6.2
Vektorregning

6.2 Vektorregning

Alle fag for VG2

Skalarprodukt, lengde og vinkel mellom vektorer.

55 min
12 oppgaver
SkalarproduktVektorlengdeVinkel mellom vektorerOrtogonalitet
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 12 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Lengde av en vektor

Lengden (eller normen) til en vektor er avstanden fra startpunktet til sluttpunktet. Vi bruker Pytagoras' setning til å beregne denne.

Lengde av vektor
Lengden (eller normen) til en vektor v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] er:

∣v⃗∣=a2+b2|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Lengden skrives med vertikale streker rundt vektoren: ∣v⃗∣|\vec{v}|.

Merk: Lengden er alltid et ikke-negativt tall.

✏️Eksempel 1: Lengde av vektor

Finn lengden til vektorene:

a) u⃗=[3,4]\vec{u} = [3, 4]
b) v⃗=[−5,12]\vec{v} = [-5, 12]
c) w⃗=[2,−2]\vec{w} = [2, -2]

Løsning:

a) ∣u⃗∣=32+42=9+16=25=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Svar: 55

b) ∣v⃗∣=(−5)2+122=25+144=169=13|\vec{v}| = \sqrt{(-5)^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13

Svar: 1313

c) ∣w⃗∣=22+(−2)2=4+4=8=22|\vec{w}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}

Svar: 222\sqrt{2}

📝Oppgave 1

Finn lengden til vektorene.

a
a⃗=[6,8]\vec{a} = [6, 8]
b
b⃗=[5,−12]\vec{b} = [5, -12]
c
c⃗=[−1,1]\vec{c} = [-1, 1]
d
d⃗=[0,7]\vec{d} = [0, 7]
Løs oppgaven

Enhetsvektor

Noen ganger trenger vi en vektor med lengde 1 som peker i en bestemt retning.

Enhetsvektor
En enhetsvektor er en vektor med lengde 1.

For å finne enhetsvektoren v^\hat{v} i samme retning som v⃗\vec{v}, deler vi v⃗\vec{v} på sin egen lengde:

v^=v⃗∣v⃗∣=1∣v⃗∣v⃗\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|} = \frac{1}{|\vec{v}|}\vec{v}

Merk: Vi bruker ofte "hatt"-notasjon (v^\hat{v}) for enhetsvektorer.

✏️Eksempel 2: Enhetsvektor

Finn enhetsvektoren i samme retning som v⃗=[3,4]\vec{v} = [3, 4].

Løsning:

Først finner vi lengden:
∣v⃗∣=32+42=25=5|\vec{v}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5

Enhetsvektoren blir:
v^=15[3,4]=[35,45]\hat{v} = \frac{1}{5}[3, 4] = \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]

Kontroll: ∣v^∣=(35)2+(45)2=925+1625=2525=1\displaystyle |\hat{v}| = \sqrt{\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{\frac{9}{25} + \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25}{25}} = 1 ✓

Svar: [35,45]\displaystyle \left[\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right]

📝Oppgave 2

Finn enhetsvektoren i samme retning som den gitte vektoren.

a
u⃗=[5,12]\vec{u} = [5, 12]
b
v⃗=[1,1]\vec{v} = [1, 1]
c
w⃗=[−4,3]\vec{w} = [-4, 3]

Skalarproduktet

Skalarproduktet (også kalt prikkproduktet eller det indre produktet) er en operasjon mellom to vektorer som gir et tall (en skalar).

Skalarprodukt
Skalarproduktet av to vektorer u⃗=[a1,b1]\vec{u} = [a_1, b_1] og v⃗=[a2,b2]\vec{v} = [a_2, b_2] er:

u⃗⋅v⃗=a1⋅a2+b1⋅b2\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 \cdot a_2 + b_1 \cdot b_2

Skalarproduktet er et tall, ikke en vektor.

Regneregler:
- u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u} (kommutativ)
- u⃗⋅(v⃗+w⃗)=u⃗⋅v⃗+u⃗⋅w⃗\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w} (distributiv)
- (ku⃗)⋅v⃗=k(u⃗⋅v⃗)(k\vec{u}) \cdot \vec{v} = k(\vec{u} \cdot \vec{v})
- v⃗⋅v⃗=∣v⃗∣2\vec{v} \cdot \vec{v} = |\vec{v}|^2

✏️Eksempel 3: Skalarprodukt

La u⃗=[2,3]\vec{u} = [2, 3] og v⃗=[4,−1]\vec{v} = [4, -1].

