7.5 Derivasjon av trigonometriske funksjoner | Matematikk R1

Derivasjonsregler for sinus, cosinus og tangens med kjerneregelen.

55 min

19 oppgaver

DerivasjonSinusCosinusTangensKjerneregelFunksjonsdrøfting

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Utenfor R1 i gjeldende læreplan. Trigonometriske funksjoner, likninger og identiteter hører til R2 i gjeldende læreplan (LK20), og sinus- og cosinussetningen hører til 1T. Kapitlet står her som repetisjon og fordypning og er ikke eksamensstoff i R1.

Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Nå som vi kjenner de trigonometriske funksjonene godt, skal vi lære å derivere dem. Derivasjonsreglene for sinus og cosinus er elegante og nært knyttet til hverandre.

Viktig: Derivasjonsreglene gjelder bare når vinkelen er målt i radianer. Dette er hovedgrunnen til at vi bruker radianer i matematikken.

📜Derivasjon av sinus og cosinus

(\sin x)' = \cos x

$(\cos x)' = -\sin x$

Merk det negative fortegnet i den deriverte av cosinus!

Tenk på grafen til $\sin x$ :
- I $x = 0$ stiger grafen bratt oppover, så $f'(0) > 0$ . Og $\cos 0 = 1$ ✓
- I $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ er grafen på toppunktet (horisontal tangent), så $\displaystyle f'(\frac{\pi}{2}) = 0$ . Og $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2} = 0$ ✓
- I $x = \pi$ synker grafen bratt, så $f'(\pi) < 0$ . Og $\cos \pi = -1$ ✓

📜Derivasjon av tangens

(\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x

Utledning: Vi bruker brøkregelen på $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$\begin{aligned} (\tan x)' &= \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}$

Oppsummering av derivasjonsregler

f(x)

$f(x)$	$f'(x)$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\displaystyle \frac{1}{\cos^2 x}$

✏️Eksempel 1: Enkel derivasjon

Deriver funksjonene:
a) $f(x) = 3\sin x$
b) $g(x) = x^2 + \cos x$
c) $h(x) = \sin x \cdot \cos x$

Løsning:

a) $f'(x) = 3\cos x$

Svar: $f'(x) = 3\cos x$

b) $g'(x) = 2x - \sin x$

Svar: $g'(x) = 2x - \sin x$

c) Vi bruker produktregelen:
$h'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$

(Alternativt: $\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}\sin 2x$ , så $\displaystyle h'(x) = \frac{1}{2} \cdot 2\cos 2x = \cos 2x$ .)

Svar: $h'(x) = \cos 2x$

📝Oppgave 1

Deriver funksjonene.

f(x) = 5\sin x

g(x) = -2\cos x

h(x) = x + \sin x

p(x) = 3x^2 - 4\cos x + 1

Løs oppgaven

Kjerneregelen med trigonometriske funksjoner

Når argumentet til den trigonometriske funksjonen er en sammensatt funksjon, bruker vi kjerneregelen:

$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

📜Kjerneregelen for trigonometriske funksjoner

u = u(x)

være en deriverbar funksjon. Da gjelder:

$(\sin u)' = \cos u \cdot u'$
$(\cos u)' = -\sin u \cdot u'$
$(\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$

Man «deriverer den ytre funksjonen og ganger med den deriverte av kjernen».

✏️Eksempel 2: Kjerneregelen

Deriver:
a) $f(x) = \sin(3x)$
b) $g(x) = \cos(x^2)$
c) $h(x) = \tan(2x + 1)$

Løsning:

a) $f'(x) = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

Ytre funksjon: $\sin u$ , kjerne: $u = 3x$ , $u' = 3$ .

Svar: $f'(x) = 3\cos(3x)$

b) $g'(x) = -\sin(x^2) \cdot 2x = -2x\sin(x^2)$

Ytre funksjon: $\cos u$ , kjerne: $u = x^2$ , $u' = 2x$ .

Svar: $g'(x) = -2x\sin(x^2)$

c) $\displaystyle h'(x) = \frac{1}{\cos^2(2x+1)} \cdot 2 = \frac{2}{\cos^2(2x+1)}$

Ytre funksjon: $\tan u$ , kjerne: $u = 2x+1$ , $u' = 2$ .

Svar: $\displaystyle h'(x) = \frac{2}{\cos^2(2x+1)}$

📝Oppgave 2

Deriver ved hjelp av kjerneregelen.

f(x) = \sin(2x)

g(x) = \cos(5x - 1)

h(x) = \sin(x^3)

p(x) = \cos(\sqrt{x})

Løs oppgaven

📝Oppgave 3

Deriver funksjonene. Bruk produkt- eller brøkregelen der det trengs.

f(x) = x \sin x

g(x) = x^2 \cos x

\displaystyle h(x) = \frac{\sin x}{x}

Løs oppgaven

✏️Eksempel 3: Kombinert derivasjon

Deriver $f(x) = \sin^2(3x)$ .

Løsning:

Vi skriver $f(x) = [\sin(3x)]^2$ og bruker kjerneregelen to ganger:

Ytre: $u^2$ , midtre kjerne: $\sin(v)$ , indre kjerne: $v = 3x$

$\begin{aligned} f'(x) &= 2\sin(3x) \cdot [\sin(3x)]' \\ &= 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 \end{aligned}$

$= 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$

(I siste steg brukte vi $2\sin u \cos u = \sin 2u$ med $u = 3x$ .)

Svar: $f'(x) = 3\sin(6x)$

📝Oppgave 4

Deriver funksjonene.

f(x) = \cos^3(x)

g(x) = \sin^2(2x)

h(x) = \sqrt{\sin x}

Løs oppgaven

Funksjonsdrøfting med trigonometriske funksjoner

Vi kan bruke derivasjon til å finne ekstremalpunkter og studere vekst/avtak for trigonometriske funksjoner, akkurat som for andre funksjoner.

