4.4 Produktregelen og kvotientregelen | Matematikk R1

Derivasjon av produkter og brøker av funksjoner.

55 min

11 oppgaver

ProduktregelenKvotientregelenKombinasjon med kjerneregelen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.3Kjerneregelen

Brukes videre i

4.5Derivasjon av omvendte funksjoner 4.6Funksjonsdrøfting

Derivasjon av produkter og brøker

Når vi har funksjoner som er produkter eller brøker av andre funksjoner, kan vi ikke bare derivere hver faktor for seg. Vi trenger spesielle regler: produktregelen og brøkregelen.

I dette kapittelet lærer du:
- Hvordan derivere et produkt av to funksjoner
- Hvordan derivere en brøk av to funksjoner
- Hvordan kombinere disse reglene med kjerneregelen

Produktregelen

Hvis $h(x) = f(x) \cdot g(x)$ , kan vi ikke derivere ved å gange de deriverte: $h'(x) \neq f'(x) \cdot g'(x)$ .

For eksempel: La $h(x) = x \cdot x = x^2$ . Da er $h'(x) = 2x$ .
Men $f(x) = x$ og $g(x) = x$ gir $f'(x) \cdot g'(x) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 2x$ .

Vi trenger produktregelen. Vi utleder den fra definisjonen av den deriverte og legger til og trekker fra $f(x+\Delta x)\,g(x)$ i telleren:

$\frac{h(x+\Delta x) - h(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+\Delta x)\,g(x+\Delta x) - f(x+\Delta x)\,g(x) + f(x+\Delta x)\,g(x) - f(x)\,g(x)}{\Delta x}$

$= f(x+\Delta x) \cdot \frac{g(x+\Delta x) - g(x)}{\Delta x} + \frac{f(x+\Delta x) - f(x)}{\Delta x} \cdot g(x)$

Når $\Delta x \to 0$ , går $f(x + \Delta x) \to f(x)$ , fordi en deriverbar funksjon er kontinuerlig. De to brøkene går mot $g'(x)$ og $f'(x)$ :

$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

📜Produktregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner, så er produktet

h(x) = f(x) \cdot g(x)

også deriverbart, og

$(f \cdot g)'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

Kort skrevet: $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Huskeregel: «Derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre»

✏️Eksempel 1: Produktregelen

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x$ .

Løsning:

Vi identifiserer faktorene:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Produktregelen gir:
$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
$h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$

Vi faktoriserer ut $e^x$ :
$h'(x) = e^x(2x + x^2) = e^x \cdot x(2 + x)$

Svar: $h'(x) = (x^2 + 2x)e^x$

✏️Eksempel 2: Produkt med logaritme

Deriver $h(x) = (x + 1) \cdot \ln x$ .

Løsning:

- $f(x) = x + 1 \Rightarrow f'(x) = 1$
- $\displaystyle g(x) = \ln x \Rightarrow g'(x) = \frac{1}{x}$

$h'(x) = 1 \cdot \ln x + (x + 1) \cdot \frac{1}{x}$
$h'(x) = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$

✏️Eksempel 3: Produkt av tre funksjoner

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \ln x$ .

Løsning:

For tre faktorer $f \cdot g \cdot k$ kan vi bruke produktregelen to ganger:
$(f \cdot g \cdot k)' = f' \cdot g \cdot k + f \cdot g' \cdot k + f \cdot g \cdot k'$

Med $f(x) = x^2$ , $g(x) = e^x$ , $k(x) = \ln x$ :
- $f'(x) = 2x$
- $g'(x) = e^x$
- $\displaystyle k'(x) = \frac{1}{x}$

$h'(x) = 2x \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \ln x + x^2 \cdot e^x \cdot \frac{1}{x}$

$h'(x) = x e^x \left(2\ln x + x \ln x + 1\right)$

Svar: $h'(x) = xe^x(2\ln x + x\ln x + 1)$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene ved hjelp av produktregelen.

f(x) = x \cdot e^x

g(x) = x^3 \cdot \ln x

h(x) = (x+1) \cdot e^x

k(x) = e^x \cdot \ln x

Løs oppgaven

Brøkregelen

Når vi skal derivere en brøk $\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ , bruker vi brøkregelen. Denne regelen er litt mer komplisert enn produktregelen, men følger et liknende mønster. Den følger av produktregelen og kjerneregelen, og det viser du i oppgaven etter regelen.

📜Brøkregelen

Hvis

f

g

er deriverbare funksjoner og

g(x) \neq 0

, så er brøken

\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}

deriverbar, og

$\left(\frac{f}{g}\right)'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

Kort skrevet: $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Huskeregel: «Derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre»

📝Oppgave Vis at

Vis at brøkregelen følger av produktregelen og kjerneregelen. Skriv $\displaystyle \frac{f}{g} = f \cdot g^{-1}$ .

Viktig: I brøkregelen er det minus i telleren, ikke pluss som i produktregelen. Pass på rekkefølgen: det er

f' \cdot g - f \cdot g'

, ikke omvendt!

✏️Eksempel 4: Brøkregelen

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{e^x}$ .

Løsning:

Vi identifiserer teller og nevner:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^x \Rightarrow g'(x) = e^x$

Brøkregelen gir:
$h'(x) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$

$h'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2}$

$h'(x) = \frac{e^x(2x - x^2)}{e^{2x}} = \frac{2x - x^2}{e^x}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{x(2-x)}{e^x}$

✏️Eksempel 5: Brøk med eksponentialfunksjoner

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{e^x}{e^x + 1}$ .

