4.8 Globale ekstremalpunkter

Høyeste topp i bygda – eller i hele landet?

Står du på toppen av det høyeste fjellet i bygda di, er du på et lokalt maksimum: ingen punkter i nærheten er høyere. Men er du på Norges høyeste punkt? Neppe – Galdhøpiggen ligger et annet sted. Forskjellen mellom «høyest her omkring» og «høyest av alle» er nøyaktig forskjellen mellom lokale og globale ekstremalpunkter.

I kapittelet om funksjonsdrøfting lærte du å finne lokale topper og bunner med den deriverte. Men i praktiske problemer – størst areal, minst materialbruk – er det sjelden den lokale toppen vi vil ha. Vi vil ha den absolutt største eller minste verdien på hele definisjonsområdet.

Og her venter en overraskelse: den globale rekorden trenger ikke ligge i et stasjonært punkt i det hele tatt. Ta $f(x) = x^3 - 3x$ på intervallet $[-2, 3]$. Det lokale maksimumet er $f(-1) = 2$ – men i høyre endepunkt er $f(3) = 27 - 9 = 18$, mye høyere! Den globale toppen ligger ved kanten av intervallet, der ingen derivert varslet om den.

I dette kapittelet lærer du ekstremalverdisetningen – garantien for at globale ekstremalpunkter finnes – og en pålitelig tre-stegs metode for å finne dem. Du får også se hva som kan gå galt når garantien ikke gjelder.

Garantien og kandidatlisten

Først den gode nyheten, kjent som ekstremalverdisetningen: hvis $f$ er kontinuerlig på et lukket intervall $[a, b]$, så har $f$ garantert både et globalt maksimum og et globalt minimum der. Begge betingelsene er nødvendige – kontinuitet og lukket intervall. Mangler én av dem, ryker garantien, som vi skal se senere.

Den andre gode nyheten er at jaktområdet er lite. De globale ekstremalpunktene kan bare ligge tre steder: i stasjonære punkter der $f'(x) = 0$, i endepunktene $x = a$ og $x = b$, eller i punkter der $f'(x)$ ikke eksisterer – for eksempel knekkpunkter. Disse kandidatene kalles med en fellesbetegnelse kritiske punkter og endepunkter. Alt annet er utelukket: i et indre punkt med veldefinert, ikke-null derivert peker grafen oppover eller nedover, og da finnes det alltid naboer som er høyere og lavere.

Dermed blir metoden nesten mekanisk. Steg 1: Finn alle kritiske punkter – løs $f'(x) = 0$ og noter hvor $f'$ ikke eksisterer. Steg 2: Regn ut funksjonsverdien $f(x)$ i hvert kritisk punkt innenfor intervallet og i begge endepunktene. Steg 3: Sammenlign tallene. Størst verdi er globalt maksimum, minst verdi er globalt minimum. Ferdig.

Legg merke til hva vi ikke trenger: fortegnsskjema, klassifisering, andrederivert. Når målet bare er den globale rekorden, holder det å regne ut verdiene i kandidatpunktene og la tallene konkurrere. Vil du likevel vite om et kritisk punkt er lokal topp eller bunn underveis, står andrederiverttesten klar – men husk at selv et bekreftet lokalt maksimum må måle krefter med endepunktene før det kan kalles globalt.

Tallene konkurrerer

La oss kjøre metoden på $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på $[-2, 2]$. Steg 1: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$, så de stasjonære punktene er $x = -1$ og $x = 1$ – begge innenfor intervallet. Steg 2: Vi regner ut verdien i alle fire kandidatpunktene. Endepunktet $x = -2$: $f(-2) = -8 + 6 + 1 = -1$. Det stasjonære punktet $x = -1$: $f(-1) = -1 + 3 + 1 = 3$. Punktet $x = 1$: $f(1) = 1 - 3 + 1 = -1$. Endepunktet $x = 2$: $f(2) = 8 - 6 + 1 = 3$.

Steg 3: Sammenlign. Den største verdien er 3, oppnådd to steder: $x = -1$ og $x = 2$. Den minste er $-1$, også to steder: $x = -2$ og $x = 1$. Globalt maksimum er altså 3 og globalt minimum $-1$ – og dette eksempelet viser at rekorden godt kan deles mellom et indre stasjonært punkt og et endepunkt.

