7.3 Trigonometriske likninger

Løsning av likninger med sinus, cosinus og tangens.

60 min

23 oppgaver

Trigonometriske likningerGenerelle løsningerSubstitusjonPytagoreisk identitet

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 23 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Trigonometriske likninger

En trigonometrisk likning er en likning som inneholder trigonometriske funksjoner. Siden sinus og cosinus er periodiske, har slike likninger typisk uendelig mange losninger.

Nokkelen til a lose trigonometriske likninger er a:
1. Finne losningene i ett intervall (f.eks. $[0, 2\pi)$ ) ved hjelp av enhetssirkelen
2. Legge til perioden for a finne alle losninger

Likninger pa formen $\sin x = k$

Likningen $\sin x = k$ har losning bare nar $-1 \leq k \leq 1$ (fordi sinusverdier ligger mellom $-1$ og $1$ ).

Pa enhetssirkelen svarer $\sin x = k$ til de punktene der $y$ -koordinaten er lik $k$ . Vi tegner en horisontal linje $y = k$ og finner der den krysser sirkelen.

📜Losning av

\sin x = k

Dersom

\sin v = k

(der

v

er en kjent vinkel), sa er den generelle losningen:

$x = v + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = \pi - v + 2n\pi$

der $n \in \mathbb{Z}$ (et vilkarlig heltall).

Kortform: $x = v + 2n\pi \;\lor\; x = (\pi - v) + 2n\pi$

✏️Eksempel 1: Los $\sin x = \frac{1}{2}$

Finn alle losninger av $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

Losning:

Steg 1: Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \sin v = \frac{1}{2}$ .

Vi vet at $\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ , sa $\displaystyle v = \frac{\pi}{6}$ .

Steg 2: Bruk den generelle losningsformelen:

$x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2n\pi = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$

Pa intervallet $[0, 2\pi)$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ .

📝Oppgave 1

Los likningene og oppgi alle losninger pa intervallet $[0, 2\pi)$ .

\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{3}}{2}

\displaystyle \sin x = -\frac{1}{2}

\sin x = -1

\displaystyle \sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}

Løs oppgaven Tren

Likninger pa formen $\cos x = k$

Likningen $\cos x = k$ har losning bare nar $-1 \leq k \leq 1$ . Pa enhetssirkelen svarer dette til de punktene der $x$ -koordinaten er lik $k$ .

📜Losning av

\cos x = k

Dersom

\cos v = k

(der

v

er en kjent vinkel), sa er den generelle losningen:

$x = v + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = -v + 2n\pi$

der $n \in \mathbb{Z}$ .

Kortform: $x = \pm v + 2n\pi$

✏️Eksempel 2: Los $\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Finn alle losninger av $\displaystyle \cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Losning:

Steg 1: Finn en vinkel $v$ slik at $\displaystyle \cos v = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vi vet at $\displaystyle \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ . Cosinus er negativ i andre og tredje kvadrant, sa:

$\displaystyle v = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$

Steg 2: Generell losning:

$x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad x = -\frac{5\pi}{6} + 2n\pi = \frac{7\pi}{6} + 2n\pi$

Svar: $\displaystyle x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$ , $n \in \mathbb{Z}$

Pa intervallet $[0, 2\pi)$ : $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{7\pi}{6}$ .

📝Oppgave 2

Los likningene og oppgi alle losninger pa intervallet $[0, 2\pi)$ .

\displaystyle \cos x = \frac{1}{2}

\displaystyle \cos x = -\frac{\sqrt{2}}{2}

\cos x = 0

\cos x = 1

Løs oppgaven Tren

Likninger pa formen $\tan x = k$

Tangensfunksjonen har periode $\pi$ , sa losningsformelen er enklere enn for sinus og cosinus. Tangens tar alle reelle verdier, sa $\tan x = k$ har alltid losning.

📜Losning av

\tan x = k

Dersom

\tan v = k

(der

v

er en kjent vinkel), sa er den generelle losningen:

$x = v + n\pi$

der $n \in \mathbb{Z}$ .

Merk at perioden er $\pi$ (ikke $2\pi$ ), sa det er bare en losningsgren.

