6.6 Vektorer i naturvitenskapelige problemer

Bevegelse, hastighet, strøm/vind-problemer, kollisjoner og kraftdekomposisjon.

55 min

9 oppgaver

HastighetsvektorerStrøm og vindKollisjonKraftdekomposisjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 9 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.4Vektorlengde og avstand

Vektorer i naturvitenskapelige problemer

Vektorer er uvurderlige i fysikken. Størrelser som hastighet, akselerasjon og kraft har både en størrelse og en retning – de er nettopp vektorer.

I dette kapittelet ser vi på typiske problemer der vi bruker vektorregning til å modellere og løse fysiske situasjoner: båter mot strøm, fly mot vind, resulterende krefter, bevegelse i planet og kollisjonsproblemet.

Hastighet og kraft som vektorer

\vec{v} = [v_x, v_y]

Parameterframstilling for bevegelse

Posisjonen til et objekt som beveger seg med konstant hastighet kan beskrives med en parameterframstilling:

$\vec{p}(t) = \vec{p}_0 + t \cdot \vec{v}$

der $\vec{p}_0$ er startposisjonen ved $t = 0$ og $\vec{v}$ er hastighetsvektoren.

I komponentform:

$x(t) = x_0 + v_x \cdot t \qquad y(t) = y_0 + v_y \cdot t$

Med konstant akselerasjon $\vec{a}$ (f.eks. tyngdekraft) får vi:

$\vec{p}(t) = \vec{p}_0 + t \cdot \vec{v}_0 + \frac{1}{2}t^2 \cdot \vec{a}$

✏️Eksempel 1: Båt mot strøm

En båt kan gå med fart 5 m/s i stille vann. Båten skal over en elv der strømmen går med hastighetsvektor $\vec{s} = [2, 0]$ m/s (dvs. 2 m/s i $x$ -retning).

Båtføreren sikter rett over elva (i $y$ -retning). Finn den faktiske hastighetsvektoren og den faktiske farten til båten.

Båtens hastighet i forhold til vannet:

\vec{v}_b = [0, 5]

m/s.

Den faktiske hastigheten (i forhold til land) er summen:

$\vec{v} = \vec{v}_b + \vec{s} = [0, 5] + [2, 0] = [2, 5] \text{ m/s}$

$|\vec{v}| = \sqrt{2^2 + 5^2} = \sqrt{29} \approx 5{,}4 \text{ m/s}$

Svar: Den faktiske hastighetsvektoren er $\vec{v} = [2, 5]$ m/s, og farten er ca. $5{,}4$ m/s. Båten driver nedstrøms samtidig som den krysser elva.

✏️Eksempel 2: Fly mot vind – kurskorreksjon

Et fly skal fly rett nordover. Farten i forhold til lufta er 200 km/h. Det blåser en vind fra vest med fart 50 km/h, altså $\vec{w} = [50, 0]$ km/h.

Hvilken kurs (vinkel vest for nord) må piloten holde, og hva blir farten i forhold til bakken?

La $\vec{v}_f = [v_x, v_y]$ være flyets hastighet i forhold til lufta, med $|\vec{v}_f| = 200$ .

Hastigheten i forhold til bakken: $\vec{v} = \vec{v}_f + \vec{w} = [v_x + 50,\; v_y]$ .

For å gå rett nord: $v_x + 50 = 0 \Rightarrow v_x = -50$ km/h.

$v_y = \sqrt{200^2 - 50^2} = \sqrt{40000 - 2500} = \sqrt{37500} = 50\sqrt{15} \approx 194$ km/h.

Vinkel vest for nord: $\displaystyle \sin\theta = \frac{50}{200} = 0{,}25 \Rightarrow \theta \approx 14{,}5°$ .

Svar: Piloten må holde kurs ca. $14{,}5°$ vest for nord. Farten i forhold til bakken blir $50\sqrt{15} \approx 194$ km/h rett nordover.

✏️Eksempel 3: Resulterende kraft og arbeid

To krefter virker på et legeme: $\vec{F}_1 = [3, 4]$ N og $\vec{F}_2 = [-1, 2]$ N.

a) Finn den resulterende kraften $\vec{F}_{\text{res}}$ .

b) Finn størrelsen av den resulterende kraften.

c) Finn arbeidet dersom legemet forflyttes $\vec{s} = [2, -1]$ m.

\vec{F}_{\text{res}} = [3-1,\; 4+2] = [2, 6]

Svar: $[2, 6]$ N

b) $|\vec{F}_{\text{res}}| = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3$ N

Svar: $2\sqrt{10} \approx 6{,}3$ N

c) $W = \vec{F}_{\text{res}} \cdot \vec{s} = 2 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = 4 - 6 = -2$ J

Negativt arbeid betyr at kraften motvirker forflytningen.