Løsning:

- $f(x) = e^x \Rightarrow f'(x) = e^x$
- $g(x) = e^x + 1 \Rightarrow g'(x) = e^x$

$h'(x) = \frac{e^x(e^x + 1) - e^x \cdot e^x}{(e^x + 1)^2}$
$h'(x) = \frac{e^{2x} + e^x - e^{2x}}{(e^x + 1)^2} = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

Siden $h'(x) > 0$ for alle $x$ , er $h$ voksende.

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{e^x}{(e^x + 1)^2}$

📝Oppgave 2

Deriver funksjonene ved hjelp av brøkregelen.

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x+1}

\displaystyle g(x) = \frac{e^x}{x}

\displaystyle h(x) = \frac{\ln x}{x}

\displaystyle k(x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}

Løs oppgaven

Kombinasjon med kjerneregelen

Ofte må vi kombinere produktregelen eller brøkregelen med kjerneregelen. Dette skjer når en av faktorene selv er en sammensatt funksjon.

Kjerneregelen: $(f(g(x)))' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

✏️Eksempel 6: Produktregel + kjerneregel

Deriver $h(x) = x^2 \cdot e^{3x}$ .

Løsning:

Vi har et produkt der den ene faktoren er sammensatt:
- $f(x) = x^2 \Rightarrow f'(x) = 2x$
- $g(x) = e^{3x}$ (sammensatt funksjon)

For $g(x) = e^{3x}$ bruker vi kjerneregelen:
- Ytre funksjon: $e^u$ med derivert $e^u$
- Indre funksjon: $u = 3x$ med derivert $3$
- $g'(x) = e^{3x} \cdot 3 = 3e^{3x}$

Produktregelen gir:
$h'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x}$
$h'(x) = e^{3x}(2x + 3x^2)$

Svar: $h'(x) = xe^{3x}(2 + 3x)$

✏️Eksempel 7: Brøkregel + kjerneregel

Deriver $\displaystyle h(x) = \frac{\ln(x^2 + 1)}{x}$ .

Løsning:

La $f(x) = \ln(x^2 + 1)$ og $g(x) = x$ .

For $f(x)$ bruker vi kjerneregelen:
$f'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = \frac{2x}{x^2 + 1}$

$g'(x) = 1$

Brøkregelen gir:
$h'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2+1} \cdot x - \ln(x^2+1) \cdot 1}{x^2}$

$h'(x) = \frac{\frac{2x^2}{x^2+1} - \ln(x^2+1)}{x^2}$

$h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$

📝Oppgave 3

Deriver ved å kombinere reglene.

f(x) = x \cdot e^{2x}

g(x) = (x^2 + 1) \cdot e^{-x}

\displaystyle h(x) = \frac{e^{2x}}{x+1}

Løs oppgaven

Når bruke hvilken regel?

Det kan være forvirrende å vite hvilken derivasjonsregel man skal bruke. Her er en enkel sjekkliste:

Sjekkliste for derivasjon:

1. Enkle funksjoner: Bruk standardregler direkte
- $x^n$ , $e^x$ , $a^x$ , $\ln x$

2. Sammensatt funksjon (funksjon av funksjon): Bruk kjerneregelen
- Eksempel: $e^{x^2}$ , $(2x + 1)^5$ , $\ln(x^2+1)$

3. Produkt av to funksjoner: Bruk produktregelen
- Eksempel: $x \cdot e^x$ , $x^2 \cdot \ln x$

4. Brøk av to funksjoner: Bruk brøkregelen
- Eksempel: $\displaystyle \frac{x}{e^x}$ , $\displaystyle \frac{\ln x}{x}$

Tips: Noen ganger kan du omskrive uttrykket for å gjøre det enklere:
- $\displaystyle \frac{1}{x^2} = x^{-2}$ (potensregel)
- $\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}} = e^{-x}$ (forenkle først)

📝Oppgave 4

Deriver funksjonene. Velg selv riktig metode.

f(x) = \sqrt{x} \cdot \ln x

\displaystyle g(x) = \frac{x^2}{\ln x}

h(x) = (x^2 - 2x + 2) \cdot e^x

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Utfordringsoppgaver.

Deriver $\displaystyle f(x) = \frac{x \cdot e^x}{x + 1}$

Vis at $\displaystyle g'(x) = \frac{2e^{2x}(x^2 - x + 1)}{(x^2 + 1)^2}$ når $\displaystyle g(x) = \frac{e^{2x}}{x^2 + 1}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 6

Finn tangentens likning i det gitte punktet.

f(x) = x \cdot e^x

i punktet

(0, 0)

\displaystyle g(x) = \frac{x}{x+1}

i punktet

\displaystyle (1, \frac{1}{2})

Løs oppgaven

Oppsummering

Produktregelen:
$(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$

Brøkregelen:
$\left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$

Viktige poenger:
- I produktregelen adderer vi to ledd
- I brøkregelen har vi minus i telleren (pass på rekkefølgen!)
- Kombiner med kjerneregelen når faktorene er sammensatte funksjoner
- Vurder alltid om du kan forenkle uttrykket før du deriverer

Gjør dette i GeoGebra

Produktregel visualisert

Grafen til

f(x) = x \cdot e^x

og dens deriverte.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x * exp(x)
g(x) = Derivative(f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.