Regn ut:
a) u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}
b) v⃗⋅u⃗\vec{v} \cdot \vec{u}
c) u⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{u}
d) ∣u⃗∣2|\vec{u}|^2

Løsning:

a) u⃗⋅v⃗=2⋅4+3⋅(−1)=8−3=5\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-1) = 8 - 3 = 5

Svar: 55

b) v⃗⋅u⃗=4⋅2+(−1)⋅3=8−3=5\vec{v} \cdot \vec{u} = 4 \cdot 2 + (-1) \cdot 3 = 8 - 3 = 5

Vi ser at u⃗⋅v⃗=v⃗⋅u⃗\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}.

Svar: 55

c) u⃗⋅u⃗=2⋅2+3⋅3=4+9=13\vec{u} \cdot \vec{u} = 2 \cdot 2 + 3 \cdot 3 = 4 + 9 = 13

Svar: 1313

d) ∣u⃗∣2=(22+32)2=22+32=13|\vec{u}|^2 = (\sqrt{2^2 + 3^2})^2 = 2^2 + 3^2 = 13

Vi bekrefter at u⃗⋅u⃗=∣u⃗∣2\vec{u} \cdot \vec{u} = |\vec{u}|^2.

Svar: 1313

📝Oppgave 3

La a⃗=[3,−2]\vec{a} = [3, -2] og b⃗=[1,4]\vec{b} = [1, 4]. Regn ut:

a
a⃗⋅b⃗\vec{a} \cdot \vec{b}
b
a⃗⋅a⃗\vec{a} \cdot \vec{a}
c
b⃗⋅b⃗\vec{b} \cdot \vec{b}
d
(a⃗+b⃗)⋅a⃗(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a}
Løs oppgaven

Vinkel mellom vektorer

Skalarproduktet har en viktig geometrisk tolkning: det forteller oss om vinkelen mellom to vektorer.

📜Vinkel mellom vektorer
Vinkelen θ\theta mellom to vektorer u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v} er gitt ved:

cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

eller ekvivalent:

u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣⋅∣v⃗∣⋅cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cdot \cos \theta

Utledning: Vektorene u⃗\vec{u}, v⃗\vec{v} og u⃗−v⃗\vec{u} - \vec{v} danner en trekant der θ\theta er vinkelen mellom u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v}. Cosinussetningen gir
∣u⃗−v⃗∣2=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ|\vec{u} - \vec{v}|^2 = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta
Med regnereglene for skalarproduktet får vi også
∣u⃗−v⃗∣2=(u⃗−v⃗)⋅(u⃗−v⃗)=∣u⃗∣2+∣v⃗∣2−2 u⃗⋅v⃗|\vec{u} - \vec{v}|^2 = (\vec{u} - \vec{v}) \cdot (\vec{u} - \vec{v}) = |\vec{u}|^2 + |\vec{v}|^2 - 2\,\vec{u} \cdot \vec{v}
Høyresidene er like, så u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta.

Vinkelen θ\theta er alltid mellom 0°0° og 180°180°.

Gjør dette i GeoGebra

Vinkel mellom vektorer

Dra i punktene for å endre vektorene og se hvordan vinkelen og skalarproduktet endrer seg.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

O = (0, 0)
A = (3, 1)
B = (1, 3)
u = Vector(O, A)
v = Vector(O, B)
theta = Angle(u, v)
tekst = Text("u · v = " + (x(A)*x(B) + y(A)*y(B)), (4, 3))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
✏️Eksempel 4: Vinkel mellom vektorer

Finn vinkelen mellom u⃗=[1,3]\vec{u} = [1, \sqrt{3}] og v⃗=[3,1]\vec{v} = [\sqrt{3}, 1].

