4.4 Produktregelen og kvotientregelen

Fellen alle går i

Her er en felle nesten alle går i minst én gang: du skal derivere et produkt, som $x^2 \cdot e^x$, og tenker «jeg deriverer bare hver faktor for seg og ganger sammen». Det høres fornuftig ut – men det er feil, og vi kan bevise det med verdens enkleste eksempel.

La $h(x) = x \cdot x$. Det er jo bare $x^2$, så vi vet at $h'(x) = 2x$. Men deriverer vi hver faktor for seg og ganger, får vi $1 \cdot 1 = 1$. Og $1$ er definitivt ikke $2x$. Altså: $(f \cdot g)' \neq f' \cdot g'$. Produkter og brøker av funksjoner trenger sine egne regler.

I dette kapittelet fullfører vi derivasjonsverktøykassa med de to siste store reglene: produktregelen for funksjoner som ganges sammen, og kvotientregelen for funksjoner som deles på hverandre. Du lærer også å kombinere dem med kjerneregelen fra forrige kapittel – og, kanskje viktigst av alt, å se raskt hvilken regel en gitt funksjon krever. Når dette kapittelet er fordøyd, finnes det knapt en funksjon i R1-pensumet du ikke kan derivere.

Produktregelen: begge får derivere – etter tur

Produktregelen lyder: hvis $h(x) = f(x) \cdot g(x)$, så er $(f \cdot g)' = f' \cdot g + f \cdot g'$. Huskeregelen er en liten regle: derivert av første ganger andre, pluss første ganger derivert av andre. Hver faktor får sin tur til å bli derivert, mens den andre står og ser på – og så summerer vi.

La oss derivere $h(x) = x^2 \cdot e^x$. Vi setter $f(x) = x^2$ med $f'(x) = 2x$, og $g(x) = e^x$ med $g'(x) = e^x$. Regelen gir $h'(x) = 2x \cdot e^x + x^2 \cdot e^x$. Faktoriserer vi ut $e^x$, blir svaret ryddig: $h'(x) = (x^2 + 2x)e^x = x(x+2)e^x$. Å faktorisere svaret slik er god vane – det blir gull verdt når vi senere skal finne ut hvor den deriverte er null.

Et eksempel med trigonometri: $h(x) = x \cdot \sin x$. Med $f(x) = x$, $f'(x) = 1$ og $g(x) = \sin x$, $g'(x) = \cos x$ får vi $h'(x) = \sin x + x\cos x$.

Hva om det er tre faktorer, som $h(x) = x^2 \cdot e^x \cdot \ln x$? Da bruker vi produktregelen to ganger, og mønsteret generaliserer vakkert: $(f \cdot g \cdot k)' = f' g k + f g' k + f g k'$ – hver faktor deriveres etter tur mens de andre venter. Med $f' = 2x$, $g' = e^x$ og $\displaystyle k' = \frac{1}{x}$ blir summen $\displaystyle 2x e^x \ln x + x^2 e^x \ln x + x^2 e^x \cdot \frac{1}{x}$, som kan samles til $xe^x(2\ln x + x\ln x + 1)$.

Kvotientregelen: pass på minusen

Brøker av funksjoner får sin egen regel. Hvis $\displaystyle h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ og $g(x) \neq 0$, så er $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$. Reglen ligner produktregelen, men med to viktige forskjeller: det er minus i telleren, ikke pluss – og hele uttrykket deles på nevneren i andre. Huskeregelen: derivert av teller ganger nevner, minus teller ganger derivert av nevner, delt på nevner i andre. Og fordi det er minus der, spiller rekkefølgen rolle: det er $f'g - fg'$, aldri omvendt.

La oss prøve på $\displaystyle h(x) = \frac{x^2}{e^x}$. Teller: $f(x) = x^2$, $f'(x) = 2x$. Nevner: $g(x) = e^x$, $g'(x) = e^x$. Regelen gir $\displaystyle h'(x) = \frac{2x \cdot e^x - x^2 \cdot e^x}{(e^x)^2}$. Faktoriserer vi ut $e^x$ i telleren og forkorter mot nevneren $e^{2x}$, lander vi på $\displaystyle h'(x) = \frac{2x - x^2}{e^x} = \frac{x(2-x)}{e^x}$.

