7.1 Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen | Matematikk R1

Sinus, cosinus og tangens definert via enhetssirkelen, radianer og eksakte verdier.

60 min

21 oppgaver

EnhetssirkelenSinusCosinusTangensRadianerEksakte verdier

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

7.2Trigonometriske grafer 7.3Trigonometriske likninger 7.4Trigonometriske identiteter 7.5Derivasjon av trigonometriske funksjoner 7.6Sinussetningen og cosinussetningen

Trigonometriske funksjoner

Trigonometri handler om sammenhengen mellom vinkler og sidelengder. Fra ungdomsskolen kjenner du sinus, cosinus og tangens definert i rettvinklede trekanter. Nå skal vi utvide definisjonene slik at de gjelder for alle vinkler, ikke bare for vinkler mellom $0°$ og $90°$ .

Nøkkelen til denne utvidelsen er enhetssirkelen -- en sirkel med sentrum i origo og radius $1$ .

📝Oppgave 1

En rettvinklet trekant har hypotenus $10$ og en vinkel på $30°$ . Finn de to katetene.

Enhetssirkelen

Enhetssirkelen er en sirkel med sentrum i origo og radius $1$ i et koordinatsystem. Vi bruker den til å definere sinus og cosinus for alle vinkler.

Tenk deg en peker som starter langs den positive $x$ -aksen og roterer mot klokka. Vinkelen $v$ måler hvor langt pekeren har rotert. Punktet der pekeren treffer sirkelen har koordinater $(\cos v, \sin v)$ .

Sinus og cosinus (enhetssirkelen)

v

Tangens

\tan v = \frac{\sin v}{\cos v}, \quad \cos v \neq 0

Enhetssirkelen deles inn i fire kvadranter:

Kvadrant	Vinkel	$\sin v$	$\cos v$	$\tan v$
I	$0° < v < 90°$	$+$	$+$	$+$
II	$90° < v < 180°$	$+$	$-$	$-$
III	$180° < v < 270°$	$-$	$-$	$+$
IV	$270° < v < 360°$	$-$	$+$	$-$

Huskeregel: «Alle Studenter Tar Caffe» (All, Sin, Tan, Cos er positive i henholdsvis I, II, III, IV kvadrant).

✏️Eksempel 1: Verdier fra enhetssirkelen

Finn $\sin 150°$ , $\cos 150°$ og $\tan 150°$ .

Losning:

Vinkelen $150°$ ligger i andre kvadrant. Referansevinkelen er $180° - 150° = 30°$ .

I andre kvadrant er sinus positiv og cosinus negativ, så:

$\sin 150° = \sin 30° = \frac{1}{2}$

$\cos 150° = -\cos 30° = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\tan 150° = \frac{\sin 150°}{\cos 150°} = \frac{\frac{1}{2}}{-\frac{\sqrt{3}}{2}} = -\frac{1}{\sqrt{3}} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

📝Oppgave 2

Bruk enhetssirkelen til å finne verdiene. Oppgi eksakte verdier.

\sin 210°

\cos 210°

\sin 315°

\cos 315°

\tan 120°

\sin 270°

\cos 270°

Løs oppgaven Tren

Radianer

I matematikk bruker vi ofte radianer som vinkelmål i stedet for grader. Radianer er den naturlige vinkelenheten fordi den forenkler mange formler, spesielt innen derivasjon og integrasjon.

En radian er definert som vinkelen som spenner ut en bue med lengde lik radiusen. Siden omkretsen til en sirkel med radius $r$ er $2\pi r$ , tilsvarer en hel omdreining $2\pi$ radianer.

Radianer

\pi \text{ rad} = 180°

Grader	$0°$	$30°$	$45°$	$60°$	$90°$	$180°$	$270°$	$360°$
Radianer	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$	$\pi$	$\displaystyle \frac{3\pi}{2}$	$2\pi$

✏️Eksempel 2: Omregning mellom grader og radianer

a) Gjor om $135°$ til radianer.
b) Gjor om $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ radianer til grader.

Losning:

a) $\displaystyle 135° = 135 \cdot \frac{\pi}{180} = \frac{135\pi}{180} = \frac{3\pi}{4}$

b) $\displaystyle \frac{5\pi}{4} = \frac{5\pi}{4} \cdot \frac{180}{\pi} = \frac{5 \cdot 180}{4} = 225°$

📝Oppgave 3

Regn om mellom grader og radianer.

Gjor om $60°$ til radianer

Gjor om $240°$ til radianer

Gjor om $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ til grader

Gjor om $\displaystyle \frac{7\pi}{6}$ til grader

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Regn om til radianer og oppgi svaret som en brok med $\pi$ .

15°

75°

330°

225°

Løs oppgaven Tren

Eksakte trigonometriske verdier

For standardvinklene $0$ , $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ kan vi finne eksakte verdier for sinus og cosinus. Disse verdiene ma du kunne utenat.

📜Eksakte verdier for standardvinklene

$v$	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	$\displaystyle \frac{\pi}{4}$	$\displaystyle \frac{\pi}{3}$	$\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\sin v$	$0$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$\cos v$	$1$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}$	$\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$	$\displaystyle \frac{1}{2}$	$0$
$\tan v$	$0$	$\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$\sqrt{3}$	udef.

