5.2 Logistisk vekst | Matematikk R1

Modellere logistisk vekst med bærekapasitet.

50 min

11 oppgaver

Logistisk modellBærekapasitetVendepunktS-kurve

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 11 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

5.1Eksponentiell vekst

Brukes videre i

5.3Modellering med reelle datasett

Begrensninger i eksponentiell vekst

I forrige kapittel så vi at eksponentiell vekst fører til svært raske økninger over tid. Men i virkeligheten kan ingenting vokse eksponentielt for alltid!

Hva begrenser vekst?
- Mat og næring (for populasjoner)
- Plass og ressurser
- Konkurranse
- Metning av marked (for produkter)

Når veksten møter slike begrensninger, får vi ofte logistisk vekst i stedet.

S-kurven

Den logistiske vekstkurven har en karakteristisk S-form:

1. Tidlig fase: Veksten ligner eksponentiell (få begrensninger)
2. Midtfase: Veksten avtar når ressursene blir knappe
3. Sen fase: Veksten flater ut mot en øvre grense

Denne øvre grensen kalles bærekapasiteten.

Den logistiske modellen

Den logistiske modellen tar hensyn til at vekstraten avtar når populasjonen nærmer seg bærekapasiteten.

Logistisk vekstmodell

N(t)

Forstå parameterne:

- $K$ (bærekapasitet): Den maksimale bærekraftige størrelsen. Populasjonen kan aldri overstige $K$ i lengden.

- $r$ (vekstrate): Hvor raskt veksten skjer. Høyere $r$ betyr brattere S-kurve.

- $C$ : Bestemmes av hvor langt fra $K$ vi starter. Hvis $N_0$ er liten sammenlignet med $K$ , er $C$ stor.

✏️Eksempel 1: Logistisk vekst

En fiskedam kan maksimalt romme 10 000 fisk. Vi setter ut 500 fisk, og vekstraten er $r = 0{,}5$ per år.

a) Finn konstanten $C$ .
b) Sett opp den logistiske modellen.
c) Hvor mange fisk er det etter 5 år? Etter 10 år? Etter 20 år?

Løsning:

a) Vi har $K = 10\,000$ , $N_0 = 500$ og $r = 0{,}5$ .

$C = \frac{K - N_0}{N_0} = \frac{10\,000 - 500}{500} = \frac{9500}{500} = 19$

Svar: $C = 19$

b) Den logistiske modellen blir:

$N(t) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-0{,}5t}}$

Svar: $\displaystyle N(t) = \frac{10\,000}{1 + 19e^{-0{,}5t}}$

c) Vi regner ut:

$t = 5$ : $\displaystyle N(5) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-2{,}5}} \approx \frac{10\,000}{1 + 1{,}56} \approx 3\,900$ fisk

$t = 10$ : $\displaystyle N(10) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-5}} \approx \frac{10\,000}{1 + 0{,}128} \approx 8\,900$ fisk

$t = 20$ : $\displaystyle N(20) = \frac{10\,000}{1 + 19 \cdot e^{-10}} \approx \frac{10\,000}{1 + 0{,}00086} \approx 9\,990$ fisk

Populasjonen nærmer seg bærekapasiteten 10 000.

Svar: Omtrent $3\,900$ fisk etter 5 år, $8\,900$ etter 10 år og $9\,990$ etter 20 år.

📝Oppgave 1

Sett opp logistisk modell for hver situasjon.

K = 1000

N_0 = 100

r = 0{,}2

K = 5000

N_0 = 500

r = 0{,}3

K = 200

N_0 = 10

r = 0{,}5

K = 800

N_0 = 200

r = 0{,}1

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Bruk den logistiske modellen til å beregne.

For $\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ , finn $N(0)$ , $N(10)$ og $N(30)$ .

For modellen i a), når er $N(t) = 500$ ?

For $\displaystyle N(t) = \frac{500}{1 + 4e^{-0{,}3t}}$ , hva er bærekapasiteten og startverdien?

