6.3
Parameterframstilling

6.3 Parameterframstilling

Alle fag for VG2

Parameterframstilling av linjer og anvendelser.

55 min
12 oppgaver
ParameterframstillingLinjer i planetSkjæringspunkterNaturvitenskapelige problemer
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Hva er parameterframstilling?

Til nå har vi beskrevet linjer og grafer med likninger som y=2x+3y = 2x + 3. En annen måte er å uttrykke både xx og yy som funksjoner av en tredje variabel, kalt en parameter.

Det er spesielt nyttig for å beskrive bevegelse, der parameteren ofte er tiden.

Parameterframstilling
En parameterframstilling av en kurve er et sett av likninger:

{x=x(t)y=y(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}

der tt er parameteren, og x(t)x(t) og y(t)y(t) er funksjoner av tt.

Når tt varierer, tegner punktet (x(t),y(t))(x(t), y(t)) opp kurven.

Parameterframstilling av linje

En linje kan beskrives ved et startpunkt og en retningsvektor.

Parameterframstilling av linje
En linje gjennom punktet P=(x0,y0)P = (x_0, y_0) med retningsvektor v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] har parameterframstilling:

r⃗(t)=p⃗+t⋅v⃗\vec{r}(t) = \vec{p} + t \cdot \vec{v}

eller på komponentform:
{x(t)=x0+t⋅ay(t)=y0+t⋅b\begin{cases} x(t) = x_0 + t \cdot a \\ y(t) = y_0 + t \cdot b \end{cases}

Her er p⃗=[x0,y0]\vec{p} = [x_0, y_0] stedvektoren til startpunktet.

✏️Eksempel 1: Parameterframstilling av linje

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom A=(1,2)A = (1, 2) og B=(4,6)B = (4, 6).

Løsning:

Velg et startpunkt. Vi bruker A=(1,2)A = (1, 2).

Finn retningsvektoren:
AB⃗=[4−1,6−2]=[3,4]\vec{AB} = [4 - 1, 6 - 2] = [3, 4]

Sett opp parameterframstillingen:
r⃗(t)=[1,2]+t[3,4]\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4]

På komponentform:
{x(t)=1+3ty(t)=2+4t\begin{cases} x(t) = 1 + 3t \\ y(t) = 2 + 4t \end{cases}

Sjekk:
- For t=0t = 0: (x,y)=(1,2)=A(x, y) = (1, 2) = A ✓
- For t=1t = 1: (x,y)=(1+3,2+4)=(4,6)=B(x, y) = (1 + 3, 2 + 4) = (4, 6) = B ✓

Svar: r⃗(t)=[1,2]+t[3,4]\vec{r}(t) = [1, 2] + t[3, 4], altså x=1+3tx = 1 + 3t og y=2+4ty = 2 + 4t.

Gjør dette i GeoGebra

Linje med parameterframstilling

Bruk glidebryteren for å se hvordan punktet beveger seg langs linjen når tt endres.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

t_1 = Slider(-3, 5, 0.1)
A = (1, 2)
v = Vector((0, 0), (3, 4))
P = A + t_1 * (3, 4)
linje = Line(A, A + (3, 4))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
📝Oppgave 1

Finn parameterframstillingen for linjen gjennom de gitte punktene.

a
A=(0,0)A = (0, 0) og B=(2,3)B = (2, 3)
b
A=(2,1)A = (2, 1) og B=(5,4)B = (5, 4)
c
A=(3,−1)A = (3, -1) og B=(1,5)B = (1, 5)
d
A=(−2,4)A = (-2, 4) og B=(6,0)B = (6, 0)

Fra parameterframstilling til kartesisk likning

Noen ganger vil vi finne den vanlige likningen y=ax+by = ax + b fra en parameterframstilling.

✏️Eksempel 2: Fra parameter til kartesisk form
Finn den kartesiske likningen for linjen med parameterframstilling:
{x=1+2ty=3+4t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + 4t \end{cases}
Løsning:

Løs den første likningen for tt:
x=1+2t⇒t=x−12x = 1 + 2t \Rightarrow t = \frac{x - 1}{2}

Sett inn i den andre likningen:
y=3+4⋅x−12=3+2(x−1)=3+2x−2=2x+1\begin{aligned} y &= 3 + 4 \cdot \frac{x - 1}{2} \\ &= 3 + 2(x - 1) \\ &= 3 + 2x - 2 \\ &= 2x + 1 \end{aligned}

Svar: Den kartesiske likningen er y=2x+1y = 2x + 1.

Kontroll: Fra parameterframstillingen ser vi at retningsvektoren er [2,4][2, 4], så stigningstallet er 42=2\displaystyle \frac{4}{2} = 2 ✓

📝Oppgave 2

Finn den kartesiske likningen for linjen.

a
x=2+t,y=1+3tx = 2 + t, y = 1 + 3t
b
x=3t,y=−1+2tx = 3t, y = -1 + 2t
c
x=4−2t,y=3+tx = 4 - 2t, y = 3 + t
Løs oppgaven

Skjæringspunkt mellom linjer

For å finne skjæringspunktet mellom to linjer gitt ved parameterframstilling, setter vi likningene lik hverandre.

Likningssettet kan ha
- én løsning: linjene skjærer hverandre i ett punkt
- ingen løsning (motstrid): linjene er parallelle og ulike
- uendelig mange løsninger: linjene er sammenfallende

I de to siste tilfellene er retningsvektorene parallelle.

✏️Eksempel 3: Skjæringspunkt

Finn skjæringspunktet mellom linjene:

Linje 1: {x=1+2ty=3+t\begin{cases} x = 1 + 2t \\ y = 3 + t \end{cases}

Linje 2: {x=4+sy=1+2s\begin{cases} x = 4 + s \\ y = 1 + 2s \end{cases}

Løsning:

Viktig: Vi må bruke forskjellige parameternavn for de to linjene (tt og ss).