Svar: $-2$ J

To objekter

A

B

har posisjoner

\vec{p}_A(t) = \vec{p}_{A0} + t\vec{v}_A

\vec{p}_B(t) = \vec{p}_{B0} + t\vec{v}_B

De kolliderer når $\vec{p}_A(t) = \vec{p}_B(t)$ , dvs. når:

$\vec{p}_{A0} - \vec{p}_{B0} + t(\vec{v}_A - \vec{v}_B) = \vec{0}$

Vi løser dette som et likningssystem i $t$ ved å sette komponentene lik null. Systemet har løsning bare hvis begge komponentene gir samme verdi av $t$ .

✏️Eksempel 4: Kollisjonsproblemet

Skip $A$ er i posisjon $(0, 10)$ med hastighetsvektor $\vec{v}_A = [3, -1]$ km/h. Skip $B$ er i posisjon $(12, 0)$ med hastighetsvektor $\vec{v}_B = [-1, 2]$ km/h.

Vil skipene kollidere? Hvis ja, når og hvor?

Posisjoner:

\vec{p}_A(t) = [3t,\; 10-t]

\vec{p}_B(t) = [12-t,\; 2t]

Sett lik:
- $x$ : $3t = 12 - t \Rightarrow 4t = 12 \Rightarrow t = 3$
- $y$ : $10 - t = 2t \Rightarrow 10 = 3t \Rightarrow t = 10/3$

Siden $\displaystyle t = 3 \neq \frac{10}{3}$ , kolliderer skipene ikke.

Minste avstand: Vektoren fra $A$ til $B$ ved tiden $t$ er
$\begin{aligned} &\vec{p}_B(t) - \vec{p}_A(t) \\ = {}&[12 - t - 3t,\; 2t - 10 + t] \\ = {}&[12 - 4t,\; 3t - 10] \end{aligned}$
$d(t)^2 = (12 - 4t)^2 + (3t - 10)^2 = 25t^2 - 156t + 244$

Kvadratroten er voksende, så $d(t)$ og $d(t)^2$ er minst for samme $t$ . Vi deriverer $d(t)^2$ :
$(d^2)'(t) = 50t - 156$
$50t - 156 = 0 \Rightarrow t = \frac{78}{25} = 3{,}12$

$(d^2)'$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $t = 3{,}12$ , så det er et bunnpunkt.
$\begin{aligned} d(3{,}12)^2 &= (12 - 12{,}48)^2 + (9{,}36 - 10)^2 \\ &= 0{,}2304 + 0{,}4096 \\ &= 0{,}64 \end{aligned}$
$d = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$

Svar: Skipene kolliderer ikke. Den minste avstanden er $0{,}8$ km, etter $3{,}12$ timer.

✏️Eksempel 5: Møtes dronene, eller krysser bare banene?

To droner flyr rett fram med konstant fart. Posisjonene etter

t

sekunder er (i meter)

\vec{r}_1(t) = [20 + 3t,\; 10 + 4t] \qquad \vec{r}_2(t) = [80 + t,\; 160 - 2t]

der

0 \le t \le 40

a) Vis at banene krysser hverandre, og finn krysningspunktet.

b) Avgjør om dronene møtes.

c) Finn den minste avstanden mellom dronene, og når den inntreffer.

a) Vi bruker ulike parametre,

t

for drone 1 og

s

for drone 2:

20 + 3t = 80 + s \quad \text{(1)}

10 + 4t = 160 - 2s \quad \text{(2)}

Fra (1): $s = 3t - 60$ . Innsatt i (2):
$10 + 4t = 160 - 2(3t - 60)$
$10 + 4t = 280 - 6t$
$10t = 270$
$t = 27$

$s = 3 \cdot 27 - 60 = 21$

$\vec{r}_1(27) = [20 + 81,\; 10 + 108] = [101, 118]$

Svar: Banene krysser hverandre i $(101, 118)$ . Drone 1 er der etter 27 s, drone 2 etter 21 s.

b) Dronene møtes hvis begge koordinatene er like ved samme $t$ :
$20 + 3t = 80 + t \Rightarrow t = 30$
$10 + 4t = 160 - 2t \Rightarrow t = 25$

Koordinatene blir like ved ulike tidspunkter. Ved $t = 30$ er dronene i $(110, 130)$ og $(110, 100)$ , 30 m fra hverandre.

Svar: Dronene møtes ikke. De passerer krysningspunktet med 6 sekunders mellomrom.

c)
$\begin{aligned} &\vec{r}_2(t) - \vec{r}_1(t) \\ = {}&[80 + t - 20 - 3t,\; 160 - 2t - 10 - 4t] \\ = {}&[60 - 2t,\; 150 - 6t] \end{aligned}$
$\begin{aligned} d(t)^2 &= (60 - 2t)^2 + (150 - 6t)^2 \\ &= 40t^2 - 2040t + 26\,100 \end{aligned}$
$(d^2)'(t) = 80t - 2040$
$80t - 2040 = 0 \Rightarrow t = 25{,}5$

$(d^2)'$ skifter fortegn fra $-$ til $+$ i $t = 25{,}5$ , så det er et bunnpunkt.
$\begin{aligned} d(25{,}5)^2 &= (60 - 51)^2 + (150 - 153)^2 \\ &= 81 + 9 = 90 \end{aligned}$
$d = \sqrt{90} = 3\sqrt{10} \approx 9{,}49$

Svar: Den minste avstanden er $3\sqrt{10} \approx 9{,}5$ m, etter $25{,}5$ s.