Løs oppgaven

Vendepunktet og maksimal veksthastighet

En viktig egenskap ved logistisk vekst er at veksthastigheten først øker, så avtar. Punktet der veksthastigheten er størst kalles vendepunktet.

📜Vendepunktet for logistisk vekst

For

\displaystyle N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}

inntreffer vendepunktet når:

$N = \frac{K}{2}$

Tidspunktet for vendepunktet er:
$t_v = \frac{\ln C}{r}$

Maksimal veksthastighet i vendepunktet:
$N'(t_v) = \frac{rK}{4}$

Utledning: Vendepunktet er der veksthastigheten er størst. Med $\displaystyle N' = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)$ (utledet i avsnittet om derivasjon under) er $N'$ et andregradsuttrykk i $N$ med nullpunktene $N = 0$ og $N = K$ . Toppunktet ligger midt mellom nullpunktene, i $\displaystyle N = \frac{K}{2}$ .

$\frac{K}{1 + Ce^{-rt}} = \frac{K}{2} \quad\Rightarrow\quad 1 + Ce^{-rt} = 2 \quad\Rightarrow\quad Ce^{-rt} = 1 \quad\Rightarrow\quad t_v = \frac{\ln C}{r}$

$N'(t_v) = r \cdot \frac{K}{2}\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{rK}{4}$

✏️Eksempel 2: Finne vendepunktet

For fiskedammen fra eksempel 1 med $\displaystyle N(t) = \frac{10\,000}{1 + 19e^{-0{,}5t}}$ :

a) Finn tidspunktet for vendepunktet.
b) Hva er populasjonen i vendepunktet?
c) Hva er den maksimale veksthastigheten?

Løsning:

a) Med $C = 19$ og $r = 0{,}5$ :
$t_v = \frac{\ln C}{r} = \frac{\ln 19}{0{,}5} \approx \frac{2{,}944}{0{,}5} \approx 5{,}9 \text{ år}$

Svar: Etter omtrent $5{,}9$ år.

b) I vendepunktet er populasjonen alltid halvparten av bærekapasiteten:
$N(t_v) = \frac{K}{2} = \frac{10\,000}{2} = 5\,000 \text{ fisk}$

Svar: $5\,000$ fisk

c) Maksimal veksthastighet:
$N'(t_v) = \frac{rK}{4} = \frac{0{,}5 \cdot 10\,000}{4} = 1\,250 \text{ fisk per år}$

Tolkning: Rundt år 6 vokser populasjonen raskest, med ca. 1250 nye fisk per år.

Svar: $1\,250$ fisk per år

📝Oppgave 3

Finn vendepunktet for hver logistiske modell.

\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}2t}}

\displaystyle N(t) = \frac{500}{1 + 49e^{-0{,}4t}}

En populasjon følger logistisk vekst med $K = 2000$ og vendepunkt ved $t = 8$ år. $C = 15$ . Finn $r$ .

Løs oppgaven

Derivasjon av logistisk funksjon

For å analysere veksthastigheten trenger vi den deriverte av den logistiske funksjonen.

📜Den deriverte av logistisk funksjon

For

\displaystyle N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}

er den deriverte:

$N'(t) = \frac{rKCe^{-rt}}{(1 + Ce^{-rt})^2}$

Denne kan også skrives som:
$N'(t) = rN(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$

Tolkning: Veksthastigheten avhenger av:
- Nåværende populasjon $N(t)$
- Hvor mye "ledig kapasitet" det er: $\displaystyle 1 - \frac{N(t)}{K}$

Fordypning (utenfor læreplanen) – den logistiske differensiallikningen:

Den logistiske modellen kommer fra differensiallikningen:

$\frac{dN}{dt} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)$

Denne sier at veksthastigheten er:
- Proporsjonal med $N$ (som eksponentiell vekst)
- Multiplisert med en "bremsefaktor" $(1 - N/K)$ som blir mindre når $N$ nærmer seg $K$

✏️Eksempel 3: Veksthastighet i logistisk modell

For modellen $\displaystyle N(t) = \frac{1000}{1 + 9e^{-0{,}2t}}$ :

a) Finn $N'(t)$ .
b) Beregn veksthastigheten når $N = 200$ , $N = 500$ og $N = 800$ .
c) Når er veksthastigheten størst?

