6.4 Vektorlengde og avstand

Vektorlengde, avstand mellom punkter, punkt-til-linje avstand og midtpunktsformelen.

55 min

10 oppgaver

VektorlengdeAvstandPunkt-til-linjeMidtpunktProjeksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Vektorer i planet

Brukes videre i

6.5Linjer og sirkler i planet 6.6Vektorer i naturvitenskapelige problemer

Vektorlengde og avstand

Lengden av en vektor er et mål på hvor langt vi forflyttes når vi bruker vektoren. Vi bruker Pytagoras' setning for å beregne lengden direkte fra koordinatene.

Avstand mellom to punkter er det samme som lengden av differansevektoren mellom dem. I tillegg kan vi beregne avstand fra et punkt til en linje, og mellom to parallelle linjer. Disse begrepene er nært knyttet til hverandre og brukes hyppig i geometri, fysikk og analysen.

Vektorlengde (absoluttverdi)

\vec{v} = [x, y]

Avstand mellom to punkter

A = (x_1, y_1)

✏️Eksempel 1: Vektorlengde og avstand

a) Finn lengden av $\vec{u} = [3, -4]$ .

b) Finn avstanden mellom $A = (1, 2)$ og $B = (5, -1)$ .

c) Finn lengden av $\vec{w} = [-2, 2\sqrt{3}]$ .

|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

Svar: $5$

b) $|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

Svar: $5$

c) $|\vec{w}| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

Svar: $4$

Midtpunktsformelen

M

✏️Eksempel 2: Midtpunktsformelen

a) Finn midtpunktet mellom $A = (-3, 5)$ og $B = (7, -1)$ .

b) Midtpunktet av en strekning $AB$ er $M = (4, 1)$ , og $A = (1, 3)$ . Finn $B$ .

\displaystyle M = \left(\frac{-3+7}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (2, 2)

b) Vi bruker at $\displaystyle \overrightarrow{OM} = \frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}\right)$ , så $\overrightarrow{OB} = 2\overrightarrow{OM} - \overrightarrow{OA}$ :

$\overrightarrow{OB} = [2 \cdot 4 - 1,\; 2 \cdot 1 - 3] = [7, -1]$

Svar: $B = (7, -1)$

Avstand fra punkt til linje

Avstanden fra et punkt $P$ til en linje $\ell$ er lengden av det korteste linjestykket fra $P$ til linja. Det korteste linjestykket $PC$ står vinkelrett på linja. Vi finner derfor punktet $C$ på linja der $\overrightarrow{PC}$ står vinkelrett på retningsvektoren, altså der skalarproduktet er null.

✏️Eksempel 3: Avstand fra punkt til linje med vektorer

Linja $\ell$ går gjennom $A = (1, 2)$ og $B = (5, 4)$ . Finn den eksakte avstanden fra $P = (2, 9)$ til $\ell$ .

\overrightarrow{AB} = [5 - 1,\; 4 - 2] = [4, 2]

Et punkt $C$ på linja:
$\overrightarrow{OC} = [1, 2] + t[4, 2] = [1 + 4t,\; 2 + 2t]$
$\overrightarrow{PC} = [1 + 4t - 2,\; 2 + 2t - 9] = [4t - 1,\; 2t - 7]$

$\overrightarrow{PC} \perp \overrightarrow{AB}$ :
$4(4t - 1) + 2(2t - 7) = 0$
$20t - 18 = 0$
$t = \frac{9}{10}$

$\overrightarrow{PC} = \left[4 \cdot \frac{9}{10} - 1,\; 2 \cdot \frac{9}{10} - 7\right] = \left[\frac{13}{5}, -\frac{26}{5}\right]$

$\left|\overrightarrow{PC}\right| = \sqrt{\frac{169}{25} + \frac{676}{25}} = \sqrt{\frac{845}{25}} = \frac{13\sqrt{5}}{5}$

Svar: Avstanden er $\displaystyle \frac{13\sqrt{5}}{5} \approx 5{,}81$ . Det nærmeste punktet på linja er $C = (4{,}6;\ 3{,}8)$ .

