8.1 Multiplikasjonsprinsippet | Matematikk R1

Multiplikasjonsprinsippet og systematisk telling av utfall.

45 min

19 oppgaver

MultiplikasjonsprinsippetTelleprinsippetUtfallsromSystematisk telling

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Brukes videre i

8.2Permutasjoner 8.5Sannsynlighetsmodeller 8.7Binomisk og hypergeometrisk fordeling

Kombinatorikk -- kunsten å telle

Kombinatorikk handler om å telle antall mulige utfall eller ordninger uten å ramse opp alle. Tenk deg at du skal velge ett hovedrett og en dessert fra en meny. Hvor mange forskjellige måltider kan du sette sammen? Med to retter og tre desserter får du $2 \cdot 3 = 6$ kombinasjoner.

Denne typen systematisk telling er grunnlaget for sannsynlighetsregning. I dette kapittelet lærer du de to viktigste telleprinsippene: multiplikasjonsprinsippet og addisjonsprinsippet.

Valgtre

Et valgtre (også kalt trediagram) er en visuell fremstilling der hvert valg representeres som en forgrening. Ved å følge grenene fra rot til blad kan vi lese av alle mulige utfall.

Valgtre er spesielt nyttige når:
- Du har en sekvens av valg
- Du vil se alle utfallene eksplisitt
- Du vil holde oversikt over betingelser som endrer seg underveis

✏️Eksempel 1: Valgtre for kleskombinasjon

Du har $2$ skjorter (hvit, blå) og $3$ bukser (svart, grå, beige). Tegn et valgtre og finn antall mulige antrekk.

Løsning:

Vi lar skjortevalget være første forgrening og buksevalget andre:

Fra hvit skjorte: hvit-svart, hvit-grå, hvit-beige ( $3$ utfall)
Fra blå skjorte: blå-svart, blå-grå, blå-beige ( $3$ utfall)

Totalt: $2 \cdot 3 = 6$ mulige antrekk.

Hvert blad i treet representerer ett komplett antrekk.

📝Oppgave 1

En kafé tilbyr $3$ typer kaffe (espresso, latte, cappuccino) og $4$ typer kake (sjokolade, gulrot, ost, bringebær). Hvor mange forskjellige kombinasjoner av én kaffe og én kake kan du velge?

Multiplikasjonsprinsippet

k

✏️Eksempel 2: Kodeord

Et kodeord består av $3$ bokstaver etterfulgt av $2$ siffer. Hvor mange kodeord kan lages hvis
a) bokstaver og siffer kan gjentas?
b) ingen gjentakelse er tillatt?

Løsning:

a) Det norske alfabetet har $29$ bokstaver og vi har $10$ siffer ( $0$ -- $9$ ).

Med gjentakelse: $29 \cdot 29 \cdot 29 \cdot 10 \cdot 10 = 29^3 \cdot 10^2 = 24{\,}389 \cdot 100 = 2{\,}438{\,}900$

b) Uten gjentakelse:

Bokstaver: $29 \cdot 28 \cdot 27$ (færre valg for hver posisjon)
Siffer: $10 \cdot 9$

Totalt: $29 \cdot 28 \cdot 27 \cdot 10 \cdot 9 = 21{\,}924 \cdot 90 = 1{\,}973{\,}160$

📝Oppgave 2

Et passord skal bestå av $4$ siffer ( $0$ -- $9$ ). Hvor mange passord er mulige hvis gjentakelse er tillatt?

📝Oppgave 3

Et passord skal bestå av $4$ forskjellige siffer ( $0$ -- $9$ ). Hvor mange passord er mulige?

Når gjentakelse ikke er tillatt, reduseres antall muligheter for hvert delvalg. Dette kalles valg uten tilbakelegging:

Første valg: $n$ muligheter
Andre valg: $n - 1$ muligheter
Tredje valg: $n - 2$ muligheter
$\vdots$

Multiplikasjonsprinsippet gjelder fortsatt, men med ulike verdier for hvert steg.

✏️Eksempel 3: Bilskilt

Et bilskilt har $2$ bokstaver (fra det engelske alfabetet, $26$ bokstaver) etterfulgt av $5$ siffer. Hvor mange skilt kan lages?

Løsning:

Med gjentakelse (som er normalt for bilskilt):

$26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 26^2 \cdot 10^5 = 676 \cdot 100{\,}000 = 67{\,}600{\,}000$

Det finnes $67{\,}600{\,}000$ mulige bilskilt.