Løsning:

a) Med $K = 1000$ , $r = 0{,}2$ , $C = 9$ :

$N'(t) = \frac{0{,}2 \cdot 1000 \cdot 9 \cdot e^{-0{,}2t}}{(1 + 9e^{-0{,}2t})^2} = \frac{1800e^{-0{,}2t}}{(1 + 9e^{-0{,}2t})^2}$

Alternativt:
$N'(t) = 0{,}2 \cdot N(t) \cdot \left(1 - \frac{N(t)}{1000}\right)$

Svar: $\displaystyle N'(t) = \frac{1800e^{-0{,}2t}}{(1 + 9e^{-0{,}2t})^2}$

b) Bruker alternativ form:

$N = 200$ : $N' = 0{,}2 \cdot 200 \cdot (1 - 0{,}2) = 40 \cdot 0{,}8 = 32$

$N = 500$ : $N' = 0{,}2 \cdot 500 \cdot (1 - 0{,}5) = 100 \cdot 0{,}5 = 50$ (maksimal)

$N = 800$ : $N' = 0{,}2 \cdot 800 \cdot (1 - 0{,}8) = 160 \cdot 0{,}2 = 32$

Svar: $N' = 32$ , $50$ og $32$

c) Veksthastigheten er størst når $N = K/2 = 500$ , som bekrefter at vendepunktet er ved $N = 500$ .

Svar: Når $N = 500$ .

📝Oppgave 4

Beregn veksthastigheten.

For $\displaystyle N(t) = \frac{500}{1 + 4e^{-0{,}3t}}$ , bruk $N' = rN(1 - N/K)$ til å finne $N'$ når $N = 100$ .

For samme modell, finn $N'$ når $N = 250$ og $N = 400$ .

En populasjon følger $N' = 0{,}1N(1 - N/2000)$ . Finn maksimal veksthastighet.

Løs oppgaven

Praktiske anvendelser

Logistisk vekst beskriver mange fenomener i virkeligheten bedre enn eksponentiell vekst.

✏️Eksempel 4: Smittespredning

I en by med 100 000 innbyggere spres en sykdom. Spredningen følger logistisk vekst med $r = 0{,}3$ per dag. Dag 0 er 100 personer smittet.

a) Sett opp modellen for antall smittede $N(t)$ .
b) Hvor mange er smittet etter 20 dager? Etter 40 dager?
c) Når er spredningen raskest, og hvor mange smittes da per dag?
d) Når er halvparten av befolkningen smittet?

Løsning:

a) $K = 100\,000$ , $N_0 = 100$ , $r = 0{,}3$

$C = \frac{100\,000 - 100}{100} = 999$

$N(t) = \frac{100\,000}{1 + 999 \cdot e^{-0{,}3t}}$

Svar: $\displaystyle N(t) = \frac{100\,000}{1 + 999e^{-0{,}3t}}$

b) $\displaystyle N(20) = \frac{100\,000}{1 + 999 \cdot e^{-6}} \approx \frac{100\,000}{1 + 2{,}47} \approx 28\,800$ smittede

$\displaystyle N(40) = \frac{100\,000}{1 + 999 \cdot e^{-12}} \approx 99\,400$ smittede

Svar: Omtrent $28\,800$ etter 20 dager og $99\,400$ etter 40 dager.

c) Vendepunktet: $\displaystyle t_v = \frac{\ln 999}{0{,}3} \approx 23$ dager

Maksimal smittehastighet: $\displaystyle N'(t_v) = \frac{0{,}3 \cdot 100\,000}{4} = 7\,500$ per dag

Svar: Etter omtrent 23 dager, med $7\,500$ nye smittede per dag.

d) Halvparten ( $50\,000$ ) smittes ved vendepunktet, altså etter ca. 23 dager.

