6.1 Vektorer i planet | Matematikk R1

Vektorbegrepet og grunnleggende vektoroperasjoner.

55 min

12 oppgaver

VektorbegrepVektoraddisjonSkalar multiplikasjonKoordinater

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 12 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

6.2Vektorregning 6.3Parameterframstilling 6.4Vektorlengde og avstand

Hva er en vektor?

I matematikk og fysikk trenger vi ofte å beskrive størrelser som har både størrelse (lengde) og retning. Eksempler er kraft, hastighet, forskyvning og akselerasjon.

En slik størrelse kalles en vektor. I motsetning til vanlige tall (skalarer), som bare har en verdi, har vektorer altså to egenskaper: hvor lang de er, og hvilken retning de peker.

Vektor

\vec{v}

Grafisk framstilling

En vektor tegnes som en pil fra ett punkt (startpunktet) til et annet (sluttpunktet). Pilens lengde viser vektorens størrelse, og pilens retning viser vektorens retning.

Vektorer som har samme lengde og peker i samme retning, regnes som like vektorer selv om de starter fra forskjellige punkter.

Gjør dette i GeoGebra

Vektorer i planet

Utforsk vektorer grafisk. Du kan dra i punktene for å se hvordan vektorene endrer seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

A = (1, 1)
B = (4, 3)
v = Vector(A, B)
C = (2, 4)
D = (5, 6)
u = Vector(C, D)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

Komponentform

For å regne med vektorer bruker vi et koordinatsystem. En vektor $\vec{v}$ kan da skrives ved hjelp av sine komponenter langs $x$ -aksen og $y$ -aksen.

Komponentform

\vec{v}

Enhetsvektorene i og j

\vec{i}

✏️Eksempel 1: Finne komponentform

Finn vektoren $\vec{AB}$ på komponentform når:

a) $A = (2, 3)$ og $B = (5, 7)$
b) $A = (-1, 4)$ og $B = (3, -2)$
c) $A = (0, 0)$ og $B = (-3, 5)$

Løsning:

Vi bruker formelen $\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$ :

a) $\vec{AB} = [5 - 2, 7 - 3] = [3, 4]$

Svar: $\vec{AB} = [3, 4]$

b) $\vec{AB} = [3 - (-1), -2 - 4] = [4, -6]$

Svar: $\vec{AB} = [4, -6]$

c) $\vec{AB} = [-3 - 0, 5 - 0] = [-3, 5]$

Svar: $\vec{AB} = [-3, 5]$

📝Oppgave 1

Finn vektoren $\vec{AB}$ på komponentform.

A = (1, 2)

B = (4, 6)

A = (3, -1)

B = (-2, 4)

A = (-2, -3)

B = (1, 0)

A = (5, 0)

B = (0, 5)

Stedvektor og forskyvningsvektor

Det finnes to viktige typer vektorer som brukes mye:

Stedvektor

P = (a, b)

Forskyvningsvektor

A

✏️Eksempel 2: Stedvektor og forskyvningsvektor

Et punkt $P = (3, 4)$ flyttes til punkt $Q = (7, 1)$ .

a) Finn stedvektoren til $P$ .
b) Finn stedvektoren til $Q$ .
c) Finn forskyvningsvektoren fra $P$ til $Q$ .

Løsning:

a) Stedvektoren til $P$ :
$\vec{OP} = [3, 4]$

Svar: $\vec{OP} = [3, 4]$

b) Stedvektoren til $Q$ :
$\vec{OQ} = [7, 1]$

Svar: $\vec{OQ} = [7, 1]$

c) Forskyvningsvektoren fra $P$ til $Q$ :
$\begin{aligned} \vec{PQ} &= \vec{OQ} - \vec{OP} \\ &= [7, 1] - [3, 4] \\ &= [7-3, 1-4] \\ &= [4, -3] \end{aligned}$

Svar: $\vec{PQ} = [4, -3]$

Vektoraddisjon

Når vi legger sammen to vektorer, får vi en ny vektor som kalles summen eller resultanten.

