{\frac{c_2}{c_1}}=6\cdot\frac32=9\ ✓

Begge stemmer.

Legg merke til hvor mye kortere teoremveien var. I b) var hele utregningen «deriver c1x1c_1x_1 mht. c1c_1, det gir x1x_1, sett inn optimum». Kontrollen krevde potensregler på et sammensatt uttrykk. På eksamen er den første veien den du skal gå.

📝Oppgave 4
Sjanger OM

En bedrift har Q=K1/2N1/2Q=K^{1/2}N^{1/2}, kapitalpris r=5r=5, lønn w=20w=20 og produksjonskrav Qˉ=40\bar Q=40. Løsningen er K∗=80K^*=80, N∗=20N^*=20, C∗=800C^*=800 og λ=20\lambda=20.

a) Hvor mye øker den minimale kostnaden omtrent hvis produksjonskravet øker til 41?

b) Hvor mye øker den minimale kostnaden omtrent hvis lønna stiger fra 20 til 21?

c) Hvilken av de to endringene koster bedriften mest?

📝Oppgave 5
Sjanger OM
Betrakt

max⁡ aln⁡x+ln⁡yunderp1x+p2y=m,\max\ a\ln x+\ln y\quad\text{under}\quad p_1x+p_2y=m,

der a>0a>0 er en vekt som sier hvor mye gode 1 betyr for konsumenten.

a) Finn x∗x^*, y∗y^* og λ\lambda uttrykt ved aa, p1p_1, p2p_2 og mm.

b) Bruk omhyllingsteoremet til å finne dU∗/dadU^*/da.

c) Kontroller svaret i b) for a=2a=2, p1=3p_1=3, p2=4p_2=4, m=90m=90 ved å regne ut U∗(a)U^*(a) og derivere numerisk med et lite steg.

📝Oppgave 6
Sjanger OM

Et land fordeler et utslippsbudsjett mellom industri (xx) og transport (yy). Miljøgevinsten er G(x,y)=4x+6yG(x,y)=4\sqrt{x}+6\sqrt{y}, og kostnadsrammen er 2x+3y=m2x+3y=m millioner kroner.

a) Vis at x∗=y∗=m/5x^*=y^*=m/5 og finn λ\lambda.

b) Finn den maksimale miljøgevinsten G∗(m)G^*(m).

c) Bruk omhyllingsteoremet til å finne dG∗/dmdG^*/dm, og kontroller mot direkte derivasjon. Hva er den marginale miljøgevinsten av én million kroner til når m=125m=125?

Begrepsbank

Begrepsbanken er flashcard- og repetisjonsstoff — den gjentar det du nettopp har lest. Hopp trygt over ved førstegangslesing; tidsanslaget for kapitlet gjelder kjernestoffet.

Trestegsoppskriften for omhyllingsteoremet
Hele metoden, uansett hvilken parameter det gjelder.

skriv L → deriver partielt mht. parameteren → sett inn optimum\text{skriv }L\ \to\ \text{deriver partielt mht. parameteren}\ \to\ \text{sett inn optimum}

Det er alt. Er svaret ditt lengre enn tre linjer, har du sannsynligvis begynt å reutlede teoremet i stedet for å bruke det.

De to spesialtilfellene du må kunne
Disse to dekker de fleste eksamensbrukene.

dU∗dm=λ,dU∗dpi=−λ xi∗\frac{dU^*}{dm}=\lambda,\qquad \frac{dU^*}{dp_i}=-\lambda\,x_i^*

Den første er positiv (mer budsjett er bedre), den andre negativ (dyrere varer er verre). Begge følger av den generelle regelen brukt på hver sin parameter.

Verdifunksjon mot målfunksjon
To ulike funksjoner som lett forveksles.

U(x,y) — nytten av et knippe;U∗(m,p1,p2) — den beste oppna˚elige nyttenU(x,y)\ \text{— nytten av et knippe};\qquad U^*(m,p_1,p_2)\ \text{— den beste oppnåelige nytten}

Stjernen betyr at optimeringen allerede er gjort. Derfor er ∂U/∂m=0\partial U/\partial m=0 mens dU∗/dm=λdU^*/dm=\lambda — inntekten står i bibetingelsen, ikke i nyttefunksjonen.

λ\lambda i kostnadsminimering
Samme størrelse, ny drakt.

λ=dC∗dQˉ\lambda=\frac{dC^*}{d\bar Q}

Multiplikatoren er grensekostnaden — hva den neste enheten koster å produsere. I konsumentproblemet var den grensenytten av inntekt; det er samme idé sett fra kostnadssiden.

Avtakende skyggepris
Skyggeprisen er ikke en konstant.

λ=2m ⟹ λ faller na˚r m stiger\lambda=\frac{2}{m}\ \Longrightarrow\ \lambda\ \text{faller når}\ m\ \text{stiger}

Den første kronen er verdt mer enn den siste. Å påstå at λ\lambda er uavhengig av budsjettet er en klassisk sant/usant-felle, og motsvaret er å regne ut λ\lambda for to inntektsnivåer.

Parameter i målfunksjonen gir ikke λ\lambda
Hvor parameteren står, avgjør hvordan svaret ser ut.

∂L∂c1=x1 ⟹ dC∗dc1=x1∗\frac{\partial L}{\partial c_1}=x_1\ \Longrightarrow\ \frac{dC^*}{dc_1}=x_1^*

Står parameteren i målfunksjonen, blir svaret en mengde. Står den i bibetingelsen, kommer λ\lambda inn. Sjekk alltid hvor parameteren faktisk bor før du skriver formelen.

Marginal, ikke eksakt
Teoremet gir stigningstallet, ikke den faktiske endringen.

ΔU∗≈λ Δm\Delta U^*\approx\lambda\,\Delta m

For små Δm\Delta m er tilnærmingen god. Dette er samme tenkning som i den lineære approksimasjonen i kap. 3.2, og «omtrent» hører med i svarsetningen.

Fortegnskontroll mot intuisjonen
Et raskt tilregnelighetssjekk før du leverer.

mer budsjett ⇒ bedre;høyere pris ⇒ verre\text{mer budsjett}\ \Rightarrow\ \text{bedre};\qquad \text{høyere pris}\ \Rightarrow\ \text{verre}

Får du et positivt tall for dU∗/dp1dU^*/dp_1, har du mistet et minustegn. Fortegnet på svaret skal alltid kunne forsvares med én setning på norsk.

Hvorfor teoremet sparer arbeid
Fordi tilpasningen ikke teller på marginen.

Lx′=Ly′=0 ⟹ leddene fra dx∗/da og dy∗/da forsvinnerL'_x=L'_y=0\ \Longrightarrow\ \text{leddene fra }dx^*/da\ \text{og }dy^*/da\ \text{forsvinner}

Bedriften eller konsumenten vil justere seg når parameteren endres, men gevinsten av den justeringen er av andre orden. Bare det direkte bidraget står igjen.

Repetisjonsoppgaver
Symbol- og formelliste

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Skolesaga er en uavhengig læringsressurs og er ikke tilknyttet eller godkjent av Universitetet i Oslo. Dette er ikke offisielt studiemateriell. Les mer.