7.5 Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Bølgens fart

Du sitter i pariserhjulet igjen. Høyden din følger en sinuskurve – men hvor fort stiger du akkurat nå? Det spørsmålet handler om den deriverte, og i dette kapittelet skal vi derivere de trigonometriske funksjonene.

Reglene viser seg å være forbløffende elegante: den deriverte av sinus er cosinus, og den deriverte av cosinus er minus sinus. De to funksjonene jager hverandre i en evig dans. Men det er én betingelse for at dansen skal gå opp: vinkelen må måles i radianer. Dette er selve grunnen til at matematikere insisterer på radianer – i grader ville formlene fått stygge omregningsfaktorer.

Vi skal også kombinere de nye reglene med kjerneregelen, og til slutt bruke derivasjon til å drøfte trigonometriske funksjoner: finne toppene og bunnene i bølgelandskapet.

De grunnleggende derivasjonsreglene

Her er kapittelets kjerne:

$$(\sin x)' = \cos x \qquad (\cos x)' = -\sin x$$

Merk minustegnet hos cosinus – det er den vanligste glippen. Men hvorfor er det rimelig at $(\sin x)' = \cos x$? Se på sinusgrafen. I $x = 0$ stiger den bratt – og der er $\cos 0 = 1$, maksimal stigning. På toppen ved $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ er tangenten horisontal – og $\displaystyle \cos \frac{\pi}{2} = 0$. Ved $x = \pi$ synker grafen bratt – og $\cos \pi = -1$. Cosinuskurven er stigningstallet til sinuskurven, punkt for punkt.

Tangens deriverer vi med kvotientregelen på $\displaystyle \tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$:

$$(\tan x)' = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}$$

– der den pytagoreiske identiteten ryddet telleren til $1$. Resultatet kan også skrives $1 + \tan^2 x$.

De vanlige derivasjonsreglene gjelder selvsagt fortsatt. For eksempel: $f(x) = 3\sin x$ gir $f'(x) = 3\cos x$, og $g(x) = x^2 + \cos x$ gir $g'(x) = 2x - \sin x$. Med produktregelen: $h(x) = \sin x \cos x$ gir $h'(x) = \cos x \cdot \cos x + \sin x \cdot (-\sin x) = \cos^2 x - \sin^2 x = \cos 2x$ – og her dukket dobbeltvinkelformelen opp som en bonus!

Kjerneregelen i sving

Hva med $\sin(3x)$ eller $\cos(x^2)$? Når argumentet er en sammensatt funksjon, trenger vi kjerneregelen: deriver den ytre funksjonen, og gang med den deriverte av kjernen. For trigonometriske funksjoner med kjerne $u = u(x)$:

$$(\sin u)' = \cos u \cdot u' \qquad (\cos u)' = -\sin u \cdot u' \qquad (\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}$$

Tre raske eksempler. For $f(x) = \sin(3x)$ er kjernen $u = 3x$ med $u' = 3$, så $f'(x) = 3\cos(3x)$. For $g(x) = \cos(x^2)$ er kjernen $u = x^2$ med $u' = 2x$, så $g'(x) = -2x\sin(x^2)$. For $h(x) = \tan(2x + 1)$ er $u' = 2$, så $\displaystyle h'(x) = \frac{2}{\cos^2(2x+1)}$.

Noen ganger må kjerneregelen brukes i flere lag. Ta $f(x) = \sin^2(3x)$, altså $[\sin(3x)]^2$. Ytterst har vi en kvadratfunksjon, i midten sinus, innerst $3x$. Vi skreller lagene utenfra og inn:

$$f'(x) = 2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3 = 6\sin(3x)\cos(3x) = 3\sin(6x)$$

I siste steg gjenkjente vi dobbeltvinkelformelen $2\sin u \cos u = \sin 2u$ med $u = 3x$. Slik spiller identitetene fra forrige kapittel og derivasjonen sammen – det er sjelden tilfeldig hvilken form som er penest.

Å drøfte bølgelandskapet

Med derivasjonsreglene på plass kan vi drøfte trigonometriske funksjoner akkurat som polynomer: finn $f'(x)$, løs $f'(x) = 0$, og undersøk fortegnet for å skille topper fra bunner.

La oss drøfte $f(x) = 2\sin x + \cos(2x)$ på $[0, 2\pi]$. Derivasjon gir $f'(x) = 2\cos x - 2\sin(2x)$. Her bruker vi dobbeltvinkelformelen $\sin 2x = 2\sin x\cos x$ og faktoriserer:

$$f'(x) = 2\cos x - 4\sin x \cos x = 2\cos x(1 - 2\sin x)$$

Dette er nøkkelgrepet – et produkt er null når en av faktorene er null. $\cos x = 0$ gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$. $\displaystyle \sin x = \frac{1}{2}$ gir $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$. Fire kritiske punkter.

Funksjonsverdiene: $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{6}\right) = 2 \cdot \frac{1}{2} + \cos\frac{\pi}{3} = \frac{3}{2}$, og tilsvarende $\displaystyle f\left(\frac{5\pi}{6}\right) = \frac{3}{2}$. Videre $\displaystyle f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 2 + \cos\pi = 1$ og $\displaystyle f\left(\frac{3\pi}{2}\right) = -2 + \cos 3\pi = -3$. Fortegnsanalyse av $f'$ viser at $\displaystyle x = \frac{\pi}{6}$ og $\displaystyle x = \frac{5\pi}{6}$ er lokale toppunkter (begge med verdi $\displaystyle \frac{3}{2}$), $\displaystyle x = \frac{\pi}{2}$ er et lokalt bunnpunkt (verdi $1$), og $\displaystyle x = \frac{3\pi}{2}$ er det globale bunnpunktet (verdi $-3$).

Legg merke til den doble toppen med en liten dal imellom – et landskap en enkel sinuskurve aldri kunne laget. Det er samspillet mellom de to leddene som skaper det, og derivasjonen avslører hele strukturen.

Oppsummering: dansen mellom sinus og cosinus

Vi har lært bølgenes derivasjonsregler: $(\sin x)' = \cos x$ og $(\cos x)' = -\sin x$ – to funksjoner som bytter på å beskrive hverandres stigning, med et minustegn som eneste asymmetri. Tangens følger med på lasset: $\displaystyle (\tan x)' = \frac{1}{\cos^2 x}$, utledet med kvotientregelen og ryddet opp av den pytagoreiske identiteten. Og husk premisset for det hele: vinkelen må måles i radianer.

Kjerneregelen utvider reglene til sammensatte uttrykk: $(\sin u)' = u'\cos u$ og $(\cos u)' = -u'\sin u$. Ved flere lag skreller du utenfra og inn, som i $\sin^2(3x)$, der svaret $3\sin(6x)$ falt pent på plass takket være dobbeltvinkelformelen.

Til slutt brukte vi alt sammen til funksjonsdrøfting: deriver, faktoriser (aldri del bort en faktor!), løs $f'(x) = 0$, og la fortegnsanalysen avsløre topper og bunner i bølgelandskapet. Dermed er sirkelen sluttet: enhetssirkelen ga oss funksjonene, grafene ga oss formspråket, og derivasjonen gir oss full kontroll over hver eneste bølgetopp.