Vektoraddisjon

\vec{u} = [a_1, b_1]

Gjør dette i GeoGebra

Vektoraddisjon: Trekantregelen

Dra i punktene for å se hvordan sumvektoren endrer seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

O = (0, 0)
A = (3, 1)
B = (1, 3)
u = Vector(O, A)
v = Vector(A, A + (B - O))
sum = Vector(O, A + (B - O))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 3: Vektoraddisjon

La $\vec{u} = [3, 2]$ og $\vec{v} = [-1, 4]$ .

Regn ut:
a) $\vec{u} + \vec{v}$
b) $\vec{v} + \vec{u}$
c) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w}$ der $\vec{w} = [2, -3]$

Løsning:

a) $\vec{u} + \vec{v} = [3, 2] + [-1, 4] = [3 + (-1), 2 + 4] = [2, 6]$

Svar: $[2, 6]$

b) $\vec{v} + \vec{u} = [-1, 4] + [3, 2] = [-1 + 3, 4 + 2] = [2, 6]$

Vi ser at $\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}$ (vektoraddisjon er kommutativ).

Svar: $[2, 6]$

c) $(\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = [2, 6] + [2, -3] = [2 + 2, 6 + (-3)] = [4, 3]$

Svar: $[4, 3]$

📝Oppgave 2

La $\vec{a} = [2, 5]$ , $\vec{b} = [-3, 1]$ og $\vec{c} = [4, -2]$ . Regn ut:

\vec{a} + \vec{b}

\vec{b} + \vec{c}

\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}

\vec{a} + \vec{c}

Skalar multiplikasjon

Når vi ganger en vektor med et tall (en skalar), endrer vi vektorens lengde.

Skalar multiplikasjon

\vec{v} = [a, b]

Motsatt vektor og nullvektor

\vec{v} = [a, b]

✏️Eksempel 4: Skalar multiplikasjon

La $\vec{v} = [2, -3]$ .

Regn ut:
a) $3\vec{v}$
b) $-2\vec{v}$
c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v}$
d) $-\vec{v}$

Løsning:

a) $3\vec{v} = 3 \cdot [2, -3] = [3 \cdot 2, 3 \cdot (-3)] = [6, -9]$

Svar: $[6, -9]$

b) $-2\vec{v} = -2 \cdot [2, -3] = [(-2) \cdot 2, (-2) \cdot (-3)] = [-4, 6]$

Svar: $[-4, 6]$

c) $\displaystyle \frac{1}{2}\vec{v} = \frac{1}{2} \cdot [2, -3] = [\frac{1}{2} \cdot 2, \frac{1}{2} \cdot (-3)] = [1, -\frac{3}{2}]$

Svar: $\displaystyle \left[1, -\frac{3}{2}\right]$

d) $-\vec{v} = -1 \cdot [2, -3] = [-2, 3]$

Svar: $[-2, 3]$

📝Oppgave 3

La $\vec{u} = [4, -2]$ og $\vec{v} = [-1, 3]$ . Regn ut:

2\vec{u}

-3\vec{v}

2\vec{u} + 3\vec{v}

\vec{u} - 2\vec{v}

Vektorsubtraksjon

Subtraksjon av vektorer defineres ved hjelp av addisjon og motsatt vektor.

Vektorsubtraksjon

\vec{u} = [a_1, b_1]

✏️Eksempel 5: Kombinerte operasjoner

La $\vec{a} = [1, 4]$ , $\vec{b} = [3, -2]$ og $\vec{c} = [-2, 1]$ .

Regn ut:
a) $2\vec{a} - \vec{b}$
b) $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c}$
c) $-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$

Løsning:

a) $2\vec{a} - \vec{b} = 2[1, 4] - [3, -2] = [2, 8] - [3, -2] = [2 - 3, 8 - (-2)] = [-1, 10]$

Svar: $[-1, 10]$

b) $\vec{a} + 2\vec{b} - 3\vec{c} = [1, 4] + 2[3, -2] - 3[-2, 1]$
$= [1, 4] + [6, -4] - [-6, 3]$
$= [1 + 6 - (-6), 4 + (-4) - 3]$
$= [13, -3]$

Svar: $[13, -3]$

c) $-\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = -[1, 4] + [3, -2] + [-2, 1]$
$= [-1, -4] + [3, -2] + [-2, 1]$
$= [-1 + 3 + (-2), -4 + (-2) + 1]$
$= [0, -5]$

Svar: $[0, -5]$

📝Oppgave 4

La $\vec{p} = [2, 1]$ , $\vec{q} = [-1, 3]$ og $\vec{r} = [3, -4]$ . Regn ut:

\vec{p} - \vec{q}

3\vec{p} + 2\vec{q}

\vec{p} - \vec{q} + \vec{r}

2\vec{p} - 3\vec{q} + \vec{r}

Parallelle vektorer

To vektorer kan ha samme eller motsatt retning. Da sier vi at de er parallelle.