Fra vektormetoden til en formel

Skrives linja på formen $ax + by + c = 0$ , er $\vec{n} = [a, b]$ en normalvektor til linja. For to punkter $(x_1, y_1)$ og $(x_2, y_2)$ på linja er $ax_1 + by_1 + c = 0$ og $ax_2 + by_2 + c = 0$ . Vi trekker likningene fra hverandre:
$a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0$

Altså er $\vec{n} \cdot [x_2 - x_1,\; y_2 - y_1] = 0$ , og $\vec{n}$ står vinkelrett på linja.

La $Q = (x_1, y_1)$ være et punkt på linja og $P = (x_0, y_0)$ punktet utenfor. Avstanden $d$ er lengden av projeksjonen av $\overrightarrow{QP}$ på $\vec{n}$ . Med $v$ som vinkelen mellom $\overrightarrow{QP}$ og $\vec{n}$ er
$d = \left|\overrightarrow{QP}\right| \cdot |\cos v| = \frac{\left|\overrightarrow{QP} \cdot \vec{n}\right|}{|\vec{n}|}$

Siden $Q$ ligger på linja, er $ax_1 + by_1 = -c$ :
$\begin{aligned} \overrightarrow{QP} \cdot \vec{n} &= a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1) \\ &= ax_0 + by_0 - (ax_1 + by_1) \\ &= ax_0 + by_0 + c \end{aligned}$

Nevneren er $|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Det gir formelen under.

📜Avstand fra punkt til linje

Gitt en linje

\ell

med likning

ax + by + c = 0

og et punkt

P = (x_0, y_0)

Avstanden fra $P$ til $\ell$ er:

$d(P, \ell) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Kontroll mot eksempel 3: Linja gjennom $(1, 2)$ og $(5, 4)$ er $x - 2y + 3 = 0$ . Formelen gir
$d = \frac{|2 - 2 \cdot 9 + 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2}} = \frac{13}{\sqrt{5}} = \frac{13\sqrt{5}}{5}$
som er det samme som vektormetoden ga.

✏️Eksempel 4: Avstand med formelen

Finn avstanden fra punktet $P = (3, 1)$ til linjen $2x - y + 4 = 0$ .

Her er

a = 2

b = -1

c = 4

, og

(x_0, y_0) = (3, 1)

$\begin{aligned} d &= \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} \\ &= \frac{|6 - 1 + 4|}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{9}{\sqrt{5}} \\ &= \frac{9\sqrt{5}}{5} \end{aligned}$

Svar: Avstanden er $\displaystyle \frac{9\sqrt{5}}{5} \approx 4{,}02$ .

✏️Eksempel 5: Speiling av et punkt om en linje

Linja $\ell$ er gitt ved $x = 1 + 2t$ , $y = t$ . Speil punktet $P = (0, 7)$ om $\ell$ .

Speilbildet

P'

ligger på normalen fra

P

til linja, like langt fra linja som

P

, men på motsatt side. Vi finner først fotpunktet

C

Et punkt på linja er $C = (1 + 2t,\; t)$ , og retningsvektoren er $\vec{v} = [2, 1]$ .
$\overrightarrow{PC} = [1 + 2t - 0,\; t - 7] = [1 + 2t,\; t - 7]$

$\overrightarrow{PC} \perp \vec{v}$ :
$2(1 + 2t) + 1 \cdot (t - 7) = 0$
$5t - 5 = 0$
$t = 1$

Da er $C = (3, 1)$ og $\overrightarrow{PC} = [3, -6]$ .

$C$ er midtpunktet på $PP'$ :
$\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{PC} = [0, 7] + [6, -12] = [6, -5]$

Kontroll: Midtpunktet på $PP'$ er $\displaystyle \left(\frac{0 + 6}{2}, \frac{7 - 5}{2}\right) = (3, 1) = C$ ✓

Svar: Speilbildet er $P' = (6, -5)$ .

📜Avstand mellom parallelle linjer

To parallelle linjer

\ell_1: ax + by + c_1 = 0

\ell_2: ax + by + c_2 = 0

har avstand:

$d(\ell_1, \ell_2) = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Vi kan også finne denne avstanden ved å velge et vilkårlig punkt på den ene linjen og bruke punkt-til-linje-formelen for den andre.

✏️Eksempel 6: Avstand mellom parallelle linjer

Finn avstanden mellom linjene $3x + 4y - 5 = 0$ og $3x + 4y + 10 = 0$ .

