5.1 Eksponentiell vekst | Matematikk R1

Modellere eksponentiell vekst og nedgang.

55 min

12 oppgaver

Eksponentiell vekstVekstfaktorHalvveringstidDoblingstid

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

1.3Eksponential- og logaritmeligninger 4.3Kjerneregelen

Brukes videre i

5.2Logistisk vekst 5.3Modellering med reelle datasett

Hva er eksponentiell vekst?

Eksponentiell vekst oppstår når en størrelse vokser med en fast prosent per tidsenhet. Dette er fundamentalt forskjellig fra lineær vekst, der størrelsen vokser med et fast beløp.

Eksponentiell vekst finnes overalt:
- Befolkningsvekst i land med høy fødselsrate
- Rentes rente på bankinnskudd
- Bakterievekst under ideelle forhold
- Spredning av virusinfeksjoner i tidlig fase

I dette kapitlet skal vi lære å modellere slik vekst matematisk og bruke modellene til å gjøre prediksjoner.

Den eksponentielle vekstmodellen

Det finnes to vanlige måter å skrive eksponentiell vekst på, avhengig av om vi bruker vekstfaktor eller kontinuerlig vekstrate.

Eksponentiell vekst med vekstfaktor

N(t)

Eksponentiell vekst med kontinuerlig vekstrate

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

Sammenheng mellom de to formene:

De to formene er ekvivalente med sammenhengen:
$a = e^k \quad \text{eller} \quad k = \ln a$

Hvis vekstfaktoren er $a = 1{,}05$ (5% vekst per år), er den kontinuerlige vekstraten:
$k = \ln(1{,}05) \approx 0{,}0488 \approx 4{,}88\%$

✏️Eksempel 1: Befolkningsvekst

I 2020 hadde et land 10 millioner innbyggere. Befolkningen vokser med 2% per år.

a) Sett opp en modell for befolkningen $N(t)$ der $t$ er antall år etter 2020.
b) Hva blir befolkningen i 2030?
c) Skriv modellen på formen $N(t) = N_0 \cdot e^{kt}$ .

Løsning:

a) Med 2% vekst per år er vekstfaktoren $a = 1 + 0{,}02 = 1{,}02$ .

$N(t) = 10 \cdot 1{,}02^t \text{ millioner}$

b) I 2030 er $t = 10$ :
$N(10) = 10 \cdot 1{,}02^{10} \approx 10 \cdot 1{,}219 \approx 12{,}2 \text{ millioner}$

c) Vi finner $k$ :
$k = \ln(1{,}02) \approx 0{,}0198$

Modellen blir:
$N(t) = 10 \cdot e^{0{,}0198t}$

Vekstfaktor og prosentvis vekst

Når vi snakker om prosentvis vekst, er det viktig å skille mellom vekstrate (prosenten) og vekstfaktor (det vi ganger med).

📜Vekstfaktor og vekstrate

Hvis en størrelse vokser med $p\%$ per tidsenhet, er:

Vekstraten: $\displaystyle r = \frac{p}{100}$

Vekstfaktoren: $\displaystyle a = 1 + r = 1 + \frac{p}{100}$

Eksempler:
- 5% vekst: $a = 1{,}05$
- 3% nedgang: $a = 1 - 0{,}03 = 0{,}97$
- 12% vekst: $a = 1{,}12$

✏️Eksempel 2: Vekstfaktor og prosent

a) Et innskudd gir 3,5% rente per år. Hva er vekstfaktoren?
b) En bilverdi synker med 15% per år. Hva er vekstfaktoren?
c) En vekstfaktor er $a = 1{,}08$ . Hva er den prosentvise veksten?

Løsning:

a) 3,5% vekst gir vekstfaktor:
$a = 1 + 0{,}035 = 1{,}035$

b) 15% nedgang gir vekstfaktor:
$a = 1 - 0{,}15 = 0{,}85$

c) Fra $a = 1{,}08 = 1 + 0{,}08$ får vi:
$p = 0{,}08 \cdot 100 = 8\%$

Den prosentvise veksten er 8%.

📝Oppgave 1

Finn vekstfaktoren $a$ for hver situasjon.

4% vekst per år

7% nedgang per år

Dobling hvert år

0,5% vekst per måned

Halvering hvert år

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Sett opp en eksponentiell modell $N(t) = N_0 \cdot a^t$ for hver situasjon.

Et innskudd på 50 000 kr med 4% rente per år. $t$ = år.

En by med 100 000 innbyggere og 1,5% årlig vekst. $t$ = år.

En bakteriekultur starter med 1000 bakterier og dobles hver time. $t$ = timer.

En bil til 400 000 kr som synker 12% i verdi per år. $t$ = år.

Løs oppgaven Tren

Doblingstid

Et viktig kjennetegn ved eksponentiell vekst er at doblingstiden er konstant. Uansett når vi starter, tar det like lang tid for størrelsen å doble seg.