Parallelle vektorer

\vec{u}

✏️Eksempel 6: Parallelle vektorer

Avgjør om vektorene er parallelle:

a) $\vec{u} = [2, 6]$ og $\vec{v} = [1, 3]$
b) $\vec{a} = [3, -2]$ og $\vec{b} = [-6, 4]$
c) $\vec{p} = [1, 2]$ og $\vec{q} = [3, 5]$

Løsning:

a) Vi undersøker om $\vec{u} = k \cdot \vec{v}$ :
$[2, 6] = k \cdot [1, 3]$ gir $2 = k \cdot 1$ og $6 = k \cdot 3$
Fra første likning: $k = 2$ . Sjekk: $2 \cdot 3 = 6$ ✓
Altså er $\vec{u} = 2\vec{v}$ , så $\vec{u} \parallel \vec{v}$ . Parallelle.

Svar: Parallelle

b) Vi undersøker om $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$ :
$[3, -2] = k \cdot [-6, 4]$ gir $3 = -6k$ og $-2 = 4k$
Fra første likning: $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$ . Fra andre likning: $\displaystyle k = -\frac{1}{2}$ ✓
Altså er $\displaystyle \vec{a} = -\frac{1}{2}\vec{b}$ , så $\vec{a} \parallel \vec{b}$ . Parallelle.

Svar: Parallelle

c) Vi undersøker om $\vec{p} = k \cdot \vec{q}$ :
$[1, 2] = k \cdot [3, 5]$ gir $1 = 3k$ og $2 = 5k$
Fra første likning: $\displaystyle k = \frac{1}{3}$ . Fra andre likning: $\displaystyle k = \frac{2}{5}$ .
Siden $\displaystyle \frac{1}{3} \neq \frac{2}{5}$ , er de ikke parallelle.

Svar: Ikke parallelle

📝Oppgave 5

Avgjør om vektorparene er parallelle. Begrunn svaret.

\vec{u} = [4, 8]

\vec{v} = [2, 4]

\vec{a} = [3, 1]

\vec{b} = [6, 3]

\vec{p} = [-2, 5]

\vec{q} = [4, -10]

\vec{r} = [1, 0]

\vec{s} = [0, 1]

Vektorlikninger

To vektorer er like når komponentene er like. En vektorlikning i planet gir derfor to vanlige likninger, én for hver komponent. Å sette komponentene lik hverandre kalles koeffisientsammenlikning.

Er $\vec{u}$ og $\vec{v}$ ikke parallelle, kan enhver vektor $\vec{w}$ i planet skrives som $s\vec{u} + t\vec{v}$ på nøyaktig én måte. Er $\vec{u}$ og $\vec{v}$ parallelle, har likningen $s\vec{u} + t\vec{v} = \vec{w}$ enten ingen løsning eller uendelig mange.

✏️Eksempel 7: Vektorlikning med to ukjente

La $\vec{u} = [2, 1]$ , $\vec{v} = [-1, 3]$ og $\vec{w} = [7, 7]$ . Finn $s$ og $t$ slik at $s\vec{u} + t\vec{v} = \vec{w}$ .

s[2, 1] + t[-1, 3] = [7, 7]

[2s - t,\; s + 3t] = [7, 7]

Komponentene gir likningssettet
$2s - t = 7 \quad \text{(1)}$
$s + 3t = 7 \quad \text{(2)}$

Fra (2): $s = 7 - 3t$ . Innsatt i (1):
$2(7 - 3t) - t = 7$
$14 - 7t = 7$
$t = 1$

$s = 7 - 3 \cdot 1 = 4$

Kontroll: $4[2, 1] + 1 \cdot [-1, 3] = [8 - 1,\; 4 + 3] = [7, 7]$ ✓

Svar: $s = 4$ og $t = 1$ .