I skjæringspunktet er xx- og yy-koordinatene like:

1+2t=4+s(1)1 + 2t = 4 + s \quad \text{(1)}
3+t=1+2s(2)3 + t = 1 + 2s \quad \text{(2)}

Fra (1): s=2t−3s = 2t - 3

Sett inn i (2):
3+t=1+2(2t−3)3 + t = 1 + 2(2t - 3)
3+t=1+4t−63 + t = 1 + 4t - 6
3+t=4t−53 + t = 4t - 5
8=3t8 = 3t
t=83t = \frac{8}{3}

Finn koordinatene:
x=1+2⋅83=1+163=193x = 1 + 2 \cdot \frac{8}{3} = 1 + \frac{16}{3} = \frac{19}{3}
y=3+83=173y = 3 + \frac{8}{3} = \frac{17}{3}

Svar: Skjæringspunktet er (193,173)\displaystyle \left(\frac{19}{3}, \frac{17}{3}\right).

📝Oppgave 3

Finn skjæringspunktet mellom linjene.

a
ℓ1:x=t,y=2t\ell_1: x = t, y = 2t og ℓ2:x=3−s,y=s\ell_2: x = 3 - s, y = s
b
ℓ1:x=2+t,y=1+t\ell_1: x = 2 + t, y = 1 + t og ℓ2:x=1+2s,y=3−s\ell_2: x = 1 + 2s, y = 3 - s
c
ℓ1:x=1+3t,y=2t\ell_1: x = 1 + 3t, y = 2t og ℓ2:x=2s,y=1+s\ell_2: x = 2s, y = 1 + s
d
ℓ1:x=1+2t,y=3+t\ell_1: x = 1 + 2t, y = 3 + t og ℓ2:x=4s,y=2s\ell_2: x = 4s, y = 2s

Bevegelse og hastighetsvektor

Parameterframstilling er naturlig for å beskrive bevegelse, der parameteren tt ofte representerer tid.

Hastighetsvektor
Hvis et punkt beveger seg langs kurven r⃗(t)=[x(t),y(t)]\vec{r}(t) = [x(t), y(t)], er hastighetsvektoren:

v⃗(t)=r⃗′(t)=[x′(t),y′(t)]\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [x'(t), y'(t)]

Hastighetsvektoren er tangent til kurven og peker i bevegelsesretningen.

Farten (hastighetens størrelse) er:
∣v⃗(t)∣=(x′(t))2+(y′(t))2|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x'(t))^2 + (y'(t))^2}

✏️Eksempel 4: Bevegelse langs en linje

En partikkel beveger seg langs banen r⃗(t)=[1+2t,3+4t]\vec{r}(t) = [1 + 2t, 3 + 4t] der tt er tid i sekunder og posisjon i meter.

a) Finn hastighetsvektoren.
b) Finn farten.
c) Hvor er partikkelen etter 3 sekunder?

Løsning:

a) Hastighetsvektoren:
v⃗(t)=r⃗′(t)=[ddt(1+2t),ddt(3+4t)]=[2,4]\vec{v}(t) = \vec{r}'(t) = [\frac{d}{dt}(1 + 2t), \frac{d}{dt}(3 + 4t)] = [2, 4]

Hastighetsvektoren er konstant (rettlinjet bevegelse med konstant hastighet).

Svar: v⃗=[2,4]\vec{v} = [2, 4]

b) Farten:
∣v⃗∣=22+42=20=25≈4,47 m/s|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 4^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47 \text{ m/s}

Svar: 25≈4,472\sqrt{5} \approx 4{,}47 m/s

c) Posisjon etter 3 sekunder:
r⃗(3)=[1+2⋅3,3+4⋅3]=[7,15]\vec{r}(3) = [1 + 2 \cdot 3, 3 + 4 \cdot 3] = [7, 15]

Partikkelen er i punktet (7,15)(7, 15).

Svar: I punktet (7,15)(7, 15).

📝Oppgave 4

En partikkel beveger seg langs banen r⃗(t)=[3t,4t−t2]\vec{r}(t) = [3t, 4t - t^2] der t≥0t \geq 0.

a

Finn hastighetsvektoren v⃗(t)\vec{v}(t).

b

Finn farten ved t=0t = 0 og t=2t = 2.

c

Når er hastigheten horisontal (parallell med xx-aksen)?

Løs oppgaven
📝Oppgave 5

Praktiske anvendelser.

a

Et prosjektil skytes ut og følger banen r⃗(t)=[200t,100t−5t2]\vec{r}(t) = [200t, 100t - 5t^2] (i meter). Finn maksimal høyde.

b

Når og hvor lander prosjektilet (når y=0y = 0 igjen)?

c

Finn farten ved landing.

Løs oppgaven

Oppsummering

Parameterframstilling:
- Kurve: {x=x(t)y=y(t)\begin{cases} x = x(t) \\ y = y(t) \end{cases}
- Vektor: r⃗(t)=[x(t),y(t)]\vec{r}(t) = [x(t), y(t)]

Linje:
r⃗(t)=p⃗+tv⃗\vec{r}(t) = \vec{p} + t\vec{v}

Bevegelse:
- Hastighetsvektor: v⃗(t)=r⃗′(t)\vec{v}(t) = \vec{r}'(t)
- Fart: ∣v⃗(t)∣=(x′)2+(y′)2|\vec{v}(t)| = \sqrt{(x')^2 + (y')^2}

Skjæringspunkt: Sett likningene lik hverandre med forskjellige parameternavn.

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 4 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.