4.8 Globale ekstremalpunkter og optimering | Matematikk R1

Finne absolutte maksimums- og minimumsverdier på lukkede intervaller og løse praktiske optimeringsproblemer.

90 min

18 oppgaver

Globale ekstremalpunkterEkstremalverdisetningenOptimeringsproblemerØkonomisk optimering

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 18 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.6Funksjonsdrøfting

Lokale vs. globale ekstremalpunkter

Lokalt ekstremalpunkt: Høyeste/laveste verdi i et lite område rundt punktet.

Globalt (absolutt) ekstremalpunkt: Høyeste/laveste verdi i hele definisjonsområdet.

Viktig: Et lokalt maksimum trenger ikke være et globalt maksimum!

Eksempel: For $f(x) = x^3 - 3x$ på $[-2, 3]$ :
- Lokalt maksimum i $x = -1$ : $f(-1) = 2$
- Lokalt minimum i $x = 1$ : $f(1) = -2$
- Men hva er det globale maksimum? Vi må også sjekke endepunktene: $f(-2) = -2$ og $f(3) = 18$ . Siden $f(3) = 18 > f(-1) = 2$ , ligger det globale maksimumet i endepunktet $x = 3$ .

Ekstremalverdisetningen

f

Metode for å finne globale ekstremalpunkter

f

✏️Eksempel 1: Polynom på lukket intervall

Finn globalt maksimum og minimum for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på $[-2, 2]$ .

Finn kritiske punkter

f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)

f'(x) = 0

når

x = -1

eller

x = 1

Begge er innenfor $\langle -2, 2 \rangle$ ✓

Beregn funksjonsverdier

$x$	$f(x) = x^3 - 3x + 1$
$-2$ (endepunkt)	$-8 + 6 + 1 = -1$
$-1$ (kritisk)	$-1 + 3 + 1 = 3$
$1$ (kritisk)	$1 - 3 + 1 = -1$
$2$ (endepunkt)	$8 - 6 + 1 = 3$

Sammenlign
- Globalt maksimum:

f(-1) = f(2) = 3

- Globalt minimum:

f(-2) = f(1) = -1

Svar: Globalt maks er 3 (i

x = -1

x = 2

), globalt min er

-1

x = -2

x = 1

✏️Eksempel 2: Optimeringsproblem

En bonde har 200 meter gjerde og vil lage en rektangulær innhegning mot en elv (trenger ikke gjerde langs elven). Hva er det største arealet han kan få?

Sett opp problemet:
La

x

= lengde parallelt med elven,

y

= bredde.

Begrensning: $x + 2y = 200$ (gjerde på tre sider)
Så $x = 200 - 2y$

Areal: $A = xy = (200 - 2y)y = 200y - 2y^2$

Hva er definisjonsmengden?
Siden $x \geq 0$ og $y \geq 0$ , må $0 \leq y \leq 100$ . Vi tar med endepunktene (arealet $0$ ) slik at $A$ er kontinuerlig på det lukkede intervallet $[0, 100]$ .

Finn kritiske punkter:
$A'(y) = 200 - 4y = 0$
$y = 50$ m

Beregn funksjonsverdier:

$y$	$A(y)$
$0$	$0$
$50$	$200(50) - 2(2500) = 5000$
$100$	$0$

x = 200 - 2 \cdot 50 = 100

Svar: Maksimalt areal er

5000 \text{ m}^2

når

y = 50

m og

x = 100

✏️Eksempel 3: Funksjon med ikke-deriverbart punkt

Finn globale ekstremalpunkter for $f(x) = |x - 1| + 2x$ på $[-1, 3]$ .

Skriv om funksjonen:

f(x) = \begin{cases} -(x-1) + 2x = x + 1 & \text{hvis } x < 1 \\ (x-1) + 2x = 3x - 1 & \text{hvis } x \geq 1 \end{cases}

Kritiske punkter:
- For $x < 1$ : $f'(x) = 1 \neq 0$ (ingen stasjonære punkter)
- For $x > 1$ : $f'(x) = 3 \neq 0$ (ingen stasjonære punkter)
- I $x = 1$ : $f'(x)$ eksisterer ikke (knekk)

Kandidatpunkter: $x = -1, 1, 3$

Beregn funksjonsverdier:

$x$	$f(x)$
$-1$	$2 + (-2) = 0$
$1$	$0 + 2 = 2$
$3$	$2 + 6 = 8$

Svar: Globalt minimum er

0

x = -1

. Globalt maksimum er

8

x = 3

📝Oppgave 1

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = x^2 - 4x + 3

på

[0, 4]

f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x

på

[0, 4]

\displaystyle f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}

på

[-2, 2]

📝Oppgave 2

Optimeringsproblemer.

En åpen boks skal lages av et 12×12 cm ark ved å klippe like kvadrater fra hjørnene og brette opp. Hva er det maksimale volumet?

