Tilbake
6.1
Vektorer i planet

6.1 Vektorer i planet

Alle fag for VG2

Vektorbegrepet og grunnleggende vektoroperasjoner.

55 min
12 oppgaver
VektorbegrepVektoraddisjonSkalar multiplikasjonKoordinater
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Hva er en vektor?

I matematikk og fysikk trenger vi ofte å beskrive størrelser som har både størrelse (lengde) og retning. Eksempler er kraft, hastighet, forskyvning og akselerasjon.

En slik størrelse kalles en vektor. I motsetning til vanlige tall (skalarer), som bare har en verdi, har vektorer altså to egenskaper: hvor lang de er, og hvilken retning de peker.

Vektor

En vektor er en størrelse som har både lengde (størrelse) og retning.

Vi skriver vektorer på forskjellige måter:
- v⃗\vec{v} (pil over bokstaven)
- vˉ\bar{v} (strek over bokstaven)
- v\mathbf{v} (fet skrift)

To vektorer er like hvis de har samme lengde og samme retning, uansett hvor de er plassert i planet.

Grafisk framstilling

En vektor tegnes som en pil fra ett punkt (startpunktet) til et annet (sluttpunktet). Pilens lengde viser vektorens størrelse, og pilens retning viser vektorens retning.

Vektorer som har samme lengde og peker i samme retning, regnes som like vektorer selv om de starter fra forskjellige punkter.

📊Vektorer i planet

Utforsk vektorer grafisk. Du kan dra i punktene for å se hvordan vektorene endrer seg.

Komponentform

For å regne med vektorer bruker vi et koordinatsystem. En vektor v⃗\vec{v} kan da skrives ved hjelp av sine komponenter langs xx-aksen og yy-aksen.

Komponentform
En vektor v⃗\vec{v} i planet skrives på komponentform som:

v⃗=[a,b]ellerv⃗=(ab)\vec{v} = [a, b] \quad \text{eller} \quad \vec{v} = \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix}

der aa er komponenten i xx-retning og bb er komponenten i yy-retning.

Hvis v⃗\vec{v} går fra punkt A=(x1,y1)A = (x_1, y_1) til punkt B=(x2,y2)B = (x_2, y_2), så er:

AB⃗=[x2−x1,y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]

Enhetsvektorene i og j
Enhetsvektorene i⃗\vec{i} og j⃗\vec{j} er vektorer med lengde 1 langs aksene:

i⃗=[1,0]ogj⃗=[0,1]\vec{i} = [1, 0] \quad \text{og} \quad \vec{j} = [0, 1]

Enhver vektor kan skrives som en kombinasjon av disse:

v⃗=[a,b]=ai⃗+bj⃗\vec{v} = [a, b] = a\vec{i} + b\vec{j}

✏️Eksempel 1: Finne komponentform

Finn vektoren AB⃗\vec{AB} på komponentform når:

a) A=(2,3)A = (2, 3) og B=(5,7)B = (5, 7)
b) A=(−1,4)A = (-1, 4) og B=(3,−2)B = (3, -2)
c) A=(0,0)A = (0, 0) og B=(−3,5)B = (-3, 5)

Løsning:

Vi bruker formelen AB⃗=[x2−x1,y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]:

a) AB⃗=[5−2,7−3]=[3,4]\vec{AB} = [5 - 2, 7 - 3] = [3, 4]

b) AB⃗=[3−(−1),−2−4]=[4,−6]\vec{AB} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6]

c) AB⃗=[−3−0,5−0]=[−3,5]\vec{AB} = [-3 - 0, 5 - 0] = [-3, 5]

📝Oppgave 1

Finn vektoren AB⃗\vec{AB} på komponentform.

a
A=(1,2)A = (1, 2) og B=(4,6)B = (4, 6)
b
A=(3,−1)A = (3, -1) og B=(−2,4)B = (-2, 4)
c
A=(−2,−3)A = (-2, -3) og B=(1,0)B = (1, 0)
d
A=(5,0)A = (5, 0) og B=(0,5)B = (0, 5)

Stedvektor og forskyvningsvektor

Det finnes to viktige typer vektorer som brukes mye:

Stedvektor
Stedvektoren til et punkt P=(a,b)P = (a, b) er vektoren fra origo til punktet:

OP⃗=[a,b]\vec{OP} = [a, b]

Stedvektoren beskriver altså posisjonen til et punkt i koordinatsystemet.

