5.3 Modellering med reelle datasett

Datasett A (App-brukere):
- Vekstfaktoren fra uke til uke er $\displaystyle \frac{6}{2} = 3$, $\displaystyle \frac{18}{6} = 3$, $\displaystyle \frac{50}{18} \approx 2{,}8$, $\displaystyle \frac{120}{50} = 2{,}4$ og $\displaystyle \frac{200}{120} \approx 1{,}7$.
- De første ukene er veksten tilnærmet eksponentiell, med vekstfaktor ca. 3.
- Deretter avtar vekstfaktoren, selv om økningen i antall (70 og 80 tusen) fortsatt er stor.

Konklusjon: En logistisk modell passer best: veksten starter eksponentielt, og den prosentvise veksten avtar. Kurven har ennå ikke begynt å flate ut, så bæreevnen blir usikker med bare disse seks målingene.

Datasett B (Temperatur):
- Økning per måned: +2, +5, +5, +5, +4
- Relativt jevn økning, lineær-lignende
- Men temperaturer følger ofte en sinuskurve over hele året

Konklusjon: Lineær modell for denne perioden (vår), men en sinusmodell ville vært bedre for hele året.

Dataene gir omtrent:
$$N(t) = 50{,}0 \cdot 1{,}030^t$$

$R^2 \approx 0{,}9999$ (svært god tilpasning)

Svar: $N(t) = 50{,}0 \cdot 1{,}030^t$

b) Vekstfaktoren er $b = 1{,}030$, som betyr:
$$\text{Årlig vekstrate} = 1{,}030 - 1 = 0{,}030 = 3{,}0\,\%$$

Svar: $3{,}0\,\%$ per år

c) For 2030 er $t = 30$:
$$N(30) = 50{,}0 \cdot 1{,}030^{30} \approx 50 \cdot 2{,}43 \approx 121 \text{ tusen}$$

Merk: Dette forutsetter at veksten fortsetter eksponentielt, noe som sjelden skjer i praksis.

Svar: Omtrent $121$ tusen innbyggere i 2030.

Svar: Kurven er S-formet og flater ut, så en logistisk modell passer.

b) Logistisk regresjon (FitLogistic i GeoGebra) gir
$$N(t) \approx \frac{510}{1 + 261 \cdot e^{-0{,}138t}}$$

med $R^2 \approx 0{,}9998$. Kontroll med de avrundede parameterne: $N(30) \approx 98{,}9$ og $N(60) \approx 478$, nær målingene 100 og 480.

Svar: $N(t) \approx \dfrac{510}{1 + 261e^{-0{,}138t}}$.

c) Bæreevnen er $K \approx 510$.

Svar: Modellen sier at det totale antallet tilfeller i denne bølgen flater ut på ca. 510 000. Bæreevnen i en smittemodell avhenger av tiltak og atferd, så den kan endre seg.

Modellen forutsier 117 ganger startverdi etter 50 år.

b) Problemer med prediksjonen:

- Markedsbegrensninger: Intet marked er uendelig. Etterspørselen vil nå et tak.
- Konkurranse: Andre aktører vil komme inn hvis markedet er attraktivt.
- Ressurser: Selskapet vil møte begrensninger i kapasitet, ansatte, kapital.
- Historisk erfaring: Få selskaper vokser eksponentielt i 50 år.

c) Mer realistisk modell:

En logistisk modell med bæreevne ville vært mer realistisk:
$$N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$$

der $K$ representerer markedets størrelse eller selskapets maksimale kapasitet.

Data: Antall registrerte elbiler i Norge annethvert år fra 2015 til 2023, i tusen. Tallene er avrundede. Vi lar $t$ være år etter 2015.

Modellvalg: Vekstfaktoren per toårsperiode er $2{,}0$, $1{,}9$, $1{,}7$ og $1{,}6$. Veksten er nesten eksponentiell, men den prosentvise veksten avtar. Et marked har en øvre grense, så vi velger en logistisk modell.

Modell: Logistisk regresjon gir
$$N(t) \approx \frac{1475}{1 + 19{,}7 e^{-0{,}360t}}$$

Tilpasning: $R^2 \approx 0{,}99999$. Modellen gir $71$, $139$, $260$, $451$ og $700$ for de fem årene.

Tolkning:
- Bæreevne: ca. 1,5 millioner elbiler.
- Vendepunkt: $\displaystyle t = \frac{\ln 19{,}7}{0{,}360} \approx 8{,}3$, altså i 2023. Der er veksten per år størst.

Begrensninger:
- Dataene slutter omtrent i vendepunktet. Da er bæreevnen dårlig bestemt, og noen få nye målinger kan endre den mye.
- Politikk, avgifter og infrastruktur kan endre både veksten og bæreevnen.

Svar: Modellen sier at veksten i antall elbiler per år er på topp rundt 2023 og deretter avtar, og at antallet nærmer seg ca. 1,5 millioner. Bæreevnen er usikker.