Finn det punktet på kurven $y = \sqrt{x}$ som ligger nærmest punktet $(3, 0)$ .

Løs oppgaven

Obs! Åpne intervaller:

På åpne intervaller $\langle a, b \rangle$ trenger ikke globale ekstremalpunkter å eksistere!

Eksempel 1: $f(x) = x$ på $\langle 0, 1 \rangle$ . Funksjonen kommer vilkårlig nær 0 og 1, men når aldri disse verdiene. Verken globalt maksimum eller minimum eksisterer.

Eksempel 2: $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ på $\langle 0, \rightarrow \rangle$ . Funksjonen nærmer seg 0 når $x \to \infty$ , men når aldri 0. Den har heller ikke noe globalt maksimum (den går mot $\infty$ når $x \to 0^+$ ).

Ekstremalverdisetningen krever at intervallet er lukket $[a, b]$ og at funksjonen er kontinuerlig på hele intervallet. Hvis én av disse betingelsene mangler, kan vi ikke garantere at globale ekstremalpunkter finnes.

Bruk dobbeltderiverten for å klassifisere kritiske punkter:

Etter å ha funnet kritiske punkter $c$ der $f'(c) = 0$ , kan du bruke dobbeltderiverttesten:

- $f''(c) > 0$ → Lokalt minimum i $x = c$
- $f''(c) < 0$ → Lokalt maksimum i $x = c$
- $f''(c) = 0$ → Testen gir ikke noe svar — du må sjekke fortegnsskjema for $f'(x)$

Husk: Selv om du klassifiserer lokale ekstremalpunkter med $f''$ , må du fortsatt sammenligne med endepunktsverdier for å avgjøre om de er globale!

✏️Eksempel 4: Praktisk optimering – sylindrisk boks

En sylindrisk boks (uten lokk) skal ha volum $500 \text{ cm}^3$ . Finn dimensjonene som minimerer materialforbruket (overflatearealet).

Sett opp variablene:
La

r

= radius og

h

= høyde.

Overflateareal (bunn + sideflate, uten lokk):
$A = \pi r^2 + 2\pi r h$

Volumbetingelse:
$\pi r^2 h = 500 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{500}{\pi r^2}$

Sett inn for $h$ :
$A(r) = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{500}{\pi r^2} = \pi r^2 + \frac{1000}{r}$

Definisjonsområde: $r > 0$

Deriver og sett lik null:
$A'(r) = 2\pi r - \frac{1000}{r^2} = 0$
$2\pi r = \frac{1000}{r^2}$
$r^3 = \frac{1000}{2\pi} = \frac{500}{\pi}$
$r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Kontroller med dobbeltderiverten:
$A''(r) = 2\pi + \frac{2000}{r^3}$
$A''(r) > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er et minimum.

Finn høyden:
$h = \frac{500}{\pi r^2} = \frac{500}{\pi \cdot \left(\frac{500}{\pi}\right)^{2/3}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Svar: Minst materialforbruk når $r \approx 5{,}42$ cm og $h \approx 5{,}42$ cm. Høyden er lik radien, så boksen er dobbelt så bred (diameter $2r \approx 10{,}8$ cm) som den er høy.

Gjør dette i GeoGebra

Utforsk globale og lokale ekstremalpunkter

Dra i endepunktene for å se hvordan globale ekstremalpunkter endres.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^3 - 3x
a = Slider(-5, 0, 0.1)
b = Slider(0, 5, 0.1)
SetValue(a, -2)
SetValue(b, 3)
A = (a, f(a))
B = (b, f(b))
K1 = (-1, f(-1))
K2 = (1, f(1))

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 3

Finn globalt maksimum og minimum.

f(x) = e^{-x} \cdot x

på

[0, 5]

f(x) = x - 2\ln x

på

[1, e^2]

f(x) = \ln x - x

på

[0{,}1, \, 10]

📝Oppgave 4

Praktiske optimeringsproblemer.

En bedrift selger $x$ enheter til pris $p = 200 - 2x$ kr. Kostnaden er $K(x) = 500 + 40x$ . Finn antall enheter som gir størst fortjeneste.

Et rektangulært akvarium (med åpen topp) skal ha volum 32 liter. Bunnen er kvadratisk. Finn dimensjonene som minimerer glassforbruket (overflatearealet).

Løs oppgaven

Optimering i praksis

Mange praktiske problemer handler om å finne den beste løsningen: størst volum, minst materialbruk, høyest fortjeneste, kortest reisetid. Derivasjon gir oss et kraftig verktøy for å løse slike problemer systematisk.

Systematisk fremgangsmåte:

Forstå problemet
Les oppgaven nøye. Tegn en figur. Identifiser hva som skal optimeres og hvilke begrensninger som gjelder.