Forskyvningsvektor
En forskyvningsvektor beskriver bevegelsen fra ett punkt til et annet.

Forskyvningsvektoren fra AA til BB er:
AB⃗=OB⃗−OA⃗\vec{AB} = \vec{OB} - \vec{OA}

der OA⃗\vec{OA} og OB⃗\vec{OB} er stedvektorene til AA og BB.

✏️Eksempel 2: Stedvektor og forskyvningsvektor

Et punkt P=(3,4)P = (3, 4) flyttes til punkt Q=(7,1)Q = (7, 1).

a) Finn stedvektoren til PP.
b) Finn stedvektoren til QQ.
c) Finn forskyvningsvektoren fra PP til QQ.

Løsning:

a) Stedvektoren til PP:
OP⃗=[3,4]\vec{OP} = [3, 4]

b) Stedvektoren til QQ:
OQ⃗=[7,1]\vec{OQ} = [7, 1]

c) Forskyvningsvektoren fra PP til QQ:
PQ⃗=OQ⃗−OP⃗=[7,1]−[3,4]=[7−3,1−4]=[4,−3]\vec{PQ} = \vec{OQ} - \vec{OP} = [7, 1] - [3, 4] = [7-3, 1-4] = [4, -3]

Vektoraddisjon

Når vi legger sammen to vektorer, får vi en ny vektor som kalles summen eller resultanten.

Vektoraddisjon
For to vektorer u⃗=[a1,b1]\vec{u} = [a_1, b_1] og v⃗=[a2,b2]\vec{v} = [a_2, b_2] er summen:

u⃗+v⃗=[a1+a2,b1+b2]\vec{u} + \vec{v} = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]

Grafisk konstruksjon:
- Trekantregelen: Plasser startpunktet til v⃗\vec{v} i sluttpunktet til u⃗\vec{u}. Summen går fra startpunktet til u⃗\vec{u} til sluttpunktet til v⃗\vec{v}.
- Parallellogramregelen: Tegn begge vektorer fra samme punkt. Summen er diagonalen i parallellogrammet de spenner ut.

📊Vektoraddisjon: Trekantregelen

Dra i punktene for å se hvordan sumvektoren endrer seg.

✏️Eksempel 3: Vektoraddisjon

La u⃗=[3,2]\vec{u} = [3, 2] og v⃗=[−1,4]\vec{v} = [-1, 4].

Regn ut:
a) u⃗+v⃗\vec{u} + \vec{v}
b) v⃗+u⃗\vec{v} + \vec{u}
c) (u⃗+v⃗)+w⃗(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} der w⃗=[2,−3]\vec{w} = [2, -3]

Løsning:

a) u⃗+v⃗=[3,2]+[−1,4]=[3+(−1),2+4]=[2,6]\vec{u} + \vec{v} = [3, 2] + [-1, 4] = [3 + (-1), 2 + 4] = [2, 6]

b) v⃗+u⃗=[−1,4]+[3,2]=[−1+3,4+2]=[2,6]\vec{v} + \vec{u} = [-1, 4] + [3, 2] = [-1 + 3, 4 + 2] = [2, 6]

Vi ser at u⃗+v⃗=v⃗+u⃗\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u} (vektoraddisjon er kommutativ).

c) (u⃗+v⃗)+w⃗=[2,6]+[2,−3]=[2+2,6+(−3)]=[4,3](\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = [2, 6] + [2, -3] = [2 + 2, 6 + (-3)] = [4, 3]

📝Oppgave 2

La a⃗=[2,5]\vec{a} = [2, 5], b⃗=[−3,1]\vec{b} = [-3, 1] og c⃗=[4,−2]\vec{c} = [4, -2]. Regn ut:

a
a⃗+b⃗\vec{a} + \vec{b}
b
b⃗+c⃗\vec{b} + \vec{c}
c
a⃗+b⃗+c⃗\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}
d
a⃗+c⃗\vec{a} + \vec{c}

Skalar multiplikasjon

Når vi ganger en vektor med et tall (en skalar), endrer vi vektorens lengde.

