4.8 Globale ekstremalpunkter | Matematikk R1

Finne absolutte maksimums- og minimumsverdier på lukkede intervaller.

50 min

9 oppgaver

Globale ekstremalpunkterLukkede intervallerEkstremalverdisetningenOptimeringsproblemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.6Funksjonsdrøfting

Lokale vs. globale ekstremalpunkter

Lokalt ekstremalpunkt: Høyeste/laveste verdi i et lite område rundt punktet.

Globalt (absolutt) ekstremalpunkt: Høyeste/laveste verdi i hele definisjonsområdet.

Viktig: Et lokalt maksimum trenger ikke være et globalt maksimum!

Eksempel: For $f(x) = x^3 - 3x$ på $[-2, 3]$ :
- Lokalt maksimum i $x = -1$ : $f(-1) = 2$
- Lokalt minimum i $x = 1$ : $f(1) = -2$
- Men hva er det globale maksimum?

Ekstremalverdisetningen

f

Metode for å finne globale ekstremalpunkter

f

✏️Eksempel 1: Polynom på lukket intervall

Finn globalt maksimum og minimum for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på $[-2, 2]$ .

Steg 1: Finn kritiske punkter

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

f'(x) = 0

når

x = -1

eller

x = 1

Begge er innenfor $(-2, 2)$ ✓

Steg 2: Beregn funksjonsverdier

$x$	$f(x) = x^3 - 3x + 1$
$-2$ (endepunkt)	$-8 + 6 + 1 = -1$
$-1$ (kritisk)	$-1 + 3 + 1 = 3$
$1$ (kritisk)	$1 - 3 + 1 = -1$
$2$ (endepunkt)	$8 - 6 + 1 = 3$

Steg 3: Sammenlign
- Globalt maksimum:

f(-1) = f(2) = 3

- Globalt minimum:

f(-2) = f(1) = -1

Svar: Globalt maks er 3 (i

x = -1

x = 2

), globalt min er

-1

x = -2

x = 1

✏️Eksempel 2: Optimeringsproblem

En bonde har 200 meter gjerde og vil lage et rektangulært innhegning mot en elv (trenger ikke gjerde langs elven). Hva er det største arealet han kan få?

Sett opp problemet:
La

x

= lengde parallelt med elven,

y

= bredde.

Begrensning: $x + 2y = 200$ (gjerde på tre sider)
Så $x = 200 - 2y$

Areal: $A = xy = (200 - 2y)y = 200y - 2y^2$

Hva er definisjonsområdet?
$y > 0$ og $x > 0$ , så $y < 100$
Definisjonsområde: $y \in [0, 100]$

Finn kritiske punkter:
$A'(y) = 200 - 4y = 0$
$y = 50$ m

Beregn funksjonsverdier:

$y$	$A(y)$
$0$	$0$
$50$	$200(50) - 2(2500) = 5000$
$100$	$0$

Svar: Maksimalt areal er

5000 \text{ m}^2

når

y = 50

m og

x = 100

✏️Eksempel 3: Funksjon med ikke-deriverbart punkt

Finn globale ekstremalpunkter for $f(x) = |x - 1| + 2x$ på $[-1, 3]$ .

Skriv om funksjonen:

f(x) = \begin{cases} -(x-1) + 2x = x + 1 & \text{hvis } x < 1 \\ (x-1) + 2x = 3x - 1 & \text{hvis } x \geq 1 \end{cases}

Kritiske punkter:
- For $x < 1$ : $f'(x) = 1 \neq 0$ (ingen stasjonære punkter)
- For $x > 1$ : $f'(x) = 3 \neq 0$ (ingen stasjonære punkter)
- I $x = 1$ : $f'(x)$ eksisterer ikke (knekk)

Kandidatpunkter: $x = -1, 1, 3$

Beregn funksjonsverdier:

$x$	$f(x)$
$-1$	$2 + (-2) = 0$
$1$	$0 + 2 = 2$
$3$	$2 + 6 = 8$

Svar: Globalt minimum er

0

x = -1

. Globalt maksimum er

8

x = 3

📝Oppgave 1

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = x^2 - 4x + 3

på

[0, 4]

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

på

[0, 4]

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

på

[-2, 2]

📝Oppgave 2

Optimeringsproblemer.