Huskeregel for sinus: Tellerfolgen

\sqrt{0}, \sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}

delt pa

2

✏️Eksempel 3: Eksakte verdier for vinkler utenfor forste kvadrant

Finn eksakte verdier for:
a) $\displaystyle \sin \frac{2\pi}{3}$
b) $\displaystyle \cos \frac{5\pi}{4}$
c) $\displaystyle \tan \frac{11\pi}{6}$

Losning:

a) $\displaystyle \frac{2\pi}{3}$ ligger i andre kvadrant. Referansevinkel: $\displaystyle \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$ .

$\sin \frac{2\pi}{3} = \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(Sinus er positiv i andre kvadrant.)

b) $\displaystyle \frac{5\pi}{4}$ ligger i tredje kvadrant. Referansevinkel: $\displaystyle \frac{5\pi}{4} - \pi = \frac{\pi}{4}$ .

$\cos \frac{5\pi}{4} = -\cos \frac{\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

(Cosinus er negativ i tredje kvadrant.)

c) $\displaystyle \frac{11\pi}{6}$ ligger i fjerde kvadrant. Referansevinkel: $\displaystyle 2\pi - \frac{11\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$ .

$\tan \frac{11\pi}{6} = -\tan \frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

(Tangens er negativ i fjerde kvadrant.)

📝Oppgave 5

Finn eksakte verdier uten kalkulator.

\displaystyle \sin \frac{3\pi}{4}

\displaystyle \cos \frac{5\pi}{3}

\displaystyle \tan \frac{4\pi}{3}

\displaystyle \sin \frac{7\pi}{6}

Løs oppgaven Tren

Den pytagoreiske identiteten

Det finnes en grunnleggende sammenheng mellom sinus og cosinus som gjelder for alle vinkler. Denne sammenhengen folger direkte fra Pytagoras' setning og enhetssirkelen.

📜Den pytagoreiske identiteten

For alle vinkler

x

gjelder:

$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Bevis: Punktet $(\cos x, \sin x)$ ligger pa enhetssirkelen $x^2 + y^2 = 1$ . Ved a sette inn far vi $(\cos x)^2 + (\sin x)^2 = 1$ .

Fra

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

kan vi utlede:

$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$

Disse omskrivningene er svart nyttige nar vi skal forenkle trigonometriske uttrykk.

✏️Eksempel 4: Bruk av den pytagoreiske identiteten

Gitt at $\displaystyle \sin x = \frac{3}{5}$ og $x$ ligger i andre kvadrant. Finn $\cos x$ og $\tan x$ .

Losning:

Vi bruker $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ :

$\left(\frac{3}{5}\right)^2 + \cos^2 x = 1$
$\frac{9}{25} + \cos^2 x = 1$
$\cos^2 x = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$
$\cos x = \pm \frac{4}{5}$

Siden $x$ er i andre kvadrant, er $\cos x < 0$ , sa:

$\cos x = -\frac{4}{5}$

Da blir:

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\frac{3}{5}}{-\frac{4}{5}} = -\frac{3}{4}$

📝Oppgave 6

Bruk den pytagoreiske identiteten til a finne de ukjente verdiene.

\displaystyle \cos x = \frac{5}{13}

x

i forste kvadrant. Finn

\sin x

\displaystyle \sin x = -\frac{7}{25}

x

i tredje kvadrant. Finn

\cos x

\displaystyle \cos x = -\frac{1}{3}

x

i andre kvadrant. Finn

\sin x

\tan x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Forenkle uttrykkene.

\sin^2 x + \cos^2 x + \tan^2 x

\displaystyle \frac{\sin^2 x}{1 - \cos x}

(\sin x + \cos x)^2 - 1

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Bruk GeoGebra til a tegne enhetssirkelen og verifiser at punktet $(\cos 45°, \sin 45°)$ ligger pa sirkelen.

📝Oppgave 9

Vis at for alle vinkler $x$ gjelder:

\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

\displaystyle \frac{\cos x}{1 + \sin x} + \frac{1 + \sin x}{\cos x} = \frac{2}{\cos x}

📝Oppgave 10

Regn ut uten kalkulator.

\sin 0 + \cos 0 + \tan 0

\displaystyle \sin \frac{\pi}{2} + \cos \pi + \tan \frac{\pi}{4}

\displaystyle 2\sin \frac{\pi}{6} \cdot \cos \frac{\pi}{6}

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Finn alle vinkler $v \in [0, 2\pi)$ som oppfyller:

\cos v = 0

\sin v = -1

\tan v = 0

\sin v = \cos v

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 12

Finn den eksakte verdien av $\displaystyle \sin^2 \frac{\pi}{3} + \cos^2 \frac{\pi}{6} + \tan^2 \frac{\pi}{4}$ .

📝Oppgave 13

Gitt at $\tan x = 2$ og $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ . Finn eksakte verdier for $\sin x$ og $\cos x$ .

📝Oppgave 14

Vis at $\sin(\pi - x) = \sin x$ og $\cos(\pi - x) = -\cos x$ for alle $x$ .

📝Oppgave 15

Avgjor om paskanden er sann eller usann, og begrunn svaret.

\sin 90° = 1

\cos(-x) = -\cos x

\tan 180° = 0

📝Oppgave 16

Forenkle uttrykket $\displaystyle \frac{\sin^4 x - \cos^4 x}{\sin^2 x - \cos^2 x}$ .

Oppsummering

Enhetssirkelen: Punktet pa enhetssirkelen for vinkel $v$ er $(\cos v, \sin v)$ .

Radianer og grader: $\pi \text{ rad} = 180°$

Eksakte verdier: Du ma kunne verdiene for $0$ , $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle \frac{\pi}{3}$ og $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ .

Pytagoreisk identitet: $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$

Tangens: $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.