Skalar multiplikasjon
For en vektor v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] og et tall kk (en skalar) er:

k⋅v⃗=[ka,kb]k \cdot \vec{v} = [ka, kb]

Egenskaper:
- ∣k⋅v⃗∣=∣k∣⋅∣v⃗∣|k \cdot \vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}| (lengden skaleres)
- Hvis k>0k > 0: vektoren beholder retning
- Hvis k<0k < 0: vektoren snur retning
- Hvis k=0k = 0: vi får nullvektoren

Motsatt vektor og nullvektor
Motsatt vektor: Den motsatte vektoren til v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] er:
−v⃗=[−a,−b]-\vec{v} = [-a, -b]

Den har samme lengde som v⃗\vec{v}, men motsatt retning.

Nullvektoren: Nullvektoren er 0⃗=[0,0]\vec{0} = [0, 0]. Den har lengde 0 og ingen definert retning.

For alle vektorer gjelder: v⃗+(−v⃗)=0⃗\vec{v} + (-\vec{v}) = \vec{0}

✏️Eksempel 4: Skalar multiplikasjon

La v⃗=[2,−3]\vec{v} = [2, -3].

Regn ut:
a) 3v⃗3\vec{v}
b) −2v⃗-2\vec{v}
c) 12v⃗\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}
d) −v⃗-\vec{v}

Løsning:

a) 3v⃗=3⋅[2,−3]=[3⋅2,3⋅(−3)]=[6,−9]3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [3 \cdot 2, 3 \cdot (-3)] = [6, -9]

b) −2v⃗=−2⋅[2,−3]=[(−2)⋅2,(−2)⋅(−3)]=[−4,6]-2\vec{v} = -2 \cdot [2, -3] = [(-2) \cdot 2, (-2) \cdot (-3)] = [-4, 6]

c) 12v⃗=12⋅[2,−3]=[12⋅2,12⋅(−3)]=[1,−32]\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2} \cdot [2, -3] = [\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot (-3)] = [1, -\frac{3}{2}]

d) −v⃗=−1⋅[2,−3]=[−2,3]-\vec{v} = -1 \cdot [2, -3] = [-2, 3]

📝Oppgave 3

La u⃗=[4,−2]\vec{u} = [4, -2] og v⃗=[−1,3]\vec{v} = [-1, 3]. Regn ut:

a
2u⃗2\vec{u}
b
−3v⃗-3\vec{v}
c
2u⃗+3v⃗2\vec{u} + 3\vec{v}
d
u⃗−2v⃗\vec{u} - 2\vec{v}

Vektorsubtraksjon

Subtraksjon av vektorer defineres ved hjelp av addisjon og motsatt vektor.

Vektorsubtraksjon
For to vektorer u⃗=[a1,b1]\vec{u} = [a_1, b_1] og v⃗=[a2,b2]\vec{v} = [a_2, b_2] er differansen:

u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)=[a1−a2,b1−b2]\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v}) = [a_1 - a_2, b_1 - b_2]

Grafisk: u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} går fra sluttpunktet til v⃗\vec{v} til sluttpunktet til u⃗\vec{u} (når begge starter fra samme punkt).

✏️Eksempel 5: Kombinerte operasjoner

La a⃗=[1,4]\vec{a} = [1, 4], b⃗=[3,−2]\vec{b} = [3, -2] og c⃗=[−2,1]\vec{c} = [-2, 1].

