6.6 Vektorer i naturvitenskapelige problemer

Matematikk med vind i håret

En ferje legger ut fra kaia og sikter rett mot den andre siden av fjorden – men kommer i land et godt stykke lenger nede. En pilot holder stø kurs mot nord, men flyet driver østover. To skip nærmer seg hverandre i tåka, og kapteinene må vite: kommer vi til å treffes?

Alt dette er vektorregning. Hastighet, kraft, forskyvning og akselerasjon er størrelser med både størrelse og retning – de er vektorer, og naturen adderer dem komponentvis enten vi vil eller ikke. Strømmen i elva bryr seg ikke om hvor båtføreren sikter; den legger sin hastighetsvektor oppå båtens, og resultatet er summen. Kreftene som virker på en kasse, drar i hver sin retning, og kassen merker bare den samlede virkningen – resultanten.

I dette kapittelet henter vi fram hele verktøykassen fra de foregående kapitlene og slipper den løs på fysikkens verden. Vektoraddisjon forklarer hvorfor båten driver og hvordan piloten korrigerer kursen. Skalarproduktet gjenoppstår som fysikkens arbeid. Parameterframstillingen blir reisedagbok for skip i fart. Og til slutt løser vi kollisjonsproblemet – spørsmålet om to bevegelige objekter noensinne er på samme sted til samme tid. Det er nå pilene begynner å bevege seg på ordentlig.

Båten, strømmen og pilotens kurs

En hastighetsvektor $\vec{v} = (v_x, v_y)$ samler bevegelsen i ett objekt: komponentene er hastigheten i $x$- og $y$-retning, og farten – det nakne tallet på speedometeret – er lengden $|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}$. Det fine er at bidrag fra ulike kilder bare adderes: beveger du deg relativt til vannet, og vannet beveger seg relativt til land, er hastigheten din relativt til land vektorsummen.

Ta båten som skal krysse elva. Den gjør 5 m/s i stille vann, og føreren sikter rett over, altså $\vec{v}_{\text{båt}} = (0, 5)$. Men strømmen fører $\vec{s} = (2, 0)$ m/s nedover elva. Den faktiske hastigheten blir $$\vec{v}_{\text{total}} = (0, 5) + (2, 0) = (2, 5)$$ med fart $\sqrt{4 + 25} = \sqrt{29} \approx 5{,}4$ m/s. Båten kommer seg over – men lander nedstrøms, akkurat som ferja i innledningen. Den krysser raskere enn 5 m/s gjennom landskapet, men ikke dit føreren siktet.

Piloten må tenke motsatt: målet er gitt, kursen er ukjent. Flyet skal rett nordover med 200 km/h gjennom luften, mens vinden blåser fra vest med $\vec{w} = (50, 0)$ km/h. Skal summen peke rett nord, må flyets østkomponent nøytralisere vinden: $v_x + 50 = 0$, altså $v_x = -50$ – piloten må sikte vest for nord. Hvor mye gjenstår til nordover-fart? Farten gjennom luften er fortsatt 200, så $v_y = \sqrt{200^2 - 50^2} = \sqrt{37\,500} = 50\sqrt{15} \approx 194$ km/h. Vinkelen vest for nord følger av $\displaystyle \sin\theta = \frac{50}{200} = 0{,}25$, som gir $\theta \approx 14{,}5°$. Å «krabbe» mot vinden koster altså: kursen vris 14,5 grader, og framdriften nordover synker fra 200 til 194 km/h. Alt sammen lest ut av én vektorlikning.

Krefter som drar og arbeid som telles

Krefter er også vektorer: $\vec{F} = (F_x, F_y)$, målt i newton. Når flere krefter virker på samme legeme, merker legemet bare summen – den resulterende kraften $\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$. La $\vec{F}_1 = (3, 4)$ N og $\vec{F}_2 = (-1, 2)$ N dra i en gjenstand: resultanten blir $(3 - 1,\; 4 + 2) = (2, 6)$ N, med størrelse $|\vec{F}_{\text{res}}| = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \approx 6{,}3$ N. To krefter, én virkning.

Så til skalarproduktets store øyeblikk i fysikken: arbeid. Når en kraft $\vec{F}$ virker på et legeme som forflyttes $\vec{s}$, er arbeidet $$W = \vec{F} \cdot \vec{s} = F_x s_x + F_y s_y$$ Skalarproduktet plukker automatisk ut den delen av kraften som virker langs bevegelsen – komponenter på tvers gjør ingen nytte. Forflyttes gjenstanden vår $\vec{s} = (2, -1)$ m, blir arbeidet $W = 2 \cdot 2 + 6 \cdot (-1) = 4 - 6 = -2$ J. Negativt! Det er ikke en regnefeil, men fysikk: et negativt arbeid betyr at kraften samlet sett motvirker forflytningen, slik friksjonen alltid gjør når du skyver en kasse bortover gulvet.