Løsning:

Beregn skalarproduktet:
u⃗⋅v⃗=1⋅3+3⋅1=3+3=23\vec{u} \cdot \vec{v} = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3} + \sqrt{3} = 2\sqrt{3}

Beregn lengdene:
∣u⃗∣=12+(3)2=1+3=2|\vec{u}| = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = 2
∣v⃗∣=(3)2+12=3+1=2|\vec{v}| = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3 + 1} = 2

Bruk vinkelformelen:
cos⁡θ=232⋅2=234=32\cos \theta = \frac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Finn vinkelen:
θ=cos⁡−1(32)=30°\theta = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 30°

Vinkelen mellom vektorene er 30°30°.

Svar: 30°30°

📝Oppgave 4

Finn vinkelen mellom vektorparene.

a
u⃗=[1,0]\vec{u} = [1, 0] og v⃗=[1,1]\vec{v} = [1, 1]
b
a⃗=[3,4]\vec{a} = [3, 4] og b⃗=[4,−3]\vec{b} = [4, -3]
c
p⃗=[2,2]\vec{p} = [2, 2] og q⃗=[−1,1]\vec{q} = [-1, 1]
d
r⃗=[1,1]\vec{r} = [1, 1] og s⃗=[−1,−1]\vec{s} = [-1, -1]
Løs oppgaven

Ortogonale vektorer

Når to vektorer står vinkelrett på hverandre, sier vi at de er ortogonale.

Ortogonale vektorer
To vektorer u⃗\vec{u} og v⃗\vec{v} er ortogonale (vinkelrette) hvis og bare hvis:

u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Skrivemåte: u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}

Merk: Dette følger fra vinkelformelen: Hvis θ=90°\theta = 90°, så er cos⁡90°=0\cos 90° = 0, og dermed u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0.

✏️Eksempel 5: Ortogonale vektorer

a) Avgjør om u⃗=[2,3]\vec{u} = [2, 3] og v⃗=[3,−2]\vec{v} = [3, -2] er ortogonale.

b) Finn en vektor som er ortogonal på w⃗=[4,5]\vec{w} = [4, 5].

Løsning:

a) Vi beregner skalarproduktet:
u⃗⋅v⃗=2⋅3+3⋅(−2)=6−6=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 3 + 3 \cdot (-2) = 6 - 6 = 0

Siden u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \cdot \vec{v} = 0, er u⃗⊥v⃗\vec{u} \perp \vec{v}. Ja, de er ortogonale.

b) La n⃗=[a,b]\vec{n} = [a, b] være ortogonal på w⃗=[4,5]\vec{w} = [4, 5].

Da må w⃗⋅n⃗=0\vec{w} \cdot \vec{n} = 0:
4a+5b=04a + 5b = 0

Velger vi a=5a = 5, får vi b=−4b = -4.

Svar: n⃗=[5,−4]\vec{n} = [5, -4] er ortogonal på w⃗\vec{w}.

Generelt tips: For v⃗=[a,b]\vec{v} = [a, b] er [−b,a][-b, a] og [b,−a][b, -a] alltid ortogonale på v⃗\vec{v}.

📝Oppgave 5

Arbeid med ortogonale vektorer.

a

Avgjør om a⃗=[5,2]\vec{a} = [5, 2] og b⃗=[2,−5]\vec{b} = [2, -5] er ortogonale.

b

Finn en vektor ortogonal på u⃗=[3,−1]\vec{u} = [3, -1].

c

Finn alle vektorer med lengde 5 som er ortogonale på v⃗=[3,4]\vec{v} = [3, 4].

Projeksjon av vektor

Projeksjonen av en vektor på en annen er "skyggen" av den første vektoren langs den andre.

Projeksjon
Projeksjonen av u⃗\vec{u} på v⃗\vec{v} er vektoren:

projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗=u⃗⋅v⃗v⃗⋅v⃗v⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{\vec{v} \cdot \vec{v}} \vec{v}

Lengden av projeksjonen (skalarprojeksjonen) er:
∣projv⃗u⃗∣=∣u⃗⋅v⃗∣∣v⃗∣|\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u}| = \frac{|\vec{u} \cdot \vec{v}|}{|\vec{v}|}

Gjør dette i GeoGebra

Projeksjon av vektor

Se hvordan projeksjonen av u⃗\vec{u} på v⃗\vec{v} varierer når du endrer vektorene.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

O = (0, 0)
A = (4, 3)
B = (5, 0)
u = Vector(O, A)
v = Vector(O, B)
proj = ((x(A)*x(B) + y(A)*y(B))/(x(B)^2 + y(B)^2)) * v

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra(åpnes i ny fane)
✏️Eksempel 6: Projeksjon

Finn projeksjonen av u⃗=[4,3]\vec{u} = [4, 3] på v⃗=[5,0]\vec{v} = [5, 0].

