4.7 Relaterte rater | Matematikk R1

Bruke derivasjon til å løse problemer der flere størrelser endrer seg samtidig.

55 min

10 oppgaver

Relaterte raterImplisitt derivasjonKjerneregelen i praksisGeometriske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.3Kjerneregelen 4.5Derivasjon av omvendte funksjoner

Hva er relaterte rater?

Relaterte rater er problemer der flere størrelser endrer seg med tiden, og disse størrelsene er knyttet sammen gjennom en ligning.

Typiske problemer:
- En ballong blåses opp – hvordan endres radiusen når volumet øker?
- En stige sklir ned en vegg – hvor fort beveger toppen seg?
- Vann fylles i en tank – hvor fort stiger vannstanden?

Nøkkelidé: Vi deriverer en ligning med hensyn på tid $t$ for å finne sammenhengen mellom endringsratene.

Fremgangsmåte for relaterte rater

\displaystyle \frac{d}{dt}

✏️Eksempel 1: Ballongen

En kuleformet ballong blåses opp slik at volumet øker med $100 \text{ cm}^3/\text{s}$ . Hvor fort øker radiusen når radiusen er $25$ cm?

Steg 1-2: Definer variabler
-

V

= volum av kule,

r

= radius
- Gitt:

\displaystyle \frac{dV}{dt} = 100

cm³/s
- Finn:

\displaystyle \frac{dr}{dt}

når

r = 25

Steg 3: Ligning som knytter $V$ og $r$
$V = \frac{4}{3}\pi r^3$

Steg 4: Deriver med hensyn på $t$
$\frac{dV}{dt} = \frac{4}{3}\pi \cdot 3r^2 \cdot \frac{dr}{dt} = 4\pi r^2 \frac{dr}{dt}$

Steg 5: Sett inn og løs
$100 = 4\pi (25)^2 \frac{dr}{dt}$
$\frac{dr}{dt} = \frac{100}{4\pi \cdot 625} = \frac{1}{25\pi} \approx 0{,}013 \text{ cm/s}$

Svar: Radiusen øker med ca. $0{,}013$ cm/s.

✏️Eksempel 2: Stigen

En 5 meter lang stige står mot en vegg. Bunnen av stigen sklir utover med $0{,}5$ m/s. Hvor fort synker toppen av stigen når bunnen er 3 meter fra veggen?

Steg 1-2: Definer variabler
-

x

= avstand fra vegg til bunnen av stigen
-

y

= høyde av stigens topp
- Gitt:

\displaystyle \frac{dx}{dt} = 0{,}5

m/s
- Finn:

\displaystyle \frac{dy}{dt}

når

x = 3

Steg 3: Ligning (Pytagoras)
$x^2 + y^2 = 25$

Når $x = 3$ : $y = \sqrt{25 - 9} = 4$ m

Steg 4: Deriver med hensyn på $t$
$2x\frac{dx}{dt} + 2y\frac{dy}{dt} = 0$

Steg 5: Sett inn og løs
$2(3)(0{,}5) + 2(4)\frac{dy}{dt} = 0$
$3 + 8\frac{dy}{dt} = 0$
$\frac{dy}{dt} = -\frac{3}{8} = -0{,}375 \text{ m/s}$

Svar: Toppen synker med $0{,}375$ m/s (negativt fortegn = synker).

✏️Eksempel 3: Kjegleformet tank

Vann renner inn i en kjegleformet tank med rate $2 \text{ m}^3/\text{min}$ . Kjeglen har høyde 6 m og radius 3 m på toppen. Hvor fort stiger vannstanden når vannet er 2 m dypt?

Steg 1-2: Definer variabler
-

h

= vannhøyde,

r

= vannradius
- Gitt:

\displaystyle \frac{dV}{dt} = 2

m³/min
- Finn:

\displaystyle \frac{dh}{dt}

når

h = 2

Steg 3: Ligninger
Fra likedannede trekanter: $\displaystyle \frac{r}{h} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ , så $\displaystyle r = \frac{h}{2}$

Volum av kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3}\pi \left(\frac{h}{2}\right)^2 h = \frac{\pi h^3}{12}$

Steg 4: Deriver med hensyn på $t$
$\frac{dV}{dt} = \frac{\pi}{12} \cdot 3h^2 \frac{dh}{dt} = \frac{\pi h^2}{4} \frac{dh}{dt}$

Steg 5: Sett inn og løs
$2 = \frac{\pi (2)^2}{4} \frac{dh}{dt} = \pi \frac{dh}{dt}$
$\frac{dh}{dt} = \frac{2}{\pi} \approx 0{,}64 \text{ m/min}$

Svar: Vannstanden stiger med ca. $0{,}64$ m/min.

📝Oppgave 1

Løs følgende relaterte rater-problemer.

En sirkulær oljelekkasje på havet utvider seg slik at arealet øker med $10 \text{ m}^2/\text{s}$ . Hvor fort øker radiusen når radiusen er 20 m?