En åpen boks skal lages av et 12×12 cm ark ved å klippe like kvadrater fra hjørnene og brette opp. Hva er det maksimale volumet?

Finn det punktet på kurven $y = \sqrt{x}$ som ligger nærmest punktet $(3, 0)$ .

Løs oppgaven Tren

Obs! Åpne intervaller:

På åpne intervaller $(a, b)$ trenger ikke globale ekstremalpunkter å eksistere!

Eksempel 1: $f(x) = x$ på $(0, 1)$ . Funksjonen kommer vilkårlig nær 0 og 1, men når aldri disse verdiene. Verken globalt maksimum eller minimum eksisterer.

Eksempel 2: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ på $(0, \infty)$ . Funksjonen nærmer seg 0 når $x \to \infty$ , men når aldri 0. Den har heller ikke noe globalt maksimum (den går mot $\infty$ når $x \to 0^+$ ).

Ekstremalverdisetningen krever at intervallet er lukket $[a, b]$ og at funksjonen er kontinuerlig på hele intervallet. Hvis én av disse betingelsene mangler, kan vi ikke garantere at globale ekstremalpunkter finnes.

Bruk andrederiverten for å klassifisere kritiske punkter:

Etter å ha funnet kritiske punkter $c$ der $f'(c) = 0$ , kan du bruke andrederiverttesten:

- $f''(c) > 0$ → Lokalt minimum i $x = c$
- $f''(c) < 0$ → Lokalt maksimum i $x = c$
- $f''(c) = 0$ → Testen er inkonklusiv — du må sjekke fortegnsskjema for $f'(x)$

Husk: Selv om du klassifiserer lokale ekstremalpunkter med $f''$ , må du fortsatt sammenligne med endepunktsverdier for å avgjøre om de er globale!

✏️Eksempel 4: Praktisk optimering – sylindrisk boks

En sylindrisk boks (uten lokk) skal ha volum $500 \text{ cm}^3$ . Finn dimensjonene som minimerer materialforbruket (overflatearealet).

Sett opp variablene:
La

r

= radius og

h

= høyde.

Overflateareal (bunn + sideflate, uten lokk):
$A = \pi r^2 + 2\pi r h$

Volumbetingelse:
$\pi r^2 h = 500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{500}{\pi r^2}$

Sett inn for $h$ :
$A(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$

Definisjonsområde: $r > 0$

Deriver og sett lik null:
$A'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$
$2\pi r = \frac{1000}{r^2}$
$r^3 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Kontroller med andrederiverten:
$A''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3}$
$A''(r) > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er et minimum.

Finn høyden:
$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \left(\frac{500}{\pi}\right)^{2/3}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Svar: Minst materialforbruk når $r \approx 5{,}42$ cm og $h \approx 5{,}42$ cm. Boksen er like bred som den er høy!

📊Utforsk globale og lokale ekstremalpunkter

Dra i endepunktene for å se hvordan globale ekstremalpunkter endres.

📝Oppgave 3

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = e^{-x} \cdot x

på

[0, 5]

f(x) = x - 2\sin x

på

[0, 2\pi]

f(x) = \ln x - x

på

[0{,}1, \, 10]

📝Oppgave 4

Praktiske optimeringsproblemer.

En bedrift selger $x$ enheter til pris $p = 200 - 2x$ kr. Kostnaden er $K(x) = 500 + 40x$ . Finn antall enheter som gir størst fortjeneste.

Et rektangulært akvarium (med åpen topp) skal ha volum 32 liter. Bunnen er kvadratisk. Finn dimensjonene som minimerer glassforbruket (overflatearealet).

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Ekstremalverdisetningen:
Kontinuerlig funksjon på lukket intervall har alltid globalt maks og min.

Metode:
1. Finn kritiske punkter ( $f'(x) = 0$ eller $f'$ eksisterer ikke)
2. Beregn $f$ i kritiske punkter og endepunkter
3. Sammenlign verdiene

Kandidatpunkter:
- Stasjonære punkter
- Knekkpunkter
- Endepunkter

Optimeringsproblemer:
1. Sett opp funksjonen
2. Finn naturlig definisjonsområde
3. Bruk metoden over

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.