Regn ut:
a) 2a⃗−b⃗2\vec{a} - \vec{b}
b) a⃗+2b⃗−3c⃗\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}
c) −a⃗+b⃗+c⃗-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

Løsning:

a) 2a⃗−b⃗=2[1,4]−[3,−2]=[2,8]−[3,−2]=[2−3,8−(−2)]=[−1,10]2\vec{a} - \vec{b} = 2[1, 4] - [3, -2] = [2, 8] - [3, -2] = [2 - 3, 8 - (-2)] = [-1, 10]

b) a⃗+2b⃗−3c⃗=[1,4]+2[3,−2]−3[−2,1]\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c} = [1, 4] + 2[3, -2] - 3[-2, 1]
=[1,4]+[6,−4]−[−6,3]= [1, 4] + [6, -4] - [-6, 3]
=[1+6−(−6),4+(−4)−3]= [1 + 6 - (-6), 4 + (-4) - 3]
=[13,−3]= [13, -3]

c) −a⃗+b⃗+c⃗=−[1,4]+[3,−2]+[−2,1]-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -[1, 4] + [3, -2] + [-2, 1]
=[−1,−4]+[3,−2]+[−2,1]= [-1, -4] + [3, -2] + [-2, 1]
=[−1+3+(−2),−4+(−2)+1]= [-1 + 3 + (-2), -4 + (-2) + 1]
=[0,−5]= [0, -5]

📝Oppgave 4

La p⃗=[2,1]\vec{p} = [2, 1], q⃗=[−1,3]\vec{q} = [-1, 3] og r⃗=[3,−4]\vec{r} = [3, -4]. Regn ut:

a
p⃗−q⃗\vec{p} - \vec{q}
b
3p⃗+2q⃗3\vec{p} + 2\vec{q}
c
p⃗−q⃗+r⃗\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}
d
2p⃗−3q⃗+r⃗2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}

Parallelle vektorer

To vektorer kan ha samme eller motsatt retning. Da sier vi at de er parallelle.

Parallelle vektorer
To vektorer u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v} er parallelle hvis den ene er et skalart multiplum av den andre:

u⃗=k⋅v⃗for et tall k≠0\vec{u} = k \cdot \vec{v} \quad \text{for et tall } k \neq 0

Skrivemåte: u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v}

Dersom k>0k > 0, har vektorene samme retning.
Dersom k<0k < 0, har vektorene motsatt retning.

✏️Eksempel 6: Parallelle vektorer

Avgjør om vektorene er parallelle:

a) u⃗=[2,6]\vec{u} = [2, 6] og v⃗=[1,3]\vec{v} = [1, 3]
b) a⃗=[3,−2]\vec{a} = [3, -2] og b⃗=[−6,4]\vec{b} = [-6, 4]
c) p⃗=[1,2]\vec{p} = [1, 2] og q⃗=[3,5]\vec{q} = [3, 5]

Løsning:

a) Vi undersøker om u⃗=k⋅v⃗\vec{u} = k \cdot \vec{v}:
[2,6]=k⋅[1,3][2, 6] = k \cdot [1, 3] gir 2=k⋅12 = k \cdot 1 og 6=k⋅36 = k \cdot 3
Fra første ligning: k=2k = 2. Sjekk: 2⋅3=62 \cdot 3 = 6 ✓
Altså er u⃗=2v⃗\vec{u} = 2\vec{v}, så u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v}. Parallelle.

b) Vi undersøker om a⃗=k⋅b⃗\vec{a} = k \cdot \vec{b}:
[3,−2]=k⋅[−6,4][3, -2] = k \cdot [-6, 4] gir 3=−6k3 = -6k og −2=4k-2 = 4k
Fra første ligning: k=−12\displaystyle k = -\frac{1}{2}. Fra andre ligning: k=−12\displaystyle k = -\frac{1}{2} ✓
Altså er a⃗=−12b⃗\displaystyle \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{b}, så a⃗∥b⃗\vec{a} \parallel \vec{b}. Parallelle.

c) Vi undersøker om p⃗=k⋅q⃗\vec{p} = k \cdot \vec{q}:
[1,2]=k⋅[3,5][1, 2] = k \cdot [3, 5] gir 1=3k1 = 3k og 2=5k2 = 5k
Fra første ligning: k=13\displaystyle k = \frac{1}{3}. Fra andre ligning: k=25\displaystyle k = \frac{2}{5}.
Siden 13≠25\displaystyle \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}, er de ikke parallelle.