En kube utvider seg slik at kantlengden øker med 2 cm/s. Hvor fort øker volumet når kantlengden er 10 cm?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

En person 1,8 m høy går bort fra en gatelykt som er 6 m høy, med hastighet 1,5 m/s.

Tegn figuren og finn en ligning som knytter personens avstand fra lykten ( $x$ ) til skyggens lengde ( $s$ ).

Hvor fort beveger skyggens spiss seg?

Løs oppgaven Tren

Husk hva $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ betyr!

Notasjonen $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ betyr "den deriverte av $V$ med hensyn på $t$ " – altså hvor fort $V$ endrer seg over tid.

Kjerneregelen er nøkkelen: Når du deriverer $x^2$ med hensyn på $t$ , må du bruke kjerneregelen:
$\frac{d}{dt}(x^2) = 2x \cdot \frac{dx}{dt}$

Vanlig feil: Mange glemmer faktoren $\displaystyle \frac{dx}{dt}$ og skriver bare $2x$ . Husk at $x$ selv endrer seg med tiden, så kjerneregelen gir alltid en ekstra faktor!

✏️Eksempel 4: Skygge på vegg

En lyskilde står på bakken og lyser oppover. En ball kastes rett opp, og skyggen av ballen vises på en vegg 10 meter fra lyskasteren. Ballens høyde er gitt ved $h(t) = 20t - 5t^2$ (i meter). Hvor fort beveger skyggen seg på veggen ved $t = 1$ s?

Steg 1-2: Definer variabler
-

h(t)

= ballens høyde over bakken
-

d

= ballens horisontale avstand fra lyskasteren
-

S

= skyggens høyde på veggen
- Gitt:

h(t) = 20t - 5t^2

, veggen er 10 m fra lyskasteren
- Finn:

\displaystyle \frac{dS}{dt}

når

t = 1

Forenkling: Vi antar at ballen kastes opp $d = 5$ m fra lyskasteren (altså midt mellom lyskaster og vegg).

Steg 3: Bruk likedannede trekanter
Fra likedannede trekanter:
$\frac{S}{10} = \frac{h}{d} \quad \Rightarrow \quad S = \frac{10h}{d} = \frac{10h}{5} = 2h$

Altså $S = 2h = 2(20t - 5t^2) = 40t - 10t^2$

Steg 4: Deriver med hensyn på $t$
$\frac{dS}{dt} = 40 - 20t$

Steg 5: Sett inn $t = 1$
$\frac{dS}{dt} = 40 - 20(1) = 20 \text{ m/s}$

Svar: Skyggen beveger seg oppover veggen med $20$ m/s ved $t = 1$ s.

Sjekk alltid enhetene!

Enheter i relaterte rater-problemer må være konsistente:
- Hvis radius er i cm og volum i cm³, da er $\displaystyle \frac{dV}{dt}$ i cm³/s og $\displaystyle \frac{dr}{dt}$ i cm/s
- Hvis avstand er i km og tid i timer, da er hastighet i km/t

Tips: Skriv alltid enheter i svaret ditt. Dette hjelper deg å sjekke om svaret gir mening, og det forventes på eksamen!

📝Oppgave 3

Løs følgende relaterte rater-problemer.

Et rektangel har areal $A = 100$ cm². Lengden $l$ øker med 3 cm/s. Hvor fort avtar bredden $b$ når $l = 20$ cm?

To biler kjører fra samme kryss. Bil A kjører nordover med 60 km/t, bil B kjører østover med 80 km/t. Hvor fort øker avstanden mellom bilene etter 30 minutter?

Vann renner ut av en halvkuleformet bolle med radius 10 cm. Vannvolumet er $\displaystyle V = \frac{\pi h^2(30-h)}{3}$ der $h$ er vannhøyden. Vannet renner ut med $2$ cm³/s. Hvor fort synker vannstanden når $h = 5$ cm?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Et fly flyr horisontalt i 2000 meters høyde med hastighet 500 km/t. En observatør på bakken ser opp mot flyet.

La $x$ være horisontal avstand mellom observatøren og punktet rett under flyet, og $\theta$ vinkelen observatøren ser opp. Finn en sammenheng mellom $x$ , $\theta$ og høyden.

Hvor fort endres vinkelen $\theta$ når flyet er rett over observatøren? (Bruk $\displaystyle \tan \theta = \frac{2000}{x}$ )

Oppsummering

Relaterte rater:
Problemer der flere variable endrer seg med tiden og er knyttet sammen.

Fremgangsmåte:
1. Tegn figur og definer variabler
2. Skriv ned gitt informasjon med $\displaystyle \frac{d}{dt}$ -notasjon
3. Finn ligning som kobler variablene
4. Deriver implisitt med hensyn på $t$
5. Sett inn verdier og løs

Vanlige formler:
- Sirkel: $A = \pi r^2$
- Kule: $\displaystyle V = \frac{4}{3}\pi r^3$
- Kjegle: $\displaystyle V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$
- Pytagoras: $a^2 + b^2 = c^2$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.