Løsning:

Beregn skalarproduktet u⃗⋅v⃗\vec{u} \cdot \vec{v}:
u⃗⋅v⃗=4⋅5+3⋅0=20\vec{u} \cdot \vec{v} = 4 \cdot 5 + 3 \cdot 0 = 20

Beregn ∣v⃗∣2|\vec{v}|^2:
∣v⃗∣2=52+02=25|\vec{v}|^2 = 5^2 + 0^2 = 25

Beregn projeksjonen:
projv⃗u⃗=2025[5,0]=45[5,0]=[4,0]\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{20}{25} [5, 0] = \frac{4}{5} [5, 0] = [4, 0]

Tolkning: Projeksjonen av u⃗\vec{u} på den horisontale vektoren v⃗\vec{v} er den horisontale komponenten av u⃗\vec{u}.

Svar: [4,0][4, 0]

📝Oppgave 6

Finn projeksjonen av den første vektoren på den andre.

a
u⃗=[3,4]\vec{u} = [3, 4] på v⃗=[1,0]\vec{v} = [1, 0]
b
a⃗=[2,6]\vec{a} = [2, 6] på b⃗=[3,4]\vec{b} = [3, 4]
c
p⃗=[1,2]\vec{p} = [1, 2] på q⃗=[2,1]\vec{q} = [2, 1]

Anvendelser

Skalarprodukt og projeksjon har mange praktiske anvendelser.

✏️Eksempel 7: Arbeid i fysikk

En kraft F⃗=[30,40]\vec{F} = [30, 40] N virker på en gjenstand som flyttes langs vektoren s⃗=[5,0]\vec{s} = [5, 0] m. Beregn arbeidet som utføres.

Løsning:

I fysikk er arbeid definert som:
W=F⃗⋅s⃗W = \vec{F} \cdot \vec{s}

Vi beregner skalarproduktet:
W=[30,40]⋅[5,0]=30⋅5+40⋅0=150 JW = [30, 40] \cdot [5, 0] = 30 \cdot 5 + 40 \cdot 0 = 150 \text{ J}

Arbeidet er 150 joule.

Tolkning: Bare kraftkomponenten i bevegelsesretningen (30 N) bidrar til arbeidet. Den vertikale kraftkomponenten (40 N) gjør ikke noe arbeid når bevegelsen er horisontal.

Svar: Arbeidet er 150150 J.

📝Oppgave 7

Anvendelsesoppgaver med skalarprodukt.

a

En kraft F⃗=[20,15]\vec{F} = [20, 15] N virker på en gjenstand som flyttes s⃗=[4,3]\vec{s} = [4, 3] m. Finn arbeidet.

b

Finn vinkelen mellom kraften og forskyvningen i oppgave a.

c

En kraft F⃗=[0,50]\vec{F} = [0, 50] N virker på en gjenstand som flyttes s⃗=[10,0]\vec{s} = [10, 0] m. Finn arbeidet og forklar resultatet.

Løs oppgaven

Oppsummering

Lengde av vektor:
∣v⃗∣=a2+b2|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2}

Enhetsvektor:
v^=v⃗∣v⃗∣\hat{v} = \frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}

Skalarprodukt:
u⃗⋅v⃗=a1a2+b1b2\vec{u} \cdot \vec{v} = a_1 a_2 + b_1 b_2

Vinkel mellom vektorer:
cos⁡θ=u⃗⋅v⃗∣u⃗∣⋅∣v⃗∣\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}

Ortogonale vektorer:
u⃗⊥v⃗⇔u⃗⋅v⃗=0\vec{u} \perp \vec{v} \Leftrightarrow \vec{u} \cdot \vec{v} = 0

Projeksjon:
projv⃗u⃗=u⃗⋅v⃗∣v⃗∣2v⃗\text{proj}_{\vec{v}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{v}|^2} \vec{v}

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.