Like ofte trenger vi å gå motsatt vei – ikke legge krefter sammen, men dele én kraft opp. Står en kasse i en skibakke med helningsvinkel $\theta$, er det ikke hele tyngdekraften som drar den utfor; det er bare komponenten langs planet. Vi dekomponerer: $F_{\parallel} = |\vec{F}| \sin\theta$ langs planet og $F_{\perp} = |\vec{F}| \cos\theta$ vinkelrett på planet. Bratt bakke (stor $\theta$) gir stor langs-komponent og fart i kassa; slak bakke gir nesten alt vinkelrett ned i underlaget. Dette enkle trikset – å splitte en vektor i en nyttig og en uskyldig del – er gjennomgangsmelodien i all mekanikk, fra skråplan i fysikktimen til bruer og kraner i ingeniørfagene.

Kollisjonskurs

To skip i samme farvann – kolliderer de? Spørsmålet krever mer enn å sjekke om rutene deres krysses. To veier kan krysse uten at bilene treffer hverandre; kollisjon krever samme sted til samme tid. Her er parameterframstillingen skapt for jobben. Et objekt med startposisjon $\vec{p}_0$ og konstant hastighet $\vec{v}$ følger $$\vec{p}(t) = \vec{p}_0 + t \cdot \vec{v}$$ – komponentvis $x(t) = x_0 + v_x t$ og $y(t) = y_0 + v_y t$. (Virker i tillegg en konstant akselerasjon $\vec{a}$, som tyngdekraften, utvides reisedagboken til $\displaystyle \vec{p}(t) = \vec{p}_0 + t\vec{v}_0 + \frac{1}{2}t^2\vec{a}$.)

Kollisjonskravet er nå presist: $\vec{p}_A(t) = \vec{p}_B(t)$ for én og samme $t$. Det gir én likning per komponent, og begge må gi samme $t$-verdi. La oss sette to skip i sjøen. Skip $A$ starter i $(0, 10)$ med $\vec{v}_A = (3, -1)$ km/t, skip $B$ i $(12, 0)$ med $\vec{v}_B = (-1, 2)$ km/t. Reisedagbøkene: $\vec{p}_A(t) = (3t,\; 10 - t)$ og $\vec{p}_B(t) = (12 - t,\; 2t)$. Sett komponentene like: $x$-likningen $3t = 12 - t$ gir $t = 3$, mens $y$-likningen $10 - t = 2t$ gir $\displaystyle t = \frac{10}{3}$.

To forskjellige tider – altså ingen kollisjon. Skipene passerer samme område, men ikke samtidig: $x$-koordinatene stemmer overens klokka 3, $y$-koordinatene først klokka 3:20. Likevel bør kapteinene følge med, for hvor nær var det? Ved $t = 3$ er $A = (9, 7)$ og $B = (9, 6)$ – avstanden er $\sqrt{0^2 + 1^2} = 1$ km. Nære på, men klar passering. Slik tenker faktisk skipstrafikksentraler og kollisjonsvarslingssystemer: framskriv posisjonene med parameterframstilling, og overvåk avstanden $|\vec{p}_A(t) - \vec{p}_B(t)|$ over tid. Vektorregning, bokstavelig talt på liv og død.

Pilene som styrer virkeligheten

Ferja som drev nedstrøms, piloten som siktet mot vinden, skipene som så vidt passerte hverandre – alle fikk sin forklaring i samme språk. Hastigheter er vektorer som adderes: båtens $(0, 5)$ pluss strømmens $(2, 0)$ ga den faktiske kursen $(2, 5)$ med fart $\sqrt{29} \approx 5{,}4$ m/s, og pilotens kurskorreksjon var bare den samme likningen løst baklengs – sikt $14{,}5°$ mot vinden, og betal med litt framdrift.

Krefter følger samme regel: resultanten er vektorsummen $\vec{F}_{\text{res}} = \vec{F}_1 + \vec{F}_2$, og skalarproduktet fikk sin fysiske tolkning som arbeid, $W = \vec{F} \cdot \vec{s}$ – tallet som teller bare den delen av kraften som virker langs bevegelsen, og som blir negativt når kraften bremser. Motsatt vei går dekomponeringen: på et skråplan deles kraften i $F_{\parallel} = |\vec{F}|\sin\theta$ langs planet og $F_{\perp} = |\vec{F}|\cos\theta$ vinkelrett på det.

Til slutt satte parameterframstillingen alt i bevegelse: $\vec{p}(t) = \vec{p}_0 + t\vec{v}$ er objektets reisedagbok, og kollisjonsproblemet ble redusert til ett spørsmål – finnes det én $t$ som gjør begge komponentlikningene sanne samtidig? For skipene våre var svaret nei ($t = 3$ mot $\displaystyle t = \frac{10}{3}$), med én kilometers klaring som margin.

Dette kapittelet avslutter fortellingen om vektorer i planet: fra piler med koordinater, via lengder, vinkler og skalarprodukt, til linjer, sirkler og til slutt en virkelighet i bevegelse. Verktøyene du nå har, er nøyaktig de samme som styrer navigasjonssystemer, fysikkmotorer i spill og beregningene bak hver eneste bru – bare med flere dimensjoner og raskere datamaskiner.