7.4 Trigonometriske identiteter | Matematikk R1

Addisjonsformler, dobbeltvinkelformler og bevis av identiteter.

55 min

21 oppgaver

AddisjonsformlerDobbeltvinkelformlerIdentiteterBevis

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 21 oppgaver

Utenfor R1 i gjeldende læreplan. Trigonometriske funksjoner, likninger og identiteter hører til R2 i gjeldende læreplan (LK20), og sinus- og cosinussetningen hører til 1T. Kapitlet står her som repetisjon og fordypning og er ikke eksamensstoff i R1.

Trigonometriske identiteter

En identitet er en likning som er sann for alle verdier av variablene (der uttrykkene er definert). Vi har allerede sett den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ . Nå skal vi utvide verktøykassen med kraftige addisjonsformler og doble vinkelformler.

📜Grunnleggende identiteter

Pytagoreisk identitet:

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

Tangensdefinisjon:
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

Symmetriegenskaper:
$\sin(-x) = -\sin x \quad \text{(odde funksjon)}$
$\cos(-x) = \cos x \quad \text{(like funksjon)}$
$\tan(-x) = -\tan x \quad \text{(odde funksjon)}$

Addisjonsformlene

Addisjonsformlene forteller oss hvordan vi kan finne sinus og cosinus av en sum eller differanse av to vinkler. Disse formlene er blant de viktigste verktøyene i trigonometrien.

📜Addisjonsformlene

For alle vinkler

u

v

gjelder:

Sinus:
$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$\sin(u - v) = \sin u \cos v - \cos u \sin v$

Cosinus:
$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$
$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Tangens:
$\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$

Utledning av addisjonsformlene

Vi utleder først

\cos(u - v)

med skalarproduktet fra kapittel 6.

La $\vec{a} = [\cos u, \sin u]$ og $\vec{b} = [\cos v, \sin v]$ . Begge er enhetsvektorer, og vinkelen mellom dem er forskjellen $u - v$ mellom retningsvinklene (eller en vinkel med samme cosinus).

Skalarproduktet med koordinater: $\vec{a} \cdot \vec{b} = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Skalarproduktet med lengder og vinkel: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot 1 \cdot \cos(u - v) = \cos(u - v)$

$\cos(u - v) = \cos u \cos v + \sin u \sin v$

Erstatter $v$ med $-v$ og bruker $\cos(-v) = \cos v$ og $\sin(-v) = -\sin v$ :

$\cos(u + v) = \cos u \cos v - \sin u \sin v$

For sinus bruker vi $\displaystyle \sin x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)$ :

$\sin(u + v) = \cos\left(\left(\tfrac{\pi}{2} - u\right) - v\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2} - u\right)\cos v + \sin\left(\tfrac{\pi}{2} - u\right)\sin v = \sin u \cos v + \cos u \sin v$

Formelen for $\sin(u - v)$ får vi ved å erstatte $v$ med $-v$ . Formelen for $\tan(u + v)$ får vi ved å dele $\sin(u + v)$ på $\cos(u + v)$ og så dele teller og nevner på $\cos u \cos v$ .

∎

Husketriks for addisjonsformlene:

- Sinus av sum: «sin-cos-cos-sin» med likt fortegn
- Cosinus av sum: «cos-cos-sin-sin» med motsatt fortegn
- Tegnet i sinus-formelen følger tegnet i argumentet ( $+$ gir $+$ )
- Tegnet i cosinus-formelen er motsatt av argumentet ( $+$ gir $-$ )

✏️Eksempel 1: Eksakt verdi med addisjonsformel

Finn den eksakte verdien av $\sin 75°$ .

Løsning:

Vi skriver $75° = 45° + 30°$ og bruker addisjonsformelen:

$\sin 75° = \sin(45° + 30°)$
$= \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30°$
$= \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$
$= \frac{\sqrt{6}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
$= \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

Svar: $\displaystyle \sin 75° = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

📝Oppgave 1

Bruk addisjonsformlene til å finne eksakte verdier.

\cos 75°

\sin 15°

\cos 15°

\tan 75°

Løs oppgaven

✏️Eksempel 2: Addisjonsformler med ukjente verdier

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ ( $u$ i første kvadrant) og $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ ( $v$ i andre kvadrant). Finn $\sin(u + v)$ .

Løsning:

Finn manglende verdier.

Fra $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ og $u$ i første kvadrant:
$\displaystyle \cos u = \sqrt{1 - \sin^2 u} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$

Fra $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ og $v$ i andre kvadrant:
$\displaystyle \sin v = \sqrt{1 - \cos^2 v} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \frac{12}{13}$

Bruk addisjonsformelen.

$\sin(u + v) = \sin u \cos v + \cos u \sin v$
$= \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13}$
$= -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$

Svar: $\displaystyle \sin(u + v) = \frac{33}{65}$

📝Oppgave 2

Gitt at $\displaystyle \sin u = \frac{4}{5}$ (første kvadrant) og $\displaystyle \sin v = \frac{5}{13}$ (første kvadrant). Finn:

\sin(u + v)

\cos(u - v)

\sin(u - v)

Løs oppgaven

Formler for dobbelt vinkel

Ved å sette $u = v$ i addisjonsformlene får vi formler for dobbelt vinkel. Disse er svært nyttige i mange sammenhenger.

