4.5 Derivasjon av omvendte funksjoner

Den deriverte til omvendte funksjoner.

50 min

10 oppgaver

Derivasjon av f^{-1}Implisitt derivasjonSammenheng mellom f og f^{-1}

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.4Produktregelen og kvotientregelen 2.2Omvendte funksjoner

Brukes videre i

4.7Relaterte rater

Omvendte funksjoner og derivasjon

Hvis $f$ er en funksjon med omvendt funksjon $f^{-1}$ , hvordan finner vi den deriverte til $f^{-1}$ ?

For eksempel vet vi at $e^x$ og $\ln x$ er omvendte funksjoner. Vi kjenner $(e^x)' = e^x$ , men hva er $(\ln x)'$ ?

I dette kapittelet utleder vi en generell formel for derivasjon av omvendte funksjoner.

Sammenhengen mellom $f$ og $f^{-1}$

Husk at $f$ og $f^{-1}$ er omvendte funksjoner betyr at:
- $f(f^{-1}(x)) = x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f^{-1}$
- $f^{-1}(f(x)) = x$ for alle $x$ i definisjonsmengden til $f$

Grafisk er $y = f^{-1}(x)$ en speiling av $y = f(x)$ om linjen $y = x$ .

📜Derivasjon av omvendt funksjon

f

være en deriverbar funksjon med omvendt funksjon

f^{-1}

. Hvis

f'(f^{-1}(x)) \neq 0

, så er

f^{-1}

deriverbar og

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Eller ekvivalent, hvis $y = f(x)$ :

$(f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

Utledning av formelen

Vi starter med likheten $f(f^{-1}(x)) = x$ .

Deriverer vi begge sider med hensyn på $x$ og bruker kjerneregelen:

$f'(f^{-1}(x)) \cdot (f^{-1})'(x) = 1$

Løser vi for $(f^{-1})'(x)$ :

$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

✏️Eksempel 1: Derivasjon av ln x

Bruk formelen for omvendte funksjoner til å utlede at $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ .

Løsning:

$\ln x$ er den omvendte funksjonen til $f(x) = e^x$ . Vi skriver $y = e^x$ , slik at $x = \ln y$ .

$f'(x) = e^x$

$(\ln y)' = (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{e^x} = \frac{1}{y}$

Vi bytter navn på variabelen fra $y$ til $x$ .

Svar: $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ for $x > 0$

✏️Eksempel 2: Derivasjon av

\sqrt{x}

Funksjonen $f(x) = x^2$ med $D_f = [0, \rightarrow\rangle$ har den omvendte funksjonen $f^{-1}(y) = \sqrt{y}$ . Bruk formelen for den deriverte av en omvendt funksjon til å vise at $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ for $x > 0$ .

Løsning:

Vi skriver $y = x^2$ med $x \geq 0$ , slik at $x = \sqrt{y}$ .

$f'(x) = 2x$

For $x > 0$ er $f'(x) \neq 0$ , og formelen gir

$(\sqrt{y})' = (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2\sqrt{y}}$

Vi bytter navn på variabelen fra $y$ til $x$ .

Svar: $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ for $x > 0$

I $x = 0$ er $f'(0) = 0$ . Grafen til $y = x^2$ har vannrett tangent i origo, og grafen til $y = \sqrt{x}$ har loddrett tangent der, så $\sqrt{x}$ er ikke deriverbar i $x = 0$ .

✏️Eksempel 3: Den deriverte til den omvendte funksjonen i et punkt

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = e^x + x$ . Vis at $f$ har en omvendt funksjon, og bestem $(f^{-1})^{\prime}(1)$ .

Løsning:

$f'(x) = e^x + 1 > 0 \text{ for alle } x$

$f$ er strengt voksende og dermed en-til-en, så $f$ har en omvendt funksjon.

Vi kan ikke løse $e^x + x = y$ for $x$ , men vi trenger bare den $x$ -verdien som gir $y = 1$ :

$f(0) = e^0 + 0 = 1, \quad \text{så } f^{-1}(1) = 0$

$(f^{-1})'(1) = \frac{1}{f'(0)} = \frac{1}{e^0 + 1} = \frac{1}{2}$

Svar: $\displaystyle (f^{-1})'(1) = \frac{1}{2}$

Deriverte vi har utledet

(\ln x)' = \frac{1}{x}, \quad x > 0

📝Oppgave 1

Bruk formelen $\displaystyle (f^{-1})^{\prime}(y) = \frac{1}{f^{\prime}(x)}$ , der $y = f(x)$ , til å finne den deriverte til den omvendte funksjonen. Uttrykk svaret ved $y$ .

f(x) = x^3

, som har den omvendte funksjonen

f^{-1}(y) = \sqrt[3]{y}

y \neq 0

f(x) = e^{2x}

. Finn også

f^{-1}(y)

og kontroller svaret ved å derivere

f^{-1}

direkte.

f(x) = 2^x

, som har den omvendte funksjonen

f^{-1}(y) = \log_2 y

Løs oppgaven

Fordypning: implisitt derivasjon

Implisitt derivasjon er ikke et eget kompetansemål i R1 og er fordypning.

