7.6 Sinussetningen og cosinussetningen | Matematikk R1

Sinussetningen, cosinussetningen og arealsetningen for vilkårlige trekanter.

55 min

20 oppgaver

SinussetningenCosinussetningenArealsetningenVilkårlige trekanter

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

7.1Trigonometriske funksjoner og enhetssirkelen

Sinussetningen og cosinussetningen

Pytagoras' setning gjelder bare for rettvinklede trekanter. Men i mange praktiske situasjoner har vi trekanter uten rette vinkler. Da trenger vi mer generelle verktøy: sinussetningen og cosinussetningen.

I en vilkarlig trekant $ABC$ bruker vi notasjonen:
- Sidene $a$ , $b$ , $c$ er motstaende til vinklene $A$ , $B$ , $C$
- Side $a$ er motstaende til vinkel $A$ , osv.

Sinussetningen

Sinussetningen gir en sammenheng mellom sider og motstaende vinkler i en trekant.

📜Sinussetningen

I en vilkarlig trekant

ABC

gjelder:

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

Ekvivalent:

$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$

Nar brukes sinussetningen? Nar du kjenner en side og den motstaende vinkelen, pluss en ekstra opplysning (en annen side eller vinkel).

✏️Eksempel 1: Bruk av sinussetningen

I trekant $ABC$ er $A = 40°$ , $B = 75°$ og $a = 12$ . Finn $b$ og $c$ .

Losning:

Steg 1: Finn vinkel $C$ :
$C = 180° - 40° - 75° = 65°$

Steg 2: Bruk sinussetningen til a finne $b$ :
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$
$\frac{12}{\sin 40°} = \frac{b}{\sin 75°}$
$b = \frac{12 \cdot \sin 75°}{\sin 40°} = \frac{12 \cdot 0{,}9659}{0{,}6428} \approx 18{,}03$

Steg 3: Finn $c$ :
$c = \frac{12 \cdot \sin 65°}{\sin 40°} = \frac{12 \cdot 0{,}9063}{0{,}6428} \approx 16{,}92$

📝Oppgave 1

Bruk sinussetningen til a finne de ukjente storrelsene i trekant $ABC$ .

A = 50°

B = 60°

a = 10

. Finn

b

A = 35°

C = 80°

c = 15

. Finn

a

b

Tvetydighetsproblemet

Nar vi kjenner to sider og en motstaende vinkel (SSV-tilfellet), kan det oppsta to mulige trekanter. Dette kalles tvetydighetsproblemet.

Problemet oppstar fordi likningen $\sin B = k$ (med $0 < k < 1$ ) har to losninger i $(0°, 180°)$ : en spiss og en stump vinkel.

Nar oppstar tvetydighet?

Gitt: side $a$ , side $b$ og vinkel $A$ (motstaende $a$ ).

- Hvis $A \geq 90°$ : Ingen tvetydighet (bare en mulig trekant, eller ingen losning)
- Hvis $A < 90°$ og $a \geq b$ : Ingen tvetydighet (storste side motstaende storste vinkel)
- Hvis $A < 90°$ og $a < b$ : Mulig tvetydighet -- sjekk om bade $B$ og $180° - B$ gir en gyldig trekant

✏️Eksempel 2: Tvetydighetsproblemet

I trekant $ABC$ er $a = 8$ , $b = 12$ og $A = 30°$ . Finn mulige verdier for vinkel $B$ .

Losning:

Sinussetningen gir:
$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin A}{a} \Rightarrow \sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{12 \cdot \sin 30°}{8} = \frac{12 \cdot 0{,}5}{8} = 0{,}75$

$B = \arcsin(0{,}75) \approx 48{,}6°$ eller $B \approx 180° - 48{,}6° = 131{,}4°$

Sjekk begge:
- $B \approx 48{,}6°$ : $C \approx 180° - 30° - 48{,}6° = 101{,}4°$ ✓ (gyldig trekant)
- $B \approx 131{,}4°$ : $C \approx 180° - 30° - 131{,}4° = 18{,}6°$ ✓ (ogsa gyldig trekant)

Det er to mulige trekanter!

📝Oppgave 2

Avgjor om det er null, en eller to mulige trekanter, og finn losningen(e).

a = 5

b = 8

A = 30°

a = 3

b = 7

A = 40°

a = 10

b = 6

A = 50°

Cosinussetningen

Cosinussetningen er en generalisering av Pytagoras' setning til vilkarlige trekanter. Den er spesielt nyttig nar vi kjenner tre sider (SSS) eller to sider og den mellomliggende vinkelen (SVS).

📜Cosinussetningen

I en vilkarlig trekant

ABC

gjelder:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

Tilsvarende for de andre sidene:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$
$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac\cos B$

Spesialtilfelle: Nar $C = 90°$ far vi $c^2 = a^2 + b^2$ (Pytagoras).

✏️Eksempel 3: Finn en ukjent side

I trekant $ABC$ er $a = 7$ , $b = 10$ og $C = 60°$ . Finn $c$ .

Losning:

$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
$= 7^2 + 10^2 - 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \cos 60°$
$= 49 + 100 - 140 \cdot 0{,}5$
$= 149 - 70 = 79$

$c = \sqrt{79} \approx 8{,}89$

✏️Eksempel 4: Finn en ukjent vinkel

I trekant $ABC$ er $a = 5$ , $b = 7$ og $c = 9$ . Finn vinkel $C$ .