📜Formel for doblingstid

For eksponentiell vekst

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

med

k > 0

er doblingstiden:

$t_2 = \frac{\ln 2}{k}$

Med vekstfaktor $a$ per tidsenhet:
$t_2 = \frac{\ln 2}{\ln a}$

Merk: $\ln 2 \approx 0{,}693$

Utledning av doblingstidsformelen

Vi vil finne tiden

t_2

det tar før

N(t_2) = 2 \cdot N_0

$N_0 \cdot e^{kt_2} = 2 \cdot N_0$
$e^{kt_2} = 2$
$kt_2 = \ln 2$
$t_2 = \frac{\ln 2}{k}$

∎

✏️Eksempel 3: Beregne doblingstid

En befolkning vokser med 3% per år.

a) Hva er doblingstiden?
b) Hvor mange ganger vil befolkningen doble seg på 100 år?

Løsning:

a) Vekstfaktoren er $a = 1{,}03$ , så $k = \ln(1{,}03) \approx 0{,}0296$ .

$t_2 = \frac{\ln 2}{k} = \frac{0{,}693}{0{,}0296} \approx 23{,}4 \text{ år}$

Doblingstiden er ca. 23 år.

b) På 100 år:
$\frac{100}{23{,}4} \approx 4{,}3$

Befolkningen vil doble seg omtrent 4 ganger, altså bli ca. $2^4 = 16$ ganger så stor.

Kontroll: $1{,}03^{100} \approx 19{,}2$ ✓

Tommelfingerregel for doblingstid (72-regelen):

For små vekstrater gir denne tilnærmingen et godt estimat:

$t_2 \approx \frac{72}{p}$

der $p$ er vekstraten i prosent.

Eksempel: 6% vekst gir doblingstid ca. $\displaystyle \frac{72}{6} = 12$ år.

Denne regelen er spesielt populær i økonomi og finans.

📝Oppgave 3

Beregn doblingstiden.

Årlig vekst på 5%

Kontinuerlig vekstrate $k = 0{,}02$

Bakteriekultur som tredobles på 4 timer

En størrelse som vokser fra 100 til 400 på 10 år

Løs oppgaven Tren

Halveringstid

Når vi har eksponentiell avtagning ( $k < 0$ ), snakker vi om halveringstid i stedet for doblingstid. Dette er spesielt viktig i radioaktiv nedbrytning.

📜Formel for halveringstid

For eksponentiell avtagning

N(t) = N_0 \cdot e^{-|k|t}

er halveringstiden:

$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$

Merk: Formelen er identisk med doblingstid, men brukes når $k < 0$ .

✏️Eksempel 4: Radioaktiv nedbrytning

Karbon-14 har halveringstid på 5730 år og brukes til å datere arkeologiske funn.

a) Finn den kontinuerlige nedbrytningsraten $k$ .
b) Et funn inneholder 25% av den opprinnelige mengden C-14. Hvor gammelt er funnet?
c) Sett opp en formel for mengden C-14 som funksjon av tid.

Løsning:

a) Fra halveringstidsformelen:
$t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|} \Rightarrow |k| = \frac{\ln 2}{t_{1/2}} = \frac{0{,}693}{5730} \approx 0{,}000121$

Siden det er nedbrytning: $k \approx -0{,}000121$ per år.

b) Vi løser $N(t) = 0{,}25 \cdot N_0$ :
$N_0 \cdot e^{kt} = 0{,}25 \cdot N_0$
$e^{kt} = 0{,}25$
$kt = \ln(0{,}25) = \ln\left(\frac{1}{4}\right) = -\ln 4$
$t = \frac{-\ln 4}{k} = \frac{\ln 4}{0{,}000121} \approx 11\,460 \text{ år}$

Alternativt: 25% = $\displaystyle (\frac{1}{2})^2$ , så det har gått 2 halveringstider: $2 \cdot 5730 = 11\,460$ år.

c) Modellen blir:
$N(t) = N_0 \cdot e^{-0{,}000121t}$
eller
$N(t) = N_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/5730}$

📝Oppgave 4

Løs oppgavene om halveringstid.

Et radioaktivt stoff har halveringstid 10 dager. Finn nedbrytningsraten $k$ .

Hvor mye er igjen av stoffet i a) etter 30 dager?

Jod-131 har halveringstid 8 dager. Hvor lang tid tar det før kun 10% er igjen?

En medisin har halveringstid 4 timer. Du tar 400 mg. Hvor mye er i kroppen etter 10 timer?

Løs oppgaven Tren

Derivasjon av eksponentiell vekst

En viktig egenskap ved eksponentiell vekst er at den deriverte er proporsjonal med funksjonen selv. Dette er nettopp det som kjennetegner eksponentiell vekst!

