7.4 Trigonometriske identiteter | Matematikk R1

Addisjonsformler, dobbeltvinkelformler og bevis av identiteter.

55 min

21 oppgaver

AddisjonsformlerDobbeltvinkelformlerIdentiteterBevis

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Trigonometriske identiteter

En identitet er en likning som er sann for alle verdier av variablene (der uttrykkene er definert). Vi har allerede sett den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Na skal vi utvide verktøykassen med kraftige addisjonsformler og doble vinkelformler.

📜Grunnleggende identiteter

Pytagoreisk identitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Tangensdefinisjon:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Symmetriegenskaper:
$\sin(-x) = -\sin x \quad \text{(odde funksjon)}$
$\cos(-x) = \cos x \quad \text{(partall-funksjon)}$
$\tan(-x) = -\tan x \quad \text{(odde funksjon)}$

Addisjonsformlene

Addisjonsformlene forteller oss hvordan vi kan finne sinus og cosinus av en sum eller differanse av to vinkler. Disse formlene er blant de viktigste verktøyene i trigonometrien.

📜Addisjonsformlene

For alle vinkler

u

v

gjelder:

Sinus:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

Cosinus:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Tangens:
$\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

Husketriks for addisjonsformlene:

- Sinus av sum: «sin-cos-cos-sin» med likt fortegn
- Cosinus av sum: «cos-cos-sin-sin» med motsatt fortegn
- Tegnet i sinus-formelen folger tegnet i argumentet ( $+$ gir $+$ )
- Tegnet i cosinus-formelen er motsatt av argumentet ( $+$ gir $-$ )

✏️Eksempel 1: Eksakt verdi med addisjonsformel

Finn den eksakte verdien av $\sin 75°$ .

Losning:

Vi skriver $75° = 45° + 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$
$= \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

📝Oppgave 1

Bruk addisjonsformlene til a finne eksakte verdier.

\cos 75°

\sin 15°

\cos 15°

\tan 75°

Løs oppgaven Tren

✏️Eksempel 2: Addisjonsformler med ukjente verdier

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ ( $u$ i forste kvadrant) og $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ ( $v$ i andre kvadrant). Finn $\sin(u + v)$ .

Losning:

Steg 1: Finn manglende verdier.

Fra $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ og $u$ i forste kvadrant:
$\displaystyle \cos u = \sqrt{1 - \sin^2 u} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$

Fra $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ og $v$ i andre kvadrant:
$\displaystyle \sin v = \sqrt{1 - \cos^2 v} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$

Steg 2: Bruk addisjonsformelen.

$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$= \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13}$
$= -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

📝Oppgave 2

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{4}{5}$ (forste kvadrant) og $\displaystyle \sin v = \frac{5}{13}$ (forste kvadrant). Finn:

\sin(u + v)

\cos(u - v)

\sin(u - v)

Løs oppgaven Tren

Formler for dobbelt vinkel

Ved a sette $u = v$ i addisjonsformlene far vi formler for dobbelt vinkel. Disse er svart nyttige i mange sammenhenger.

📜Formlene for dobbelt vinkel

Sinus:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

Cosinus (tre ekvivalente former):
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$
$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

Tangens:
$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

Utledning av $\sin 2x$

Vi setter

u = v = x

i addisjonsformelen for sinus:

$\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x$

Tilsvarende for cosinus:

$\cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$

De to andre formene for $\cos 2x$ fas ved a erstatte $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ .

∎

✏️Eksempel 3: Bruk av dobbeltvinkelformlene

Gitt at $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ og $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ . Finn $\sin 2x$ og $\cos 2x$ .

Losning:

Forst finner vi $\sin x$ . Siden $x$ er i forste kvadrant:
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$

Na bruker vi dobbeltvinkelformlene:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

(Merk: $\cos 2x < 0$ fordi $\displaystyle 2x > \frac{\pi}{2}$ nar $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ .)

📝Oppgave 3

Bruk dobbeltvinkelformlene.

Gitt $\displaystyle \sin x = \frac{5}{13}$ , $x$ i forste kvadrant. Finn $\sin 2x$ .

Gitt $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{3}$ , $x$ i andre kvadrant. Finn $\cos 2x$ .

Finn den eksakte verdien av $\displaystyle 2\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Forenkle uttrykkene ved hjelp av dobbeltvinkelformler.

2\sin 3x \cos 3x

\cos^2 4x - \sin^2 4x

\displaystyle 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}

Løs oppgaven Tren

Bevisfoering med identiteter

A bevise en identitet betyr a vise at venstre og hoyre side av likningen er like for alle (tillatte) verdier av variabelen. Vanlige strategier:

1. Start med den mest kompliserte siden og forenkle
2. Skriv alt med sinus og cosinus
3. Bruk kjente identiteter ( $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , addisjonsformler, osv.)
4. Fellesnevner nar det er broker involvert

✏️Eksempel 4: Bevis av en identitet

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$ .

Bevis:

Vi starter med venstre side og bruker dobbeltvinkelformler:

$\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)}$

$= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x}$

$= \frac{\sin x}{\cos x}$

$= \tan x \quad \square$

📝Oppgave 5

Vis at identitetene stemmer.

\displaystyle \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \tan x

\displaystyle \sin 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}

📝Oppgave 6

Bruk addisjonsformlene til a forenkle.

\sin(x + \pi)

\displaystyle \cos(x - \frac{\pi}{2})

\displaystyle \sin(\frac{\pi}{2} - x)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 7

Skriv uttrykket som et enkelt trigonometrisk uttrykk.

\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x

\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x

\sin 5x \cos 3x + \cos 5x \sin 3x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Forenkle uttrykket $\cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x$ .

📝Oppgave 9

Vis identitetene.

\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x

📝Oppgave 10

Regn ut den eksakte verdien.

\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}

(hint:

\displaystyle \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}

)

\displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}

(hint:

\displaystyle \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}

)

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 11

Los likningen $\sin 2x = \sin x$ for $x \in [0, 2\pi)$ ved hjelp av dobbeltvinkelformelen.

📝Oppgave 12

Vis at $\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$ .

📝Oppgave 13

Vis at $\displaystyle \frac{\sin(u+v)}{\sin(u-v)} = \frac{\tan u + \tan v}{\tan u - \tan v}$ .

📝Oppgave 14

Forenkle $(\sin x + \cos x)^2$ og $(\sin x - \cos x)^2$ .

(\sin x + \cos x)^2

(\sin x - \cos x)^2

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 15

Gitt at $\tan x = t$ . Uttrykk folgende med $t$ :

\sin 2x

\cos 2x

\sin^2 x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 16

Vis at $\displaystyle \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3 + \cos 4x}{4}$ .

Oppsummering

Addisjonsformler:
- $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
- $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$

Dobbelt vinkel:
- $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
- $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$

Bevisstrategi: Start med den mest kompliserte siden, skriv alt med $\sin$ og $\cos$ , bruk kjente identiteter.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.