8.7 Binomisk og hypergeometrisk fordeling

Binomialfordelingen, hypergeometrisk fordeling og valg av riktig modell.

55 min

10 oppgaver

BinomialfordelingHypergeometrisk fordelingMed/uten tilbakelegging

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Binomisk og hypergeometrisk fordeling

I mange praktiske situasjoner gjentar vi et forsøk mange ganger og teller antall "suksesser". To viktige fordelinger beskriver slike situasjoner:

- Binomisk fordeling: Vi trekker med tilbakelegging (eller populasjonen er så stor at tilbakelegging ikke spiller noen rolle). Sannsynligheten for suksess er konstant ved hvert forsøk.

- Hypergeometrisk fordeling: Vi trekker uten tilbakelegging fra en endelig populasjon. Sannsynligheten endres for hvert trekk.

Å velge riktig fordeling er like viktig som selve beregningen.

Binomisk fordeling

X

📜Forventningsverdi og varians for binomisk fordeling

La $X \sim B(n, p)$ . Da er:

Forventet verdi: $E(X) = np$

Varians: $\text{Var}(X) = np(1-p)$

Standardavvik: $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Forventningsverdien $np$ er det "typiske" antall suksesser vi forventer. Variansen forteller hvor mye resultatet typisk avviker fra forventningen.

✏️Eksempel 1: Terningkast

En rettferdig terning kastes 10 ganger. La $X$ være antall seksere.

a) Hvilken fordeling har $X$ ?

b) Beregn $P(X = 3)$ .

c) Finn $E(X)$ og $\text{Var}(X)$ .

a) Hvert kast er uavhengig med

p = 1/6

. Dermed

X \sim B(10, 1/6)

b)
$P(X = 3) = \binom{10}{3} \left(\frac{1}{6}\right)^3 \left(\frac{5}{6}\right)^7 = 120 \cdot \frac{1}{216} \cdot \frac{78125}{279936} \approx 0{,}155$

c) $\displaystyle E(X) = 10 \cdot \frac{1}{6} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67$

$\displaystyle \text{Var}(X) = 10 \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{25}{18} \approx 1{,}39$

✏️Eksempel 2: Minst-sannsynlighet

En eksamen har 8 flervalgsspøersmaal med 4 alternativer. En elev gjetter tilfeldig på alle. Finn sannsynligheten for at eleven får minst 3 riktige.

X \sim B(8, 0{,}25)

. Vi søker

P(X \geq 3)

Det er enklere å bruke komplementet: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$ .

$P(X = 0) = \binom{8}{0}(0{,}25)^0(0{,}75)^8 = (0{,}75)^8 \approx 0{,}1001$

$P(X = 1) = \binom{8}{1}(0{,}25)^1(0{,}75)^7 = 8 \cdot 0{,}25 \cdot (0{,}75)^7 \approx 0{,}2670$

$P(X = 2) = \binom{8}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^6 = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot (0{,}75)^6 \approx 0{,}3115$

$P(X \geq 3) = 1 - 0{,}1001 - 0{,}2670 - 0{,}3115 \approx 0{,}321$

Hypergeometrisk fordeling

N

✏️Eksempel 3: Kortspill

Fra en standard kortstokk på 52 kort trekker vi 5 kort uten tilbakelegging. La $X$ være antall hjerter (det er 13 hjerter i kortstokken).

a) Hvilken fordeling har $X$ ?

b) Beregn $P(X = 2)$ .

c) Finn $E(X)$ .

a) Trekking uten tilbakelegging fra endelig populasjon:

X \sim H(52, 13, 5)

b)
$P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \cdot 9139}{2598960} = \frac{712842}{2598960} \approx 0{,}274$

c) $\displaystyle E(X) = 5 \cdot \frac{13}{52} = 5 \cdot \frac{1}{4} = 1{,}25$

Binomisk fordeling passer når:
- Forsøkene er uavhengige (med tilbakelegging, eller stor populasjon)
- Konstant sannsynlighet

p

for suksess i hvert forsøk
- Eksempel: terningkast, myntkast, stikkprøve fra stor populasjon

Hypergeometrisk fordeling passer når:
- Vi trekker uten tilbakelegging fra en liten, endelig populasjon
- Sannsynligheten endres fra trekk til trekk
- Eksempel: kortspill, kvalitetskontroll av en liten batch, lotteri

Tommelfingerregel: Hvis populasjonen er mer enn 10 ganger så stor som utvalget, kan binomisk fordeling brukes som tilnærming til hypergeometrisk.

