4.3 Hjørne- og randløsninger: definisjonsområde-argumentet

$$\ln x\ \text{krever}\ x>0;\qquad \sqrt{x}\ \text{krever}\ x\ge 0;\qquad \tfrac{1}{x}\ \text{krever}\ x\ne 0$$

I økonomiske modeller kommer det ofte en begrensning i tillegg fra saken selv: mengder og priser er ikke negative. Å skrive opp området før du deriverer, er første steg i enhver drøfting — og å hoppe over det er feil #6.

$$[0,\infty)\ \text{har randpunktet}\ x=0;\qquad [0,9]\ \text{har randpunktene}\ x=0\ \text{og}\ x=9$$

Merk forskjellen på lukket og åpent: i $[0,\infty)$ er $x=0$ med i området og kan derfor være et ekstrempunkt. I $(0,\infty)$ er det ikke med, og da kan ekstremverdien ikke ligge der — funksjonen har ingen verdi i punktet.

$$f'\ \text{er ikke null der — funksjonen stoppes av kanten, ikke av seg selv}$$

Navnet «hjørneløsning» kommer fra økonomi: i en optimeringsmodell betyr det at husholdningen bruker alt på ett gode og null på det andre. Matematisk er det samme sak — optimum ligger der området slutter.

$$[a,b]\ \text{(lukket)},\qquad (a,b)\ \text{(åpent)},\qquad [a,b)\ \text{(halvåpent)}$$

På et lukket og begrenset område har enhver kontinuerlig funksjon både et globalt maksimum og et globalt minimum — de må finnes, enten i et stasjonærpunkt eller på randen. På et åpent område finnes ingen slik garanti, og det er verdt å si eksplisitt.

$$\text{(1) endepunktet i området}\quad\text{(2) fortegnet på } f'\quad\text{(3) konklusjon for hele området}$$

Ledd 2 er det bærende: fortegnet gjelder for alle $x$ i området, ikke bare for noen. Det er nettopp derfor argumentet kan konkludere globalt, mens innsetting av tall aldri kan det.

$$\text{(1) definisjonsområdet}\ \to\ \text{(2) stasjonærpunkter}\ \to\ \text{(3) randen}\ \to\ \text{(4) sammenlign}$$

Steg 1 er det som glemmes (feil #6), og steg 3 er det som skiller toppsjiktet. På et lukket og begrenset område er steg 4 en enkel sammenligning av en komplett kandidatliste; på et ubegrenset område må du i tillegg si hva som skjer når $x$ blir stor.

$$\text{stasjonærpunkter}\ \cup\ \text{randpunkter}\ \cup\ \text{punkter der }f'\ \text{ikke finnes}$$

Er listen komplett og området lukket og begrenset, kan du trygt sammenligne funksjonsverdiene og peke på den største og minste. Da er innsettingen ikke et bevisforsøk, men en avslutning — og det er lovlig.

$$x\to\infty:\ f(x)\to\infty\ \Longrightarrow\ \text{ingen globalt maksimum}$$

Uten dette leddet er argumentet ufullstendig: kandidatlisten dekker bare det som skjer på endelig avstand. For polynomer avgjøres grenseoppførselen av leddet med høyest grad, og for $\ln$- og rotfunksjoner av at de vokser uten grense, om enn langsomt.

$$\text{innsetting av tallverdier er IKKE et bevis for globalt ekstremum}$$

Argumentet må gå gjennom definisjonsområdets endepunkt pluss fortegnet på $f'$, som gjelder hele området. Unntaket er lukkede, begrensede intervaller med komplett kandidatliste — der er sammenligning av funksjonsverdier fullt gyldig.

$$\text{(1) }f'=0\qquad\text{(2) randen}\qquad\text{(3) der }f'\ \text{ikke finnes}$$

Å sjekke bare den første er den vanligste grunnen til at randløsninger overses. Gruppe tre er sjelden i eksamensoppgaver, men den forekommer — for eksempel i $x=0$ for $\sqrt{x}$, der den deriverte ikke er definert.

$$f\ \text{kontinuerlig på}\ [a,b]\ \Longrightarrow\ \text{både globalt maks og min finnes}$$

Begge forutsetningene trengs. På det åpne $(0,1)$ har $f(x)=x$ ingen ekstremverdier, og på det ubegrensede $[0,\infty)$ har den intet maksimum. Når garantien gjelder, vet du på forhånd at svaret finnes, og jobben er bare å finne det.

$$\pi'(x)=3(x-1)(x+1)\ \text{på}\ [0,3]:\ x=-1\ \text{forkastes}$$

Å ta med en rot som ligger utenfor, gir et svar som ikke finnes. Samme disiplin kreves i Lagrange-oppgavene i Del 8, der den har sin egen feilkode (#11) — å ta med en rot utenfor definisjonsområdet.

$$(0,\infty):\ x=0\ \text{er ikke en kandidat, uansett hva som skjer i nærheten}$$

Funksjonen $x-\ln x$ går mot uendelig når $x\to 0^{+}$, men den har ingen verdi i null og derfor heller ikke noe ekstrempunkt der. Skriv det eksplisitt i besvarelsen — det viser at du har sjekket, ikke antatt.

$$f'(x)>0\ \text{for alle }x\in(0,9]\ \Longrightarrow\ f\ \text{vokser i HELE intervallet}$$

Én utregnet fortegnspåstand dekker uendelig mange punkter. Tre innsatte tallverdier dekker tre. Det er hele forskjellen — og den er metodisk, ikke et spørsmål om grundighet.

$$\text{alt på ett gode, null på det andre}$$

En hjørneløsning betyr at aktøren presses helt ut til kanten av det mulige: hele budsjettet på ett gode, full kapasitetsutnyttelse, eller null av en innsatsfaktor. Matematisk er det samme sak som randløsningen — optimum ligger der området slutter, ikke der tangenten er vannrett.