📝Oppgave 4

I en klasse med $30$ elever skal det velges en leder, en nestleder og en sekretær. Ingen kan ha mer enn ett verv. På hvor mange måter kan vervene fordeles?

Addisjonsprinsippet

A

✏️Eksempel 4: Addisjonsprinsippet

I en klasse med $15$ gutter og $12$ jenter skal det velges én representant. Representanten skal enten være en gutt eller en jente. Hvor mange valg finnes?

Løsning:

Valgene er gjensidig utelukkende (representanten kan ikke være begge deler).

Totalt: $15 + 12 = 27$ mulige valg.

📝Oppgave 5

En restaurant har $8$ kjøttretter, $5$ fiskeretter og $3$ vegetarretter. Hvor mange valg har du hvis du skal velge én rett?

Kombinasjon av prinsippene

I mange problemer bruker vi begge prinsippene sammen. Nøkkelen er å identifisere:
- Multiplikasjon: Flere valg som gjøres etter hverandre (OG)
- Addisjon: Valg som utelukker hverandre (ELLER)

Stikkord: «og» $\rightarrow$ multipliser, «eller» $\rightarrow$ adder.

✏️Eksempel 5: Kombinasjon av prinsippene

Et passord skal bestå av enten $3$ bokstaver og $2$ siffer, eller $2$ bokstaver og $3$ siffer (bokstaver fra det engelske alfabetet). Gjentakelse er tillatt. Hvor mange passord finnes?

Løsning:

Type 1: $3$ bokstaver + $2$ siffer: $26^3 \cdot 10^2 = 17{\,}576 \cdot 100 = 1{\,}757{\,}600$

Type 2: $2$ bokstaver + $3$ siffer: $26^2 \cdot 10^3 = 676 \cdot 1000 = 676{\,}000$

De to typene utelukker hverandre (ulik lengde på bokstav- og sifferdelen), så vi adderer:

$1{\,}757{\,}600 + 676{\,}000 = 2{\,}433{\,}600$

📝Oppgave 6

Hvor mange tresifrede tall ( $100$ -- $999$ ) har bare oddetallssifre?

📝Oppgave 7

Hvor mange tresifrede tall ( $100$ -- $999$ ) er partall?

📝Oppgave 8

I et kortspill med $52$ kort (4 farger, 13 verdier) trekkes $2$ kort etter hverandre uten tilbakelegging. På hvor mange måter kan dette gjøres dersom rekkefølgen har betydning?

📝Oppgave 9

Hvor mange tresifrede tall ( $100$ -- $999$ ) har nøyaktig to like sifre?

📝Oppgave 10

En iskrembutikk har $6$ smaker og $3$ typer kjeks. Du skal velge én is og én kjeks. Bruk multiplikasjonsprinsippet til å finne antall mulige kombinasjoner.

📝Oppgave 11

7

personer skal sitte på en benk med

7

plasser. På hvor mange måter kan de sette seg?

📝Oppgave 12

Et sykkelkombinasjonslås har $4$ ringer med sifre $0$ -- $9$ . Hvor mange koder finnes? Dersom du prøver én kode hvert $5.$ sekund, hvor lang tid tar det i verste fall å prøve alle?

📝Oppgave 13

I hvor mange tresifrede tall ( $100$ -- $999$ ) er siffersummen lik $5$ ?

📝Oppgave 14

En reise fra by A til by C går via by B. Det finnes $3$ veier fra A til B og $4$ veier fra B til C. I tillegg finnes $2$ direkte veier fra A til C.

a) På hvor mange måter kan du reise fra A til C?
b) På hvor mange måter kan du reise fra A til C og tilbake til A uten å bruke samme vei to ganger?

Oppsummering

Valgtre: Visuell fremstilling der hver forgrening representerer et delvalg.

Multiplikasjonsprinsippet: Når $k$ delvalg gjøres etter hverandre med $n_1, n_2, \ldots, n_k$ muligheter, er totalt antall: $n_1 \cdot n_2 \cdot \ldots \cdot n_k$ .

Addisjonsprinsippet: Når valg utelukker hverandre (ELLER), adderer vi: $n_1 + n_2 + \ldots + n_k$ .

Huskeregel: «OG» betyr multiplikasjon, «ELLER» betyr addisjon.

Med/uten gjentakelse: Uten gjentakelse reduseres antall muligheter for hvert steg.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.