Linjene er parallelle (samme normalvektor

[3, 4]

$d = \frac{|-5 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3$

Kontroll med punkt på linje: Vi velger $P = (5/3, 0)$ på $\ell_1$ (sjekk: $3 \cdot 5/3 + 0 - 5 = 0$ ✓). Avstand fra $P$ til $\ell_2$ :

$d = \frac{|3 \cdot 5/3 + 4 \cdot 0 + 10|}{5} = \frac{|5 + 10|}{5} = 3 \quad \checkmark$

Svar: Avstanden mellom linjene er $3$ .

Areal av trekant med avstandsformelen: Gitt en trekant med grunnlinje

g

og høyde

h

, er arealet

\displaystyle A = \frac{1}{2}gh

. Du kan finne

g

som avstanden mellom to hjørner, og

h

som avstanden fra det tredje hjørnet til linjen gjennom grunnlinjen.

📝Oppgave 1

Beregn vektorlengder og avstand mellom punkter.

Finn $|\vec{v}|$ for $\vec{v} = [5, 12]$ .

Finn $|\vec{w}|$ for $\vec{w} = [-6, 8]$ .

Finn avstanden mellom $A = (-1, 3)$ og $B = (4, -9)$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 2

Midtpunkt og enkel avstand.

Finn midtpunktet mellom $A = (2, 6)$ og $B = (8, -2)$ .

Midtpunktet av $AB$ er $M = (3, 5)$ og $A = (-1, 2)$ . Finn $B$ .

Finn lengden av $\vec{u} = [1, -1]$ og enhetsvektor $\hat{u}$ i samme retning.

📝Oppgave 3

Avstand fra punkt til linje.

Finn avstanden fra $P = (0, 0)$ til linjen $3x + 4y - 10 = 0$ .

Finn avstanden fra $Q = (-1, 4)$ til linjen $x - 2y + 7 = 0$ .

Finn avstanden fra $R = (2, 3)$ til linjen $y = 3x - 1$ .

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Avstand mellom parallelle linjer og geometriske problemer.

Finn avstanden mellom $\ell_1: 2x - y + 3 = 0$ og $\ell_2: 2x - y - 7 = 0$ .

Et trekants hjørner er $A = (0,0)$ , $B = (6,0)$ og $C = (2,4)$ . Finn høyden fra $C$ ned på $AB$ .

Finn arealet av trekanten i oppgave b).

Løs oppgaven

📝Oppgave 5

Avanserte avstandsproblemer.

Punktet $P = (k, 2)$ har avstand $5$ fra punktet $Q = (1, -2)$ . Finn alle mulige verdier av $k$ .

Finn alle punkter på $x$ -aksen som har lik avstand til $A = (1, 3)$ og $B = (5, -1)$ .

Vis at trekanten med hjørner $A=(0,0)$ , $B=(4,0)$ , $C=(2,2\sqrt{3})$ er likesidet.

Finn verdien av $k$ slik at avstanden fra $P = (2, -1)$ til linjen $kx + 3y - 6 = 0$ er $\sqrt{2}$ .

📝Oppgave 6

Linja $\ell$ er gitt ved $x = 2 + t$ , $y = 1 + 2t$ , og punktet $P = (7, 1)$ ligger utenfor linja.

Finn punktet $C$ på $\ell$ som ligger nærmest $P$ .

Finn den eksakte avstanden fra $P$ til $\ell$ .

Speil $P$ om $\ell$ .

Oppsummering

Vektorlengde:
- $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ for $\vec{v} = [x, y]$
- $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$ , og $|\vec{v}| = 0$ bare for nullvektoren

Avstand mellom to punkter:
- $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ — lengden av $\overrightarrow{AB}$

Midtpunktsformelen:
- $M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Avstand fra punkt til linje:
- Vektormetoden: finn $C$ på linja med $\overrightarrow{PC} \cdot \vec{v} = 0$ , da er $d = \left|\overrightarrow{PC}\right|$
- Speiling om linja: $\overrightarrow{OP'} = \overrightarrow{OP} + 2\overrightarrow{PC}$
- Linje $ax + by + c = 0$ og punkt $P = (x_0, y_0)$ : $d(P, \ell) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Avstand mellom parallelle linjer:
- $\ell_1\colon ax + by + c_1 = 0$ og $\ell_2\colon ax + by + c_2 = 0$ : $d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.