Kvotientregelen gir oss også en perle på kjøpet: den deriverte av tangens. Vi skriver $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ og deriverer: $\displaystyle \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x}$. Og siden $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ – den trigonometriske identiteten over alle – får vi det elegante resultatet $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, som også kan skrives $1 + \tan^2 x$. Et halvt minutt med kvotientregelen, og en helt ny derivasjonsformel er født.

Når reglene jobber sammen

I virkeligheten kommer funksjonene sjelden i rene kategorier. Ofte er en av faktorene i et produkt selv en sammensatt funksjon – og da må produktregelen og kjerneregelen samarbeide.

Ta $h(x) = x^2 \cdot e^{3x}$. Dette er et produkt, så vi starter med produktregelen. Men når vi skal derivere faktoren $e^{3x}$, trengs kjerneregelen: kjernen $3x$ har derivert 3, så $(e^{3x})' = 3e^{3x}$. Produktregelen gir dermed $h'(x) = 2x \cdot e^{3x} + x^2 \cdot 3e^{3x} = e^{3x}(2x + 3x^2) = xe^{3x}(2 + 3x)$.

Samme historie med brøker. For $\displaystyle h(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$ deriverer vi telleren med kjerneregelen: $\displaystyle (\ln(x^2+1))' = \frac{2x}{x^2+1}$. Kvotientregelen gir så $\displaystyle h'(x) = \frac{\frac{2x}{x^2+1} \cdot x - \ln(x^2+1) \cdot 1}{x^2}$, som kan ryddes til $\displaystyle \frac{2x^2 - (x^2+1)\ln(x^2+1)}{x^2(x^2+1)}$.

Hvordan vet du hvilken regel du skal gripe til? Still deg spørsmålet: hva er den ytterste strukturen i uttrykket? Er det en enkel standardfunksjon som $x^n$, $e^x$, $\ln x$ eller $\sin x$, bruker du standardreglene direkte. Er det en funksjon inni en funksjon, som $e^{x^2}$ eller $\sin(3x)$ – kjerneregelen. Er det to funksjoner ganget sammen, som $x \cdot e^x$ – produktregelen. Er det en brøk av to funksjoner, som $\displaystyle \frac{\sin x}{x}$ – kvotientregelen. Og før du velger i det hele tatt: sjekk om uttrykket kan forenkles! $\displaystyle \frac{1}{x^2}$ er raskere som $x^{-2}$ med potensregelen, og $\displaystyle \frac{e^x}{e^{2x}}$ bør forenkles til $e^{-x}$ før du rører en eneste regel.

Verktøykassa er komplett

Med dette kapittelet har du de fire store derivasjonsreglene samlet. Produktregelen, $(f \cdot g)' = f'g + fg'$, lar hver faktor bli derivert etter tur – og for tre faktorer fortsetter mønsteret med tre ledd. Kvotientregelen, $\displaystyle \left(\frac{f}{g}\right)' = \frac{f'g - fg'}{g^2}$, håndterer brøker – med den lumske minusen i telleren der rekkefølgen $f'g - fg'$ er hellig. Som bonus ga den oss $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$.

Du har også sett reglene samarbeide: når en faktor eller teller selv er sammensatt, som i $x^2 e^{3x}$ eller $\displaystyle \frac{\ln(x^2+1)}{x}$, går kjerneregelen inn som hjelpemotor i produkt- eller kvotientregelen.

Det viktigste grepet er likevel blikket: se på uttrykkets ytterste struktur. Standardfunksjon? Direkte regel. Funksjon i funksjon? Kjerneregel. Produkt? Produktregel. Brøk? Kvotientregel. Og aller først – kan uttrykket forenkles, slik at du slipper de tunge reglene helt?

Husk fellen vi startet med: $(f \cdot g)' \neq f' \cdot g'$. Nå vet du ikke bare at det er feil, men nøyaktig hva som er riktig i stedet. Herfra skal derivasjonen settes i arbeid – på funksjonsdrøfting, optimering og alt det den deriverte egentlig ble oppfunnet for.