📝Oppgave 6

Finn $s$ og $t$ slik at likningen stemmer, eller vis at det ikke finnes slike tall.

s[2, 3] + t[1, -1] = [8, 7]

s[1, 2] + t[3, -1] = [-1, 5]

s[4, -2] + t[-2, 1] = [1, 3]

📝Oppgave 7

Vektorene $\vec{a} = [3, -1]$ og $\vec{b} = [1, 2]$ er gitt.

Løs vektorlikningen $2\vec{x} + \vec{a} = [5, 7]$ .

Bestem $s$ og $t$ slik at $s\vec{a} + t\vec{b} = [7, 0]$ .

Bestem $k$ slik at $\vec{a} + k\vec{b}$ er parallell med $[1, 1]$ .

Anvendelser av vektorer

Vektorer brukes i mange sammenhenger, spesielt i fysikk og geometri.

✏️Eksempel 8: Midtpunkt mellom to punkter

Finn midtpunktet $M$ på linjestykket mellom $A = (1, 3)$ og $B = (5, 7)$ ved hjelp av vektorer.

Løsning:

La $\vec{a} = \vec{OA} = [1, 3]$ og $\vec{b} = \vec{OB} = [5, 7]$ være stedvektorene.

Stedvektoren til midtpunktet er gjennomsnittet av stedvektorene:

$\begin{aligned} \vec{OM} &= \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b}) \\ &= \frac{1}{2}([1, 3] + [5, 7]) \\ &= \frac{1}{2}[6, 10] \\ &= [3, 5] \end{aligned}$

Altså er $M = (3, 5)$ .

Alternativ metode: Midtpunktsformelen gir direkte:
$\begin{aligned} M &= \left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \\ &= \left(\frac{1 + 5}{2}, \frac{3 + 7}{2}\right) \\ &= (3, 5) \end{aligned}$

Svar: $M = (3, 5)$

📝Oppgave 8

Bruk vektorer til å løse oppgavene.

Finn midtpunktet mellom $A = (2, -4)$ og $B = (8, 6)$ .

Punktet $A = (1, 2)$ flyttes med vektor $\vec{v} = [3, -1]$ . Hvor havner punktet?

Finn vektoren som fører punktet $(3, 5)$ til punktet $(-1, 2)$ .

📝Oppgave 9

Sammensatte oppgaver med vektorer.

I en trekant er $A = (0, 0)$ , $B = (6, 0)$ og $C = (2, 4)$ . Finn midtpunktene på alle tre sider.

Vis at vektoren fra $A$ til midtpunktet på $BC$ er $\vec{v} = [4, 2]$ .

Finn koordinatene til tyngdepunktet $T$ i trekanten. (Hint: $T$ deler medianen fra $A$ i forholdet $2:1$ )

Bevis med vektorer

I geometriske bevis velger vi to vektorer som ikke er parallelle, for eksempel $\vec{a}$ og $\vec{b}$ langs to av sidene i figuren, og uttrykker alle andre vektorer ved dem. Da kan vi vise

- at to linjestykker er parallelle: den ene vektoren er et tall ganger den andre,
- at et punkt $M$ er midtpunktet på $AB$ : $\displaystyle \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}$ ,
- at to punkter er samme punkt: vektorene til dem fra et felles startpunkt er like.

Fordi $\vec{a}$ og $\vec{b}$ ikke er parallelle, gjelder: Er $s\vec{a} + t\vec{b} = s_1\vec{a} + t_1\vec{b}$ , så er $s = s_1$ og $t = t_1$ . Det er den samme koeffisientsammenlikningen som i vektorlikningene.

✏️Eksempel 9: Parallellbevis i en trekant

I trekant $OAB$ er $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ . Punktet $P$ ligger på $OA$ med $\displaystyle \overrightarrow{OP} = \frac{1}{3}\vec{a}$ , og punktet $R$ ligger på $OB$ med $\displaystyle \overrightarrow{OR} = \frac{1}{3}\vec{b}$ .

a) Uttrykk $\overrightarrow{AB}$ og $\overrightarrow{PR}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

b) Vis at $PR$ er parallell med $AB$ , og at $AB$ er tre ganger så lang som $PR$ .