✏️Eksempel 4: Kvalitetskontroll

Et parti inneholder 20 produkter, der 4 er defekte. Vi trekker tilfeldig 3 produkter for kontroll (uten tilbakelegging).

a) Beregn sannsynligheten for at nøyaktig 1 av de 3 er defekt.

b) Beregn sannsynligheten for at ingen er defekte.

c) Finn forventet antall defekte.

X \sim H(20, 4, 3)

a)
$P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{16}{2}}{\binom{20}{3}} = \frac{4 \cdot 120}{1140} = \frac{480}{1140} \approx 0{,}421$

b)
$P(X = 0) = \frac{\binom{4}{0}\binom{16}{3}}{\binom{20}{3}} = \frac{1 \cdot 560}{1140} = \frac{560}{1140} \approx 0{,}491$

c) $\displaystyle E(X) = 3 \cdot \frac{4}{20} = 0{,}6$

Sjekk alltid forutsetningene før du velger fordeling!

Binomisk fordeling krever:
- Fast antall forsøk ( $n$ er kjent på forhånd)
- Uavhengige forsøk
- Konstant $p$

Hvis du trekker fra en eske med 10 kuler uten tilbakelegging, er forsøkene ikke uavhengige -- da må du bruke hypergeometrisk fordeling.

📝Oppgave 1

Grunnleggende binomisk fordeling.

En mynt kastes 8 ganger. La $X$ være antall kron. Skriv fordelingen til $X$ og beregn $P(X = 4)$ .

I et spill er sannsynligheten for å vinne en runde $p = 0{,}3$ . Vi spiller 6 runder. Finn forventet antall seire og standardavviket.

Sannsynligheten for å treffe blinken med et skudd er $0{,}8$ . Du skyter 5 skudd. Finn $P(X = 5)$ , dvs. at alle treffer.

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Grunnleggende hypergeometrisk fordeling.

I en skuff ligger det 5 røde og 7 blå kuler. Vi trekker 4 uten tilbakelegging. Finn sannsynligheten for nøyaktig 2 røde.

Et lotteri har 50 lodd der 10 er premielodd. Du kjøper 3 lodd. Finn $P(X = 0)$ og $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 3

Velg riktig fordeling og beregn.

En fabrikk produserer batterier der 5 % er defekte. Vi trekker tilfeldig 20 batterier fra et stort lager. Hvilken fordeling passer? Finn $P(X = 1)$ .

En liten kasse inneholder 10 lodd, 3 av dem er premielodd. Vi trekker 4 lodd uten tilbakelegging. Hvilken fordeling passer? Finn $P(X \geq 1)$ .

En klasse har 30 elever, 12 jenter og 18 gutter. Vi velger tilfeldig en komité på 4 elever. La $X$ være antall jenter. Finn $P(X = 2)$ og $E(X)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Binomisk fordeling med komplement.

En terning kastes 5 ganger. Finn sannsynligheten for minst én sekser.

I en spørreundersøkelse sier 60 % ja. Vi spør 12 tilfeldig valgte personer. Finn $P(X \leq 5)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Sammensatte sannsynlighetsoppgaver.

Vi kaster en rettferdig terning inntil vi får en sekser, men maks 5 ganger. La $Y$ være antall kast. Er $Y$ binomisk fordelt? Forklar. Finn $P(Y \leq 3)$ .

I et lotteri er det 100 lodd, 10 premielodd. Anna kjøper 5 lodd. Bruk hypergeometrisk fordeling til å finne $P(X \geq 2)$ .

En basketballspiller treffer 70 % av sine frikast. I en kamp tar hun 10 frikast. Finn sannsynligheten for at hun treffer mellom 6 og 8 (inklusiv).

Løs oppgaven Tren

Oppsummering

Binomisk fordeling $X \sim B(n, p)$ — $n$ uavhengige forsøk, konstant suksesssannsynlighet $p$ (trekning med tilbakelegging):
- $P(X = k) = \dbinom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$
- $E(X) = np$ , $\text{Var}(X) = np(1-p)$ , $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$

Hypergeometrisk fordeling $X \sim H(N, M, n)$ — utvalg på $n$ fra populasjon med $N$ elementer der $M$ er suksesser (trekning uten tilbakelegging):
- $P(X = k) = \dfrac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$
- $E(X) = n \cdot \dfrac{M}{N}$

Valg av fordeling:
- Med tilbakelegging eller uavhengige forsøk → binomisk
- Uten tilbakelegging fra endelig populasjon → hypergeometrisk
- Når $N$ er mye større enn $n$ , er binomisk en god tilnærming til hypergeometrisk

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.