6.4 Vektorlengde og avstand

Vektorlengde, avstand mellom punkter, punkt-til-linje avstand og midtpunktsformelen.

55 min

10 oppgaver

VektorlengdeAvstandPunkt-til-linjeMidtpunktProjeksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.1Vektorer i planet

Brukes videre i

6.5Linjer og sirkler i planet 6.6Vektorer i naturvitenskapelige problemer

Vektorlengde og avstand

Lengden av en vektor er et mål på hvor langt vi forflyttes når vi bruker vektoren. Vi bruker Pythagoras' setning for å beregne lengden direkte fra koordinatene.

Avstand mellom to punkter er det samme som lengden av differansvektoren mellom dem. I tillegg kan vi beregne avstand fra et punkt til en linje, og mellom to parallelle linjer. Disse begrepene er nært knyttet til hverandre og brukes hyppig i geometri, fysikk og analysen.

Vektorlengde (absoluttverdi)

\vec{v} = (x, y)

Avstand mellom to punkter

A = (x_1, y_1)

✏️Eksempel 1: Vektorlengde og avstand

a) Finn lengden av $\vec{u} = (3, -4)$ .

b) Finn avstanden mellom $A = (1, 2)$ og $B = (5, -1)$ .

c) Finn lengden av $\vec{w} = (-2, 2\sqrt{3})$ .

|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5

b) $|AB| = \sqrt{(5-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$

c) $|\vec{w}| = \sqrt{(-2)^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$

Midtpunktsformelen

M

✏️Eksempel 2: Midtpunktsformelen

a) Finn midtpunktet mellom $A = (-3, 5)$ og $B = (7, -1)$ .

b) Midtpunktet av en strekning $AB$ er $M = (4, 1)$ , og $A = (1, 3)$ . Finn $B$ .

\displaystyle M = \left(\frac{-3+7}{2}, \frac{5+(-1)}{2}\right) = (2, 2)

b) Vi bruker at $\displaystyle M = \frac{1}{2}(A + B)$ , så $B = 2M - A$ :

$B = (2 \cdot 4 - 1,\; 2 \cdot 1 - 3) = (7, -1)$

📜Avstand fra punkt til linje

Gitt en linje

\ell

med likning

ax + by + c = 0

og et punkt

P = (x_0, y_0)

Avstanden fra $P$ til $\ell$ er:

$d(P, \ell) = \frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

✏️Eksempel 3: Avstand fra punkt til linje

Finn avstanden fra punktet $P = (3, 1)$ til linjen $2x - y + 4 = 0$ .

Her er

a = 2

b = -1

c = 4

, og

(x_0, y_0) = (3, 1)

$d = \frac{|2 \cdot 3 + (-1) \cdot 1 + 4|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|6 - 1 + 4|}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}} = \frac{9\sqrt{5}}{5}$

📜Avstand mellom parallelle linjer

To parallelle linjer

\ell_1: ax + by + c_1 = 0

\ell_2: ax + by + c_2 = 0

har avstand:

$d(\ell_1, \ell_2) = \frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Vi kan også finne denne avstanden ved å velge et vilkårlig punkt på den ene linjen og bruke punkt-til-linje-formelen for den andre.

✏️Eksempel 4: Avstand mellom parallelle linjer

Finn avstanden mellom linjene $3x + 4y - 5 = 0$ og $3x + 4y + 10 = 0$ .

Linjene er parallelle (samme normalvektor

(3, 4)

$d = \frac{|-5 - 10|}{\sqrt{9 + 16}} = \frac{15}{5} = 3$

Kontroll med punkt på linje: Vi velger $P = (5/3, 0)$ på $\ell_1$ (sjekk: $3 \cdot 5/3 + 0 - 5 = 0$ ✓). Avstand fra $P$ til $\ell_2$ :

$d = \frac{|3 \cdot 5/3 + 4 \cdot 0 + 10|}{5} = \frac{|5 + 10|}{5} = 3 \quad \checkmark$

Avstandsformelen for punkt til linje kan forstaaes via ortogonal projeksjon. Projeksjonen av en vektor

\vec{u}

på en vektor

\vec{n}

er:

$\text{proj}_{\vec{n}} \vec{u} = \frac{\vec{u} \cdot \vec{n}}{|\vec{n}|^2} \vec{n}$

Lengden av denne projeksjonen er $\displaystyle \frac{|\vec{u} \cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$ , som er nøyaktig avstandsformelen.