\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{OB} = -\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} - \vec{a}

\overrightarrow{PR} = \overrightarrow{PO} + \overrightarrow{OR} = -\frac{1}{3}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} = \frac{1}{3}\left(\vec{b} - \vec{a}\right)

Svar: $\overrightarrow{AB} = \vec{b} - \vec{a}$ og $\displaystyle \overrightarrow{PR} = \frac{1}{3}\left(\vec{b} - \vec{a}\right)$ .

b)
$\overrightarrow{PR} = \frac{1}{3}\left(\vec{b} - \vec{a}\right) = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{PR}$ er et tall ganger $\overrightarrow{AB}$ , så $PR \parallel AB$ .

$\left|\overrightarrow{AB}\right| = 3\left|\overrightarrow{PR}\right|$

Svar: $PR$ er parallell med $AB$ , og $AB$ er tre ganger så lang som $PR$ .

📝Oppgave 10

I trekant $ABC$ er $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{AC}$ . Punktet $D$ er midtpunktet på $AB$ , og $E$ er midtpunktet på $AC$ .

Uttrykk $\overrightarrow{BC}$ og $\overrightarrow{DE}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at $DE$ er parallell med $BC$ , og at $DE$ er halvparten så lang som $BC$ .

📝Oppgave 11

I parallellogrammet $ABCD$ er $\vec{a} = \overrightarrow{AB}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{AD}$ . Punktet $M$ er midtpunktet på diagonalen $AC$ , og $N$ er midtpunktet på diagonalen $BD$ .

Uttrykk $\overrightarrow{AC}$ og $\overrightarrow{BD}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Uttrykk $\overrightarrow{AM}$ og $\overrightarrow{AN}$ ved $\vec{a}$ og $\vec{b}$ .

Vis at diagonalene i et parallellogram halverer hverandre.

📝Oppgave 12

I trekant $OAB$ er $\vec{a} = \overrightarrow{OA}$ og $\vec{b} = \overrightarrow{OB}$ . Punktet $M$ er midtpunktet på $AB$ , og $N$ er midtpunktet på $OA$ . Linjestykkene $OM$ og $BN$ skjærer hverandre i punktet $S$ .

Vis at $\displaystyle \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{b}$ og $\displaystyle \overrightarrow{BN} = \frac{1}{2}\vec{a} - \vec{b}$ .

Sett $\overrightarrow{OS} = s \cdot \overrightarrow{OM}$ og $\overrightarrow{BS} = t \cdot \overrightarrow{BN}$ . Bruk at $\overrightarrow{OS} = \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{BS}$ , og bestem $s$ og $t$ .

Hva forteller svaret i b) om hvor $S$ ligger på $OM$ ?

Oppsummering

Vektor:
- En størrelse med både lengde og retning
- Skrives som $\vec{v}$ , $\bar{v}$ eller $\mathbf{v}$

Komponentform:
- $\vec{v} = [a, b]$ der $a$ og $b$ er komponentene
- $\vec{AB} = [x_2 - x_1, y_2 - y_1]$

Vektoroperasjoner:
- Addisjon: $[a_1, b_1] + [a_2, b_2] = [a_1 + a_2, b_1 + b_2]$
- Skalar multiplikasjon: $k[a, b] = [ka, kb]$
- Subtraksjon: $\vec{u} - \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{v})$

Spesielle vektorer:
- Nullvektor: $\vec{0} = [0, 0]$
- Enhetsvektorer: $\vec{i} = [1, 0]$ , $\vec{j} = [0, 1]$

Parallelle vektorer:
- $\vec{u} \parallel \vec{v}$ hvis $\vec{u} = k\vec{v}$ for en skalar $k \neq 0$

Vektorlikninger:
- $s\vec{u} + t\vec{v} = \vec{w}$ gir én likning per komponent (koeffisientsammenlikning)

Bevis med vektorer:
- Uttrykk vektorene ved to vektorer $\vec{a}$ og $\vec{b}$ som ikke er parallelle
- Parallell: $\overrightarrow{PR} = k\,\overrightarrow{AB}$ . Samme punkt: like vektorer fra samme startpunkt

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.