✏️Eksempel 3: Los $\tan x = 1$

Finn alle losninger av $\tan x = 1$ .

Losning:

Vi vet at $\displaystyle \tan \frac{\pi}{4} = 1$ .

Generell losning:

$x = \frac{\pi}{4} + n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}$

Pa intervallet $[0, 2\pi)$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ og $\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + \pi = \frac{5\pi}{4}$ .

📝Oppgave 3

Los likningene og oppgi den generelle losningen.

\tan x = \sqrt{3}

\tan x = -1

\tan x = 0

\displaystyle \tan x = \frac{\sqrt{3}}{3}

Likninger med sammensatt argument

Nar argumentet til den trigonometriske funksjonen er mer enn bare $x$ , bruker vi substitusjon. Vi setter $u = bx + c$ og loser for $u$ forst, deretter for $x$ .

✏️Eksempel 4: Likning med faseforskyvning

Los likningen $\displaystyle \sin\left(2x + \frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{2}$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Losning:

Steg 1: Sett $\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}$ .

Vi loser $\displaystyle \sin u = \frac{1}{2}$ :
$u = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{eller} \quad u = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$

Steg 2: Sett tilbake $\displaystyle u = 2x + \frac{\pi}{3}$ :

Gren 1: $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$
$\displaystyle 2x = \frac{\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = -\frac{\pi}{6} + 2n\pi$
$\displaystyle x = -\frac{\pi}{12} + n\pi$

Gren 2: $\displaystyle 2x + \frac{\pi}{3} = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$
$\displaystyle 2x = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{3} + 2n\pi = \frac{\pi}{2} + 2n\pi$
$\displaystyle x = \frac{\pi}{4} + n\pi$

Steg 3: Finn losninger i $[0, 2\pi)$ :

Gren 1: $n = 0$ : $\displaystyle x = -\frac{\pi}{12}$ (utenfor). $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{11\pi}{12}$ ✓. $n = 2$ : $\displaystyle x = \frac{23\pi}{12}$ ✓.

Gren 2: $n = 0$ : $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ ✓. $n = 1$ : $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ ✓.

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{4}$ , $\displaystyle x = \frac{11\pi}{12}$ , $\displaystyle x = \frac{5\pi}{4}$ , $\displaystyle x = \frac{23\pi}{12}$

Viktig ved sammensatte argumenter:

Nar du loser $\sin(bx + c) = k$ og trenger losninger i $[0, 2\pi)$ , ma du soke gjennom flere verdier av $n$ enn vanlig! Hvis $b = 2$ , far du typisk dobbelt sa mange losninger som for en enkel likning.

Generelt: med $b$ i argumentet far du inntil $2|b|$ losninger i $[0, 2\pi)$ for sinus og cosinus.

📝Oppgave 4

Los likningene for $x \in [0, 2\pi)$ .

\displaystyle \cos(2x) = \frac{1}{2}

\sin(3x) = 0

\tan(2x) = -\sqrt{3}

📝Oppgave 5

Los likningene for $x \in [0, 2\pi)$ .

\displaystyle \sin(x - \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}

\displaystyle \cos(x + \frac{\pi}{6}) = -\frac{1}{2}

Likninger som krever omskriving

Noen trigonometriske likninger ma skrives om for de kan loses. Vanlige teknikker er:

- Bruk av $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ for a fa alt pa en trigonometrisk funksjon
- Faktorisering
- Substitusjon (f.eks. $t = \cos x$ ) for a fa en algebraisk likning

✏️Eksempel 5: Andregradslikning i cosinus

Los likningen $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Losning:

Steg 1: Sett $t = \cos x$ . Da far vi:
$2t^2 - t - 1 = 0$

Steg 2: Faktoriser (eller bruk abc-formelen):
$2t^2 - t - 1 = (2t + 1)(t - 1) = 0$

Sa $\displaystyle t = -\frac{1}{2}$ eller $t = 1$ .