📜Derivasjon av eksponentiell funksjon

For

N(t) = N_0 \cdot e^{kt}

gjelder:

$N'(t) = k \cdot N_0 \cdot e^{kt} = k \cdot N(t)$

Tolkning: Veksthastigheten $N'(t)$ er alltid en fast andel $k$ av nåværende verdi $N(t)$ .

For $f(t) = N_0 \cdot a^t$ :
$f'(t) = N_0 \cdot a^t \cdot \ln a = f(t) \cdot \ln a$

✏️Eksempel 5: Veksthastighet

Befolkningen i et land modelleres med $N(t) = 5 \cdot e^{0{,}02t}$ millioner, der $t$ er år etter 2020.

a) Finn $N'(t)$ og forklar hva den representerer.
b) Hvor raskt vokser befolkningen i 2025?
c) Hvor stor prosentandel av befolkningen er den årlige veksten?

Løsning:

a) $N'(t) = 0{,}02 \cdot 5 \cdot e^{0{,}02t} = 0{,}1 \cdot e^{0{,}02t}$

$N'(t)$ representerer veksthastigheten, altså hvor mange millioner mennesker befolkningen øker med per år.

b) I 2025 er $t = 5$ :
$N'(5) = 0{,}1 \cdot e^{0{,}02 \cdot 5} = 0{,}1 \cdot e^{0{,}1} \approx 0{,}1 \cdot 1{,}105 \approx 0{,}11$

Befolkningen vokser med ca. 110 000 mennesker per år i 2025.

c) Den relative veksthastigheten er:
$\frac{N'(t)}{N(t)} = \frac{0{,}02 \cdot N(t)}{N(t)} = 0{,}02 = 2\%$

Den årlige veksten er alltid 2% av befolkningen (dette er konstant for eksponentiell vekst).

📝Oppgave 5

Deriver funksjonene og finn veksthastigheten ved angitt tidspunkt.

N(t) = 1000 \cdot e^{0{,}05t}

. Finn

N'(t)

N'(10)

P(t) = 200 \cdot 1{,}03^t

. Finn

P'(t)

P'(5)

A(t) = 500 \cdot e^{-0{,}1t}

(nedbrytning). Finn

A'(t)

A'(0)

📊Eksponentiell vekst

Utforsk eksponentiell vekst. Bruk glidebryterne til å endre startverdien $N_0$ og vekstraten $k$ .

Praktiske anvendelser

Eksponentiell vekst brukes i mange praktiske sammenhenger. La oss se på noen viktige eksempler.

✏️Eksempel 6: Rentes rente

Du setter inn 100 000 kr i en sparekonto med 5% årlig rente.

a) Hvor mye har du etter 20 år?
b) Hvor lang tid tar det før innskuddet er doblet?
c) Sammenlign med et innskudd med 3% rente. Hvor mye mer får du med 5% etter 30 år?

Løsning:

a) Med vekstfaktor $a = 1{,}05$ :
$N(20) = 100\,000 \cdot 1{,}05^{20} \approx 100\,000 \cdot 2{,}653 \approx 265\,300 \text{ kr}$

b) Doblingstid:
$t_2 = \frac{\ln 2}{\ln(1{,}05)} = \frac{0{,}693}{0{,}0488} \approx 14{,}2 \text{ år}$

c) Med 5% etter 30 år: $100\,000 \cdot 1{,}05^{30} \approx 432\,200$ kr

Med 3% etter 30 år: $100\,000 \cdot 1{,}03^{30} \approx 242\,700$ kr

Differanse: $432\,200 - 242\,700 = 189\,500$ kr

Konklusjon: 2 prosentpoeng høyere rente gir nesten dobbelt så mye etter 30 år!

📝Oppgave 6

Løs de praktiske oppgavene.

Du låner 500 000 kr med 6% rente. Hvor mye skylder du etter 5 år uten nedbetaling?

En bakteriekultur dobles hver 20. minutt. Starter med 100 bakterier. Hvor mange etter 2 timer?

Verdensbefolkningen var 6 milliarder i 2000 og vokser ca. 1,1% per år. Når passerer vi 10 milliarder?

Et legemiddel har halveringstid 6 timer. Du tar 200 mg. Når er det mindre enn 10 mg igjen?

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Eksponentiell vekstmodell:
$N(t) = N_0 \cdot a^t = N_0 \cdot e^{kt}$

der $a = e^k$ og $k = \ln a$ .

Vekstfaktor: $a = 1 + r$ for vekstrate $r$ (fra $p\%$ : $r = p/100$ )

Doblingstid: $\displaystyle t_2 = \frac{\ln 2}{k} = \frac{\ln 2}{\ln a}$

Halveringstid: $\displaystyle t_{1/2} = \frac{\ln 2}{|k|}$ (for $k < 0$ )

Derivasjon: $(N_0 \cdot e^{kt})' = k \cdot N_0 \cdot e^{kt}$

Viktig egenskap: $N'(t) = k \cdot N(t)$ - veksthastigheten er proporsjonal med verdien

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.