📜Formlene for dobbelt vinkel

Sinus:

\sin 2x = 2 \sin x \cos x

Cosinus (tre ekvivalente former):
$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
$\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$
$\cos 2x = 1 - 2\sin^2 x$

Tangens:
$\tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$

Utledning av

\sin 2x

Vi setter

u = v = x

i addisjonsformelen for sinus:

$\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x = 2\sin x \cos x$

Tilsvarende for cosinus:

$\cos(x + x) = \cos x \cos x - \sin x \sin x = \cos^2 x - \sin^2 x$

De to andre formene for $\cos 2x$ fås ved å erstatte $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ .

∎

✏️Eksempel 3: Bruk av dobbeltvinkelformlene

Gitt at $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ og $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$ . Finn $\sin 2x$ og $\cos 2x$ .

Løsning:

Først finner vi $\sin x$ . Siden $x$ er i første kvadrant:
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$

Nå bruker vi dobbeltvinkelformlene:

$\sin 2x = 2\sin x \cos x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$

$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$

(Merk: $\cos 2x < 0$ fordi $\displaystyle 2x > \frac{\pi}{2}$ når $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ .)

Svar: $\displaystyle \sin 2x = \frac{24}{25}$ og $\displaystyle \cos 2x = -\frac{7}{25}$

📝Oppgave 3

Bruk dobbeltvinkelformlene.

Gitt $\displaystyle \sin x = \frac{5}{13}$ , $x$ i første kvadrant. Finn $\sin 2x$ .

Gitt $\displaystyle \cos x = -\frac{1}{3}$ , $x$ i andre kvadrant. Finn $\cos 2x$ .

Finn den eksakte verdien av $\displaystyle 2\sin \frac{\pi}{8} \cos \frac{\pi}{8}$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Forenkle uttrykkene ved hjelp av dobbeltvinkelformler.

2\sin 3x \cos 3x

\cos^2 4x - \sin^2 4x

\displaystyle 1 - 2\sin^2 \frac{x}{2}

Løs oppgaven

Bevisføring med identiteter

Å bevise en identitet betyr å vise at venstre og høyre side av likningen er like for alle (tillatte) verdier av variabelen. Vanlige strategier:

1. Start med den mest kompliserte siden og forenkle
2. Skriv alt med sinus og cosinus
3. Bruk kjente identiteter ( $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ , addisjonsformler, osv.)
4. Fellesnevner når det er brøker involvert

✏️Eksempel 4: Bevis av en identitet

Vis at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$ .

Bevis:

Vi starter med venstre side og bruker dobbeltvinkelformler:

$\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + (2\cos^2 x - 1)}$

$= \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x}$

$= \frac{\sin x}{\cos x}$

$= \tan x \quad \square$

📝Oppgave 5

Vis at identitetene stemmer.

\displaystyle \frac{1 - \cos 2x}{\sin 2x} = \tan x

\displaystyle \sin 2x = \frac{2\tan x}{1 + \tan^2 x}

📝Oppgave 6

Bruk addisjonsformlene til å forenkle.

\sin(x + \pi)

\displaystyle \cos(x - \frac{\pi}{2})

\displaystyle \sin(\frac{\pi}{2} - x)

Løs oppgaven

📝Oppgave 7

Skriv uttrykket som et enkelt trigonometrisk uttrykk.

\sin 3x \cos x - \cos 3x \sin x

\cos 2x \cos x + \sin 2x \sin x

\sin 5x \cos 3x + \cos 5x \sin 3x

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Forenkle uttrykket $\cos^2 x - \sin^2 x + 2\sin x \cos x$ .

📝Oppgave 9

Vis identitetene.

\cos 3x = 4\cos^3 x - 3\cos x

\sin 3x = 3\sin x - 4\sin^3 x

📝Oppgave 10

Regn ut den eksakte verdien.

\displaystyle \sin \frac{\pi}{12}

(hint:

\displaystyle \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{4}

)

\displaystyle \cos \frac{5\pi}{12}

(hint:

\displaystyle \frac{5\pi}{12} = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6}

)

Løs oppgaven

📝Oppgave 11

Løs likningen $\sin 2x = \sin x$ for $x \in [0, 2\pi)$ ved hjelp av dobbeltvinkelformelen.

📝Oppgave 12

Vis at $\cos 4x = 8\cos^4 x - 8\cos^2 x + 1$ .

📝Oppgave 13

Vis at $\displaystyle \frac{\sin(u+v)}{\sin(u-v)} = \frac{\tan u + \tan v}{\tan u - \tan v}$ .

📝Oppgave 14

Forenkle $(\sin x + \cos x)^2$ og $(\sin x - \cos x)^2$ .

(\sin x + \cos x)^2

(\sin x - \cos x)^2

Løs oppgaven

📝Oppgave 15

Gitt at $\tan x = t$ . Uttrykk følgende med $t$ :

\sin 2x

\cos 2x

\sin^2 x

Løs oppgaven

📝Oppgave 16

Vis at $\displaystyle \sin^4 x + \cos^4 x = \frac{3 + \cos 4x}{4}$ .

Oppsummering

Addisjonsformler:
- $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$
- $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$

Dobbelt vinkel:
- $\sin 2x = 2\sin x \cos x$
- $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$

Bevisstrategi: Start med den mest kompliserte siden, skriv alt med $\sin$ og $\cos$ , bruk kjente identiteter.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.