7.4 Trigonometriske identiteter

Likninger som alltid er sanne

Du har møtt mange likninger som bare stemmer for bestemte verdier av $x$. Men noen likninger er sanne for alle verdier – som $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$. Slike likninger kalles identiteter, og de er trigonometriens verktøykasse: de lar deg skrive om uttrykk til former som er enklere å regne med, derivere eller integrere.

Tenk på det som valuta: $\sin 75°$ ser umulig ut å beregne eksakt – $75°$ er ingen standardvinkel. Men $75° = 45° + 30°$, og begge disse er standardvinkler! Hvis vi bare hadde en formel for sinus av en sum... Det har vi: addisjonsformlene. I dette kapittelet lærer du dem, utleder dobbeltvinkelformlene fra dem, og lærer kunsten å bevise identiteter – en ferdighet som trener deg i selve kjernen av matematisk tenkning.

Addisjonsformlene

Først, la oss samle det vi allerede har. Den pytagoreiske identiteten $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ og definisjonen $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ kjenner du. I tillegg har funksjonene symmetriegenskaper som du kan lese rett ut av enhetssirkelen: $\sin(-x) = -\sin x$ og $\tan(-x) = -\tan x$ (odde funksjoner), mens $\cos(-x) = \cos x$ (like funksjon – å speile vinkelen endrer ikke $x$-koordinaten).

Så til hovedattraksjonen. For alle vinkler $u$ og $v$ gjelder addisjonsformlene:

$$\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$$
$$\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$$

Og for tangens: $\displaystyle \tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u \tan v}$. Legg merke til mønstrene: sinus av en sum følger «sin-cos-cos-sin» med samme fortegn som i argumentet, mens cosinus følger «cos-cos-sin-sin» med motsatt fortegn – pluss i argumentet gir minus i formelen.

Nå kan vi knekke $\sin 75°$. Vi skriver $75° = 45° + 30°$ og setter inn: $\displaystyle \sin 75° = \sin 45° \cos 30° + \cos 45° \sin 30° = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$. En eksakt verdi for en «umulig» vinkel!

Formlene fungerer også når verdiene er ukjente. Si at $\displaystyle \sin u = \frac{3}{5}$ (med $u$ i første kvadrant) og $\displaystyle \cos v = -\frac{5}{13}$ (med $v$ i andre kvadrant). Den pytagoreiske identiteten gir $\displaystyle \cos u = \frac{4}{5}$ og $\displaystyle \sin v = \frac{12}{13}$ (begge positive ut fra kvadrantene). Da blir $\displaystyle \sin(u+v) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{5}{13}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{12}{13} = -\frac{15}{65} + \frac{48}{65} = \frac{33}{65}$.

Dobbeltvinkelformlene – addisjon med seg selv

Hva skjer hvis vi setter $u = v = x$ i addisjonsformlene? Sinusformelen gir $\sin(x + x) = \sin x \cos x + \cos x \sin x$, altså:

$$\sin 2x = 2\sin x \cos x$$

Cosinusformelen gir $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$. Og her skjer noe fint: med den pytagoreiske identiteten kan vi bytte ut enten $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$ eller $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$, og få to alternative former:

$$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sin^2 x$$

Tre former for samme sannhet – og hvilken du velger, avhenger av hva du har for hånden. For tangens: $\displaystyle \tan 2x = \frac{2\tan x}{1 - \tan^2 x}$.

La oss bruke dem. Gitt $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5}$ med $\displaystyle x \in (0, \frac{\pi}{2})$. Først finner vi $\displaystyle \sin x = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \frac{4}{5}$ (positiv i første kvadrant). Da blir $\displaystyle \sin 2x = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = \frac{24}{25}$ og $\displaystyle \cos 2x = \frac{9}{25} - \frac{16}{25} = -\frac{7}{25}$. At $\cos 2x$ er negativ er ikke rart: når $\displaystyle \cos x = \frac{3}{5} < \frac{\sqrt{2}}{2}$, er $\displaystyle x > \frac{\pi}{4}$, så $2x$ har passert $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ og havnet i andre kvadrant.

Kunsten å bevise en identitet

Å bevise en identitet betyr å vise at venstre og høyre side er like for alle tillatte verdier av variabelen. Det er ikke det samme som å løse en likning – du skal ikke finne $x$, du skal omforme. De fire klassiske strategiene er: start med den mest kompliserte siden og forenkle den, skriv alt med sinus og cosinus, bruk de kjente identitetene, og finn fellesnevner når brøker er involvert.

La oss bevise at $\displaystyle \frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \tan x$. Venstre side er mest komplisert, så vi starter der. I telleren bruker vi $\sin 2x = 2\sin x \cos x$. I nevneren velger vi den formen for $\cos 2x$ som rydder bort 1-tallet, nemlig $\cos 2x = 2\cos^2 x - 1$:

$$\frac{\sin 2x}{1 + \cos 2x} = \frac{2\sin x \cos x}{1 + 2\cos^2 x - 1} = \frac{2\sin x \cos x}{2\cos^2 x} = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x \quad \square$$

Legg merke til det strategiske valget: av de tre formene for $\cos 2x$ valgte vi nettopp den som fikk $+1$ og $-1$ til å kansellere. Det er slik identitetsbevis fungerer – du ser noen trekk fremover, som i sjakk, og velger den omskrivningen som åpner stillingen.

Et godt bevis kjennetegnes av at hvert steg er begrunnet med en kjent identitet eller algebraregel, og at du aldri «jukser» ved å anta det du skal vise. Arbeid med én side om gangen til den blir lik den andre.

Oppsummering: verktøykassen vokser

Vi startet med et tilsynelatende umulig spørsmål – den eksakte verdien av $\sin 75°$ – og fant svaret med addisjonsformlene: $\sin(u \pm v) = \sin u \cos v \pm \cos u \sin v$ og $\cos(u \pm v) = \cos u \cos v \mp \sin u \sin v$. Husk fortegnsmønsteret: sinus beholder fortegnet fra argumentet, cosinus snur det.

Ved å sette $u = v = x$ fikk vi dobbeltvinkelformlene gratis: $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, og $\cos 2x$ i tre likeverdige drakter – $\cos^2 x - \sin^2 x$, $2\cos^2 x - 1$ og $1 - 2\sin^2 x$. Valget mellom dem er strategisk: bruk den formen som forenkler uttrykket ditt mest.

Til slutt lærte du å bevise identiteter: start med den mest kompliserte siden, skriv om med kjente identiteter, skriv gjerne alt med sinus og cosinus, og forenkle til sidene møtes. Sammen med den pytagoreiske identiteten og symmetriegenskapene $\sin(-x) = -\sin x$ og $\cos(-x) = \cos x$ har du nå en komplett verktøykasse – og i neste kapittel får den bryne seg på derivasjon.