Framgangsmåte:
1. Finn $f'(x)$
2. Løs $f'(x) = 0$ for å finne kritiske punkter
3. Undersøk fortegnet til $f'(x)$ for å bestemme topp- og bunnpunkter
4. Finn eventuelt $f''(x)$ for vendepunkter

✏️Eksempel 4: Funksjonsdrøfting

Drøfte funksjonen $f(x) = 2\sin x + \cos(2x)$ for $x \in [0, 2\pi]$ .

Løsning:

Derivasjon
$f'(x) = 2\cos x - 2\sin(2x) = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x)$

Kritiske punkter
$f'(x) = 0$ når $\cos x = 0$ eller $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ .

$\displaystyle \cos x = 0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\displaystyle \sin x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = \frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}$

Funksjonsverdiene
- $\displaystyle f(\frac{\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
- $\displaystyle f(\frac{\pi}{2}) = 2 + \cos \pi = 2 - 1 = 1$
- $\displaystyle f(\frac{5\pi}{6}) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos \frac{5\pi}{3} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
- $\displaystyle f(\frac{3\pi}{2}) = -2 + \cos 3\pi = -2 - 1 = -3$

Fortegnet til $f'(x) = 2\cos x(1 - 2\sin x)$
- $\displaystyle 0 < x < \frac{\pi}{6}$ : $\cos x > 0$ og $1 - 2\sin x > 0$ , så $f'(x) > 0$
- $\displaystyle \frac{\pi}{6} < x < \frac{\pi}{2}$ : $\cos x > 0$ og $1 - 2\sin x < 0$ , så $f'(x) < 0$
- $\displaystyle \frac{\pi}{2} < x < \frac{5\pi}{6}$ : $\cos x < 0$ og $1 - 2\sin x < 0$ , så $f'(x) > 0$
- $\displaystyle \frac{5\pi}{6} < x < \frac{3\pi}{2}$ : $\cos x < 0$ og $1 - 2\sin x > 0$ , så $f'(x) < 0$
- $\displaystyle \frac{3\pi}{2} < x < 2\pi$ : $\cos x > 0$ og $1 - 2\sin x > 0$ , så $f'(x) > 0$

Endepunktene
$f(0) = 0 + \cos 0 = 1$ og $f(2\pi) = 0 + \cos 4\pi = 1$

Konklusjon
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ : lokale toppunkter (begge $\displaystyle \frac{3}{2}$ )
- $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ : lokalt bunnpunkt ( $1$ )
- $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$ : globalt bunnpunkt ( $-3$ )

Svar: Lokale toppunkter $\displaystyle \left(\frac{\pi}{6}, \frac{3}{2}\right)$ og $\displaystyle \left(\frac{5\pi}{6}, \frac{3}{2}\right)$ , lokalt bunnpunkt $\displaystyle \left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ og globalt bunnpunkt $\displaystyle \left(\frac{3\pi}{2}, -3\right)$ . Største verdi er $\displaystyle \frac{3}{2}$ og minste verdi $-3$ ; endepunktene har $f(0) = f(2\pi) = 1$ .

📝Oppgave 5

Finn eventuelle ekstremalpunkter for $f(x) = \sin x + \cos x$ på $[0, 2\pi]$ .

📝Oppgave 6

Finn tangentlinjen til $f(x) = \sin(2x)$ i punktet $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ .

📝Oppgave 7

Deriver.

f(x) = 4\sin(3x) - 2\cos(x)

g(x) = \sin(x) + \tan(x)

\displaystyle h(x) = \frac{1}{2}\sin(2x) - \frac{1}{3}\cos(3x)

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Finn den dobbeltderiverte.

f(x) = \sin x

. Finn

f''(x)

g(x) = \cos(2x)

. Finn

g''(x)

Vis at $f(x) = \sin x$ oppfyller $f''(x) + f(x) = 0$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 9

Finn største og minste verdi av $f(x) = 3\sin x + 4\cos x$ (uten å begrense intervallet).

📝Oppgave 10

Finn alle $x \in [0, 2\pi]$ der tangentlinjen til $f(x) = \cos x$ er horisontal.

📝Oppgave 11

En partikkel beveger seg langs en rett linje med posisjon $s(t) = 3\sin(2t) + 4\cos(2t)$ (i meter, $t$ i sekunder).

Finn hastigheten $v(t) = s'(t)$ .

Finn akselerasjonen $a(t) = v'(t)$ .

Vis at $a(t) = -4s(t)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 12

Deriver $f(x) = e^x \sin x$ .

📝Oppgave 13

Tegn $f(x) = \sin(2x)$ og dens deriverte $f'(x) = 2\cos(2x)$ i GeoGebra. Verifiser at $f'(x) = 0$ i topp- og bunnpunktene til $f$ .

Gjør dette i GeoGebra

Løs oppgaven i GeoGebra i en ny fane.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 14

Et rektangel er innskrevet i en halvsirkel med radius $r$ . Den ene siden ligger langs diameteren. Uttrykk arealet som funksjon av en vinkel, og finn det maksimale arealet.

Oppsummering

Derivasjonsregler (kun i radianer!):
- $(\sin x)' = \cos x$
- $(\cos x)' = -\sin x$
- $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$

Kjerneregelen:
- $(\sin u)' = u' \cos u$
- $(\cos u)' = -u' \sin u$

Funksjonsdrøfting: Finn $f'(x) = 0$ , undersøk fortegn, bestem topp-/bunnpunkter.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.