Steg 3: Los for $x$ :

$\cos x = 1 \Rightarrow x = 0$

$\displaystyle \cos x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{2\pi}{3}$ eller $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3}$

Svar: $x = 0$ , $\displaystyle x = \frac{2\pi}{3}$ , $\displaystyle x = \frac{4\pi}{3}$

✏️Eksempel 6: Bruk av pytagoreisk identitet

Los likningen $\sin^2 x + \sin x = \cos^2 x$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Losning:

Erstatt $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ :

$\sin^2 x + \sin x = 1 - \sin^2 x$
$2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

Sett $t = \sin x$ :
$(2t - 1)(t + 1) = 0$

$\displaystyle t = \frac{1}{2}$ eller $t = -1$ .

$\displaystyle \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}$ eller $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$

$\displaystyle \sin x = -1 \Rightarrow x = \frac{3\pi}{2}$

Svar: $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ , $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ , $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$

📝Oppgave 6

Los likningene for $x \in [0, 2\pi)$ .

2\sin^2 x - \sin x = 0

\displaystyle \cos^2 x = \frac{3}{4}

\tan^2 x - 3 = 0

📝Oppgave 7

Los likningene for $x \in [0, 2\pi)$ . Bruk $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ der det trengs.

2\cos^2 x + 3\sin x = 3

\displaystyle \sin^2 x - \cos^2 x = \frac{1}{2}

📝Oppgave 8

Oppgi den generelle losningen.

\sin x = 0

\cos x = -1

\tan x = -\sqrt{3}

📝Oppgave 9

Finn antall losninger av likningen pa det gitte intervallet.

\displaystyle \sin(2x) = \frac{1}{2}

[0, 2\pi)

\cos(3x) = 0

[0, \pi]

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 10

Los likningen $\sin x + \cos x = 1$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 11

Los likningen $2\sin x \cos x = \sin x$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

Ikke del pa trigonometriske uttrykk!

Hvis du har $\sin x \cdot (\text{noe}) = 0$ , ikke del pa $\sin x$ . Da mister du losningene der $\sin x = 0$ . Flytt alt til en side og faktoriser i stedet.

📝Oppgave 12

Los likningene. Oppgi den generelle losningen.

2\sin x = \sqrt{3}

4\cos x + 2 = 0

📝Oppgave 13

Los likningen $\sin(2x) = \cos x$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 14

Los $\displaystyle \sin\left(x + \frac{\pi}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 15

Los $\cos^2 x - 3\cos x + 2 = 0$ for $x \in [0, 2\pi)$ .

📝Oppgave 16

Los $\displaystyle \sin(2x + \frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ for $x \in [0, \pi]$ .

📝Oppgave 17

Bruk GeoGebra til a verifisere losningene dine av $2\cos^2 x - \cos x - 1 = 0$ fra eksempel 5. Tegn $f(x) = 2\cos^2(x) - \cos(x) - 1$ og finn nullpunktene.

📝Oppgave 18

En ball kastes opp med startfart $v_0 = 20$ m/s i en vinkel $\theta$ med horisontalen. Rekkevidden er gitt ved $\displaystyle R = \frac{v_0^2 \sin(2\theta)}{g}$ der $g = 9{,}81$ m/s². Finn vinkelen(e) som gir rekkevidde $R = 35$ m.

Oppsummering

Losningsformler:
- $\sin x = k$ : $x = v + 2n\pi$ eller $x = (\pi - v) + 2n\pi$
- $\cos x = k$ : $x = \pm v + 2n\pi$
- $\tan x = k$ : $x = v + n\pi$

Sammensatte argumenter: Sett $u = bx + c$ , los for $u$ , deretter for $x$ .

Omskriving: Bruk $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ og faktorisering.

Aldri del pa $\sin x$ eller $\cos x$ -- faktoriser i stedet!

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.

Trigonometriske likninger

Likninger pa formen sin⁡x=k\sin x = ksinx=k

Likninger pa formen cos⁡x=k\cos x = kcosx=k

Likninger pa formen tan⁡x=k\tan x = ktanx=k

Likninger med sammensatt argument

Likninger som krever omskriving

Oppsummering

Likninger pa formen $\sin x = k$

Likninger pa formen $\cos x = k$

Likninger pa formen $\tan x = k$