Losning:

Vi loser cosinussetningen for $\cos C$ :

$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{25 + 49 - 81}{2 \cdot 5 \cdot 7} = \frac{-7}{70} = -0{,}1$

$C = \arccos(-0{,}1) \approx 95{,}7°$

Vinkel $C$ er stump, noe som gir mening fordi $c$ er den lengste siden.

📝Oppgave 3

Bruk cosinussetningen.

a = 5

b = 8

C = 45°

. Finn

c

a = 6

b = 8

c = 10

. Finn vinkel

C

a = 4

b = 5

c = 8

. Finn storste vinkel.

Løs oppgaven Tren

Arealsetningen

Arealsetningen gir oss en elegant formel for arealet av en trekant nar vi kjenner to sider og den mellomliggende vinkelen.

📜Arealsetningen

Arealet av en trekant med sider

a

b

og mellomliggende vinkel

C

er:

$A = \frac{1}{2}ab\sin C$

Tilsvarende: $\displaystyle A = \frac{1}{2}ac\sin B = \frac{1}{2}bc\sin A$

Spesialtilfelle: Nar $C = 90°$ : $\displaystyle A = \frac{1}{2}ab$ (den vanlige arealformelen).

✏️Eksempel 5: Areal med arealsetningen

Finn arealet av trekant $ABC$ der $a = 8$ , $b = 11$ og $C = 50°$ .

Losning:

$A = \frac{1}{2}ab\sin C = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 11 \cdot \sin 50°$

$= 44 \cdot 0{,}766 = 33{,}7$

Arealet er ca. $33{,}7$ arealenheter.

📝Oppgave 4

Finn arealet av trekantene.

a = 6

b = 9

C = 30°

b = 10

c = 12

A = 120°

Likesidet trekant med side $s = 8$

Løs oppgaven Tren

Kjent informasjon	Metode
To vinkler + en side (VVS)	Sinussetningen
To sider + motstaende vinkel (SSV)	Sinussetningen (obs: tvetydighet!)
To sider + mellomliggende vinkel (SVS)	Cosinussetningen
Tre sider (SSS)	Cosinussetningen
To sider + mellomliggende vinkel (areal)	Arealsetningen

Praktiske anvendelser

Sinussetningen og cosinussetningen brukes i mange praktiske sammenhenger: landmaling, navigasjon, kartlegging, konstruksjon og fysikk.

✏️Eksempel 6: Landmaling

Fra to punkter $A$ og $B$ pa bakken, som er $200$ m fra hverandre, males vinklene til et tarn $C$ pa en oy. Fra $A$ er vinkelen $\angle BAC = 63°$ og fra $B$ er vinkelen $\angle ABC = 72°$ . Finn avstanden fra $A$ til tarnet.

Losning:

Steg 1: Finn vinkel $C$ :
$C = 180° - 63° - 72° = 45°$

Steg 2: Vi kjenner $c = AB = 200$ m og skal finne $b = AC$ . Bruker sinussetningen:

$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$

$b = \frac{c \cdot \sin B}{\sin C} = \frac{200 \cdot \sin 72°}{\sin 45°} = \frac{200 \cdot 0{,}9511}{0{,}7071} \approx 269 \text{ m}$

Avstanden fra $A$ til tarnet er ca. $269$ m.

📝Oppgave 5

To veier gar ut fra et kryss med en vinkel pa $65°$ mellom seg. Person $A$ gar $300$ m langs den ene veien og person $B$ gar $400$ m langs den andre. Finn avstanden mellom $A$ og $B$ .

📝Oppgave 6

Et skip seiler fra havn $A$ til havn $B$ (avstand $80$ km). Skipet seiler forst $50$ km i retning $N30°O$ til et punkt $P$ , og deretter videre til $B$ . Vinkelen $\angle APB = 110°$ . Finn avstanden $PB$ .

📝Oppgave 7

Finn alle vinklene i trekant $ABC$ med sider $a = 5$ , $b = 6$ , $c = 7$ .

📝Oppgave 8

I en parallellogram er sidene $8$ cm og $12$ cm, og den minste vinkelen er $55°$ . Finn lengden av begge diagonalene.

📝Oppgave 9

Finn arealet av trekant $ABC$ med sider $a = 7$ , $b = 9$ og $c = 12$ .

📝Oppgave 10

Et fly flyr fra by $A$ med kurs $N40°O$ i $250$ km til by $B$ , og deretter med kurs $S70°O$ i $180$ km til by $C$ . Finn avstanden fra $A$ til $C$ .

📝Oppgave 11

Bevis cosinussetningen ved hjelp av vektorer.

📝Oppgave 12

Et rektangulært tomt har diagonaler pa $30$ m og $40$ m som krysser hverandre med en vinkel pa $55°$ . Finn arealet av tomten.

📝Oppgave 13

Bruk GeoGebra til a konstruere trekant $ABC$ med $a = 7$ , $b = 10$ , $C = 60°$ . Mal $c$ og verifiser svaret med cosinussetningen.

📝Oppgave 14

Et regulært femkantomrade (pentagon) har sidelengde $s$ . Vis at arealet er $\displaystyle A = \frac{5s^2}{4}\tan 54°$ .

Oppsummering

Sinussetningen: $\displaystyle \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
Brukes ved VVS og SSV (obs: tvetydighet!).

Cosinussetningen: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$
Brukes ved SVS og SSS.

Arealsetningen: $\displaystyle A = \frac{1}{2}ab\sin C$

Tvetydighetsproblemet: Nar $\sin B = k$ ( $0 < k < 1$ ) har to losninger, sjekk om begge gir gyldige trekanter.

Velg metode ut fra hva som er kjent -- se tabellen for valg av setning.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.