Tyngdekraften på et skråplan: Et legeme ligger på et skråplan med helningsvinkel

\theta

. Tyngdekraften

\vec{G}

peker loddrett ned, og vi dekomponerer den i en komponent langs planet og en komponent vinkelrett på planet:

- Langs planet: $G_{\parallel} = |\vec{G}| \sin\theta$
- Vinkelrett på planet: $G_{\perp} = |\vec{G}| \cos\theta$

Formlene gjelder for en loddrett kraft. For en kraft med en annen retning må vinkelen mellom kraften og planet brukes.

📝Oppgave 1

Grunnleggende hastighets- og kraftoppgaver.

En ball kastes med hastighetsvektor $\vec{v} = [6, 8]$ m/s. Finn farten $|\vec{v}|$ .

Finn den resulterende kraften av $\vec{F}_1 = [5, -2]$ N og $\vec{F}_2 = [-3, 7]$ N, og størrelsen.

Finn arbeidet når kraften $\vec{F} = [4, 3]$ N virker langs forflytningen $\vec{s} = [5, 0]$ m.

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Parameterframstilling for bevegelse.

Et objekt starter i $(2, 3)$ og beveger seg med hastighet $\vec{v} = [1, -2]$ m/s. Skriv parameterframstillingen og finn posisjonen etter $t = 4$ s.

Et objekt har posisjon $\vec{p}(t) = [3t, 10 - 2t]$ . Finn startposisjonen, hastighetsvektoren og når objektet krysser $x$ -aksen.

📝Oppgave 3

Strøm- og vindoppgaver.

En kajakist padler med fart 3 m/s rett nord i stille vann. Elven strømmer med $\vec{s} = [1, -1]$ m/s. Finn den faktiske hastighetsvektoren og farten.

En svømmer vil svømme rett over en elv (i $y$ -retning). Farten i stille vann er 2 m/s. Strømmen er $\vec{s} = [1{,}5,\; 0]$ m/s. Hvilken retning må svømmeren sikte, og hva blir farten rett over?

Et fly skal fly rett østover. Farten i forhold til lufta er 300 km/h. Vinden blåser fra sør med 40 km/h. Skriv vindvektoren, og finn kursen piloten må holde.

📝Oppgave 4

Bevegelse, kollisjon og tyngdekraft.

Bil $A$ er i $(0, 0)$ med $\vec{v}_A = [4, 3]$ og bil $B$ er i $(20, 0)$ med $\vec{v}_B = [0, 3]$ . Kolliderer de? Finn i så fall tidspunkt og sted.

En stein skytes med $\vec{v}_0 = [15, 20]$ m/s fra origo. Akselerasjon $\vec{a} = [0, -10]$ m/s $^2$ . Finn når steinen treffer bakken og maks høyde.

Tre krefter $\vec{F}_1 = [10, 0]$ N, $\vec{F}_2 = [0, 8]$ N og $\vec{F}_3 = [-4, -3]$ N virker på et legeme som beveger seg $\vec{s} = [3, 2]$ m. Finn resultantkraft og arbeid.

📝Oppgave 5

En båt har posisjonen $\vec{p}(t) = [2 + 3t,\; -4 + t]$ etter $t$ timer, målt i kilometer. Et fyr står i punktet $F = (7, 1)$ .

Vis at kvadratet av avstanden mellom båten og fyret er $d(t)^2 = 10t^2 - 40t + 50$ .

Når er båten nærmest fyret, og hva er den minste avstanden?

Hvor er båten når den er nærmest fyret?

Oppsummering

Hastighet som vektor:
- $\vec{v} = [v_x, v_y]$ , farten er $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$
- Resulterende hastighet av flere bidrag (f.eks. båt + strøm): vektorsummen

Kraft og arbeid:
- Resulterende kraft: $\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$
- Arbeid: $W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F_x s_x + F_y s_y$

Bevegelse med parameterframstilling:
- Posisjon: $P(t) = (x_0 + v_x t,\ y_0 + v_y t)$ ved konstant hastighet
- Hastighetsvektoren er den deriverte av posisjonen

Kollisjonsproblemet: To objekter kolliderer hvis de er i samme punkt ved samme tidspunkt — sett posisjonene like og løs for $t$ , og kontroller begge koordinatene. At banene krysser hverandre (ulike parametre $t$ og $s$ ), betyr ikke at objektene møtes.

Minste avstand: Finn $d(t)^2$ som kvadratet av lengden til differansevektoren, deriver og sett $(d^2)'(t) = 0$ .

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.