Svar: Etter omtrent 23 dager.

✏️Eksempel 5: Spredning av ny teknologi

Et land med 5 millioner husstander innfører en ny strømmetjeneste. Ved start abonnerer 50 000 husstander, og etter 2 år har 500 000 abonnert. Modellen er logistisk med bærekapasitet 4 millioner.

a) Finn $C$ og $r$ .
b) Når vil 2 millioner ha abonnert?

Løsning:

a) Vi har $K = 4\,000\,000$ , $N_0 = 50\,000$ og $N(2) = 500\,000$ .
$C = \frac{4\,000\,000 - 50\,000}{50\,000} = 79$

Fra $N(2) = 500\,000$ :
$500\,000 = \frac{4\,000\,000}{1 + 79e^{-2r}}$
$1 + 79e^{-2r} = 8$
$e^{-2r} = \frac{7}{79} \approx 0{,}0886$
$r = \frac{-\ln(0{,}0886)}{2} \approx 1{,}21$

Svar: a) $C = 79$ og $r \approx 1{,}21$ .

b) Vi løser $N(t) = 2\,000\,000$ :
$2\,000\,000 = \frac{4\,000\,000}{1 + 79e^{-1{,}21t}}$
$1 + 79e^{-1{,}21t} = 2$
$e^{-1{,}21t} = \frac{1}{79}$
$t = \frac{\ln 79}{1{,}21} \approx 3{,}6 \text{ år}$

Svar: b) Etter omtrent 3,6 år har 2 millioner husstander abonnert.

📝Oppgave 5

Løs de praktiske oppgavene.

En innsjø kan ha maks 2000 fisk. 200 fisk settes ut, og $r = 0{,}4$ . Når er det 1500 fisk?

Et rykte spres på en skole med 800 elever. Etter 1 dag vet 50 om det. Etter 3 dager vet 400. Finn $r$ .

En plante sprer seg i et område på 1000 m². Starter med 10 m², $r = 0{,}5$ per år. Når dekker den 900 m²?

Løs oppgaven

Gjør dette i GeoGebra

Eksponentiell vs. logistisk vekst

Sammenlign eksponentiell og logistisk vekst. Juster parameterne for å se forskjellene.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

K = Slider(100, 1000, 10, 1, 150, false, true, false, false)
N0 = Slider(1, 100, 1, 1, 150, false, true, false, false)
r = Slider(0.1, 1, 0.05, 1, 150, false, true, false, false)
SetValue(K, 500)
SetValue(N0, 10)
SetValue(r, 0.3)
C = (K - N0) / N0
eksponentiell(t) = N0 * exp(r * t)
logistisk(t) = K / (1 + C * exp(-r * t))
kapasitet = Line((0, K), (30, K))
ZoomIn(-1, -50, 30, 600)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Oppsummering

Logistisk vekstmodell:
$N(t) = \frac{K}{1 + Ce^{-rt}}$

der $\displaystyle C = \frac{K - N_0}{N_0}$

Bærekapasitet $K$ : Øvre grense som $N(t)$ nærmer seg

Vendepunkt:
- Tidspunkt: $\displaystyle t_v = \frac{\ln C}{r}$
- Populasjon: $\displaystyle N(t_v) = \frac{K}{2}$
- Maksimal veksthastighet: $\displaystyle N'(t_v) = \frac{rK}{4}$

Derivasjon:
$N'(t) = rN(t)\left(1 - \frac{N(t)}{K}\right)$

Forskjell fra eksponentiell:
- Eksponentiell: Ubegrenset vekst
- Logistisk: Begrenset av bærekapasitet, S-formet kurve

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 1 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.