Nå et eksempel med knekk: $f(x) = |x - 1| + 2x$ på $[-1, 3]$. Absoluttverdien tvinger oss til å dele opp: for $x < 1$ er $f(x) = -(x-1) + 2x = x + 1$, og for $x \geq 1$ er $f(x) = (x-1) + 2x = 3x - 1$. På hver del er den deriverte konstant ($1$ og $3$) og aldri null – ingen stasjonære punkter. Men i $x = 1$ eksisterer ikke $f'$: grafen har en knekk der stigningen hopper fra 1 til 3. Knekkpunktet er en fullverdig kandidat!

Kandidatene er dermed $x = -1, 1, 3$. Verdiene: $f(-1) = 2 + (-2) = 0$, $f(1) = 0 + 2 = 2$, $f(3) = 2 + 6 = 8$. Globalt minimum er 0 i $x = -1$, globalt maksimum 8 i $x = 3$ – begge i endepunktene denne gangen, mens knekken havnet midt imellom.

Når garantien ryker – og når optimering lykkes

Hva skjer hvis intervallet er åpent? Se på $f(x) = x$ på $(0, 1)$. Funksjonen kommer så nær 0 og 1 den bare vil – men når aldri frem, for endepunktene er ikke med. Verken globalt maksimum eller minimum eksisterer! Samme problem med $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ på $(0, \infty)$: den stuper mot 0 uten å nå det, og vokser over alle grenser nær origo. Ekstremalverdisetningen krever lukket intervall og kontinuitet – mangler én av delene, kan rekordene rett og slett utebli.

Men når alt er på plass, blir metoden et kraftig optimeringsverktøy. Bonden ved elva: Han har 200 meter gjerde og vil lage en rektangulær innhegning mot en elv, uten gjerde langs elvebredden. Med $x$ som lengden langs elva og $y$ som bredden er begrensningen $x + 2y = 200$, altså $x = 200 - 2y$. Arealet blir $A(y) = (200 - 2y)y = 200y - 2y^2$ på intervallet $[0, 100]$. Derivasjon: $A'(y) = 200 - 4y = 0$ gir $y = 50$. Kandidatverdiene er $A(0) = 0$, $A(50) = 5000$ og $A(100) = 0$. Maksimalt areal: $5000$ m² med $y = 50$ og $x = 100$ – innhegningen skal være dobbelt så lang som den er bred.

Boksen uten lokk: En sylindrisk boks uten lokk skal romme $500$ cm³ med minst mulig materialbruk. Overflaten er bunn pluss side: $A = \pi r^2 + 2\pi rh$, og volumkravet $\pi r^2 h = 500$ gir $\displaystyle h = \frac{500}{\pi r^2}$. Innsetting: $\displaystyle A(r) = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$ for $r > 0$. Vi deriverer: $\displaystyle A'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$ gir $\displaystyle r^3 = \frac{500}{\pi}$, altså $r \approx 5{,}42$ cm. Andrederiverten $\displaystyle A''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3}$ er alltid positiv, så dette er et minimum. Høyden blir $h \approx 5{,}42$ cm – nøyaktig lik radien. Den gjerrigste boksen uten lokk er like bred som den er høy.

Rekordjakten oppsummert

Dette kapittelet skilte mellom to spørsmål: «høyest i nabolaget?» og «høyest av alle?». Lokale ekstremalpunkter er nabolagsrekorder; globale ekstremalpunkter er den absolutte toppen og bunnen på hele definisjonsområdet – og det er som regel dem praktiske problemer spør etter.

Ekstremalverdisetningen gir garantien: en kontinuerlig funksjon på et lukket intervall $[a, b]$ har alltid globalt maksimum og minimum. Og kandidatlisten er kort: stasjonære punkter der $f'(x) = 0$, punkter der $f'$ ikke eksisterer (knekk), og endepunktene. Metoden er deretter ren sammenligning: regn ut $f$ i alle kandidatpunktene, og la største og minste verdi vinne. Eksemplet $x^3 - 3x + 1$ viste at rekorden kan deles mellom indre punkter og endepunkter, og absoluttverdi-eksemplet minnet oss om at knekkpunkter teller med.

Men garantien har vilkår: på åpne intervaller, som $f(x) = x$ på $(0,1)$, kan ekstremalverdiene rett og slett mangle – funksjonen nærmer seg grensene uten å nå dem.

Til slutt så du metoden i arbeid: bondens innhegning på $5000$ m² og den materialgjerrige boksen der høyden ble lik radien. Oppskriften – uttrykk målet som funksjon av én variabel, finn kandidatene, sammenlign – er selve kjernen i optimering, og i neste kapittel gjør vi den til hovedsak med enda flere problemer fra virkeligheten.