Noen ganger er $y$ gitt implisitt som funksjon av $x$ gjennom en likning, uten at vi kan løse eksplisitt for $y$ .

Eksempel: $x^2 + y^2 = 1$ definerer $y$ implisitt som funksjon av $x$ .

Implisitt derivasjon lar oss finne $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ uten å løse for $y$ først.

Metode for implisitt derivasjon:

1. Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$
2. Husk at $y$ er en funksjon av $x$ , så bruk kjerneregelen: $\displaystyle \frac{d}{dx}(y^n) = ny^{n-1} \cdot \frac{dy}{dx}$
3. Samle alle ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ på én side
4. Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

✏️Eksempel 4: Implisitt derivasjon av sirkel

Gitt $x^2 + y^2 = 1$ , finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ ved implisitt derivasjon.

Løsning:

Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ :

$\frac{d}{dx}(x^2) + \frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(1)$

$2x + 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$

Løser for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :

$2y \cdot \frac{dy}{dx} = -2x$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$

Svar: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}$ (der $y \neq 0$ )

Tolkning: I punktet $\displaystyle (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ på sirkelen er stigningstallet $\displaystyle -\frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

✏️Eksempel 5: Implisitt derivasjon med produkt

Gitt $xy + y^2 = 1$ , finn $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

Løsning:

Vi deriverer begge sider med hensyn på $x$ :

For leddet $xy$ bruker vi produktregelen:
$\frac{d}{dx}(xy) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx}$

For leddet $y^2$ :
$\frac{d}{dx}(y^2) = 2y \cdot \frac{dy}{dx}$

Så vi får:
$y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

Samler ledd med $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ :
$(x + 2y)\frac{dy}{dx} = -y$

$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$

Svar: $\displaystyle \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x + 2y}$ (der $x + 2y \neq 0$ )

📝Oppgave 2

Bruk implisitt derivasjon til å finne $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ .

x^2 - y^2 = 4

x^3 + y^3 = 6xy

e^y + y = x^2

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Finn tangentens likning til kurven i det gitte punktet.

x^2 + y^2 = 25

i punktet

(3, 4)

xy = 6

i punktet

(2, 3)

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Utfordringsoppgaver med omvendte funksjoner.

La $f(x) = x^3 + x$ . Vis at $f$ har en omvendt funksjon, og finn $(f^{-1})'(2)$ .

La $g(x) = x + \ln x$ , $x > 0$ . Vis at $g$ har en omvendt funksjon, og finn $(g^{-1})^{\prime}(e + 1)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^3 + 2x - 1$ .

Vis at $f$ har en omvendt funksjon.

Bestem $(f^{-1})^{\prime}(2)$ .

Bestem likningen for tangenten til grafen til $f^{-1}$ i punktet $(2, 1)$ .

Løs oppgaven

Oppsummering

Derivasjon av omvendt funksjon:
$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))}$

Med $y = f(x)$ : $\displaystyle (f^{-1})'(y) = \frac{1}{f'(x)}$

Utledet med formelen:
- $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ , som omvendt av $e^x$
- $\displaystyle (\sqrt{x})' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$ , som omvendt av $x^2$ med $x \geq 0$

Implisitt derivasjon:
- Deriver begge sider av likningen med hensyn på $x$
- Husk at $\displaystyle \frac{d}{dx}(y) = \frac{dy}{dx}$ (kjerneregel)
- Løs for $\displaystyle \frac{dy}{dx}$

Gjør dette i GeoGebra

Omvendte funksjoner

Grafen til

f(x) = e^x

f^{-1}(x) = \ln x

, speilet om

y = x

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = exp(x)
g(x) = ln(x)
h(x) = x

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Omvendte funksjoner og derivasjon

Sammenhengen mellom fff og f−1f^{-1}f−1

Utledning av formelen

Fordypning: implisitt derivasjon

Oppsummering

Omvendte funksjoner

Sammenhengen mellom $f$ og $f^{-1}$