📝Oppgave 5

Avgjør om vektorparene er parallelle. Begrunn svaret.

a
u⃗=[4,8]\vec{u} = [4, 8] og v⃗=[2,4]\vec{v} = [2, 4]
b
a⃗=[3,1]\vec{a} = [3, 1] og b⃗=[6,3]\vec{b} = [6, 3]
c
p⃗=[−2,5]\vec{p} = [-2, 5] og q⃗=[4,−10]\vec{q} = [4, -10]
d
r⃗=[1,0]\vec{r} = [1, 0] og s⃗=[0,1]\vec{s} = [0, 1]

Anvendelser av vektorer

Vektorer brukes i mange sammenhenger, spesielt i fysikk og geometri.

✏️Eksempel 7: Midtpunkt mellom to punkter

Finn midtpunktet MM på linjestykket mellom A=(1,3)A = (1, 3) og B=(5,7)B = (5, 7) ved hjelp av vektorer.

Løsning:

La a⃗=OA⃗=[1,3]\vec{a} = \vec{OA} = [1, 3] og b⃗=OB⃗=[5,7]\vec{b} = \vec{OB} = [5, 7] være stedvektorene.

Stedvektoren til midtpunktet er gjennomsnittet av stedvektorene:

OM⃗=12(a⃗+b⃗)=12([1,3]+[5,7])=12[6,10]=[3,5]\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}([1, 3] + [5, 7]) = \frac{1}{2}[6, 10] = [3, 5]

Altså er M=(3,5)M = (3, 5).

Alternativ metode: Midtpunktsformelen gir direkte:
M=(x1+x22,y1+y22)=(1+52,3+72)=(3,5)M = \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) = \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) = (3, 5)

📝Oppgave 6

Bruk vektorer til å løse oppgavene.

a

Finn midtpunktet mellom A=(2,−4)A = (2, -4) og B=(8,6)B = (8, 6).

b

Punktet A=(1,2)A = (1, 2) flyttes med vektor v⃗=[3,−1]\vec{v} = [3, -1]. Hvor havner punktet?

c

Finn vektoren som fører punktet (3,5)(3, 5) til punktet (−1,2)(-1, 2).

📝Oppgave 7

Sammensatte oppgaver med vektorer.

a

I en trekant er A=(0,0)A = (0, 0), B=(6,0)B = (6, 0) og C=(2,4)C = (2, 4). Finn midtpunktene på alle tre sider.

b

Vis at vektoren fra AA til midtpunktet på BCBC er v⃗=[4,2]\vec{v} = [4, 2].

c

Finn koordinatene til tyngdepunktet TT i trekanten. (Hint: TT deler medianen fra AA i forholdet 2:12:1)

Oppsummering

Vektor:
- En størrelse med både lengde og retning
- Skrives som v⃗\vec{v}, vˉ\bar{v} eller v\mathbf{v}

Komponentform:
- v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] der aa og bb er komponentene
- AB⃗=[x2−x1,y2−y1]\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]

Vektoroperasjoner:
- Addisjon: [a1,b1]+[a2,b2]=[a1+a2,b1+b2][a_1, b_1] + [a_2, b_2] = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]
- Skalar multiplikasjon: k[a,b]=[ka,kb]k[a, b] = [ka, kb]
- Subtraksjon: u⃗−v⃗=u⃗+(−v⃗)\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})

Spesielle vektorer:
- Nullvektor: 0⃗=[0,0]\vec{0} = [0, 0]
- Enhetsvektorer: i⃗=[1,0]\vec{i} = [1, 0], j⃗=[0,1]\vec{j} = [0, 1]

Parallelle vektorer:
- u⃗∥v⃗\vec{u} \parallel \vec{v} hvis u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v} for en skalar k≠0k \neq 0

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.