Denne metoden generaliserer: den fungerer også i tre dimensjoner og for avstand mellom vilkaarlige geometriske objekter.

Areal av trekant med avstandsformelen: Gitt en trekant med grunnlinje

g

og høyde

h

, er arealet

\displaystyle A = \frac{1}{2}gh

. Du kan finne

g

som avstanden mellom to hjørner, og

h

som avstanden fra det tredje hjørnet til linjen gjennom grunnlinjen.

📝Oppgave 1

Beregn vektorlengder og avstand mellom punkter.

Finn $|\vec{v}|$ for $\vec{v} = (5, 12)$ .

Finn $|\vec{w}|$ for $\vec{w} = (-6, 8)$ .

Finn avstanden mellom $A = (-1, 3)$ og $B = (4, -9)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 2

Midtpunkt og enkel avstand.

Finn midtpunktet mellom $A = (2, 6)$ og $B = (8, -2)$ .

Midtpunktet av $AB$ er $M = (3, 5)$ og $A = (-1, 2)$ . Finn $B$ .

Finn lengden av $\vec{u} = (1, -1)$ og enhetsvektor $\hat{u}$ i samme retning.

📝Oppgave 3

Avstand fra punkt til linje.

Finn avstanden fra $P = (0, 0)$ til linjen $3x + 4y - 10 = 0$ .

Finn avstanden fra $Q = (-1, 4)$ til linjen $x - 2y + 7 = 0$ .

Finn avstanden fra $R = (2, 3)$ til linjen $y = 3x - 1$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Avstand mellom parallelle linjer og geometriske problemer.

Finn avstanden mellom $\ell_1: 2x - y + 3 = 0$ og $\ell_2: 2x - y - 7 = 0$ .

Et trekants hjørner er $A = (0,0)$ , $B = (6,0)$ og $C = (2,4)$ . Finn høyden fra $C$ ned på $AB$ .

Finn arealet av trekanten i oppgave b).

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 5

Avanserte avstandsproblemer.

Punktet $P = (k, 2)$ har avstand $5$ fra punktet $Q = (1, -2)$ . Finn alle mulige verdier av $k$ .

Finn alle punkter på $x$ -aksen som har lik avstand til $A = (1, 3)$ og $B = (5, -1)$ .

Vis at trekanten med hjørner $A=(0,0)$ , $B=(4,0)$ , $C=(2,2\sqrt{3})$ er likesidet.

Finn verdien av $k$ slik at avstanden fra $P = (2, -1)$ til linjen $kx + 3y - 6 = 0$ er $\sqrt{2}$ .

Oppsummering

Vektorlengde:
- $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$ for $\vec{v} = (x, y)$
- $|k\vec{v}| = |k| \cdot |\vec{v}|$ , og $|\vec{v}| = 0$ bare for nullvektoren

Avstand mellom to punkter:
- $|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ — lengden av $\overrightarrow{AB}$

Midtpunktsformelen:
- $M = \left(\dfrac{x_1 + x_2}{2},\ \dfrac{y_1 + y_2}{2}\right)$

Avstand fra punkt til linje:
- Linje $ax + by + c = 0$ og punkt $P = (x_0, y_0)$ : $d(P, \ell) = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Avstand mellom parallelle linjer:
- $\ell_1\colon ax + by + c_1 = 0$ og $\ell_2\colon ax + by + c_2 = 0$ : $d = \dfrac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.