Innfør variable
La $x$ betegne den ukjente størrelsen. Uttrykk målfunksjonen $f(x)$ (det vi vil optimere) og finn definisjonsmengden.

Deriver og finn kritiske punkter
Sett $f'(x) = 0$ og løs. Sjekk også endepunktene av definisjonsmengden.

Klassifiser
Bruk fortegnsskjema for $f'(x)$ , dobbeltderivert-testen, eller sammenlign funksjonsverdier i kritiske punkter og endepunkter.

Svar
Gi svaret med riktig enhet og sjekk at det er rimelig.

✏️Eksempel 5: Åpen boks

Fra et rektangulært ark papp med mål $20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}$ skal vi lage en åpen boks ved å klippe ut like store kvadrater fra hjørnene og brette opp kantene. Hvilken størrelse på kvadratene gir størst mulig volum?

Løsning:

La $x$ cm være sidelengden til kvadratene som klippes ut. Da får boksen:
- Lengde: $30 - 2x$
- Bredde: $20 - 2x$
- Høyde: $x$

Volumet er:
$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$

Definisjonsmengde: $0 < x < 10$ (bredden må være positiv).

$V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150) = 0$

$\begin{aligned} x &= \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} \\ &= \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} \\ &\approx \frac{50 \pm 26{,}46}{6} \end{aligned}$

$x_1 \approx 3{,}92$ cm (gyldig) eller $x_2 \approx 12{,}74$ cm (utenfor $[0, 10]$ ).

$V''(x) = 24x - 200$ . $V''(3{,}92) = 24 \cdot 3{,}92 - 200 \approx -105{,}9 < 0$ (maksimum).

$V(3{,}92) \approx 3{,}92 \cdot 22{,}16 \cdot 12{,}16 \approx 1056$ cm $^3$ .

Svar: Kvadratene bør ha side omtrent $3{,}9$ cm. Da blir volumet omtrent $1056$ cm $^3$ .

📝Oppgave 5

En bonde vil lage to like store, sammenhengende rektangulære innhegninger med totalt 300 m gjerde. Finn dimensjonene som gir størst totalt areal.

✏️Eksempel 6: Optimal sylinder

En lukket sylindrisk boks skal ha volum $1$ liter ( $1000$ cm $^3$ ). Finn radius og høyde som gir minst mulig overflate (materialbruk).

Løsning:

La $r$ være radius og $h$ høyde. Volumkravet gir:
$\pi r^2 h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^2}$

Overflaten er:
$\begin{aligned} S(r) &= 2\pi r^2 + 2\pi r h \\ &= 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} \\ &= 2\pi r^2 + \frac{2000}{r} \end{aligned}$

Definisjonsmengde: $r > 0$ .

$\begin{aligned} &S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \\ \Rightarrow {}&4\pi r^3 = 2000 \\ \Rightarrow {}&r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm} \end{aligned}$

$\displaystyle S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er et minimum.

$\displaystyle h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84$ cm.

Svar: Radius $r \approx 5{,}42$ cm og høyde $h \approx 10{,}84$ cm. Høyden er lik diameteren, $h = 2r$ .

For en lukket sylinder med gitt volum er overflaten minst når

h = 2r

(høyden er lik diameteren).

Dette kan vises generelt: med $V = \pi r^2 h$ får vi $\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2}$ , og

$\begin{aligned} &S'(r) = 0 \\ \Rightarrow {}&r^3 = \frac{V}{2\pi} \\ \Rightarrow {}&h = \frac{V}{\pi r^2} = 2r \end{aligned}$

Brusboker i virkeligheten avviker litt fra dette pga. produksjonskostnader (bunn og lokk er dyrere enn sidene).

📝Oppgave 6

Et rektangel er innskrevet i en halvsirkel med radius $r = 10$ . Bunnlinjen ligger langs diameteren. Finn det rektangelet som har størst areal.

✏️Eksempel 7: Økonomisk optimering

Et firma produserer $x$ enheter per dag. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ (kroner) og salgsprisen er $50$ kr per enhet.

a) Finn fortjenestefunksjonen.
b) Hvor mange enheter gir størst fortjeneste?
c) Hva er den største fortjenesten?

Løsning:

a) Inntekt: $I(x) = 50x$ . Fortjeneste:
$\begin{aligned} F(x) &= I(x) - K(x) \\ &= 50x - 0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 15x - 200 \\ &= -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 + 35x - 200 \end{aligned}$

b) $F'(x) = -0{,}03x^2 + 1{,}2x + 35 = 0$

$x = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{1{,}44 + 4{,}2}}{-0{,}06} = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06}$

$\begin{aligned} &x = \frac{-1{,}2 - \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06} \approx 59{,}6 \\ &\text{eller}\; x = \frac{-1{,}2 + \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06} \\ \approx {}&-19{,}6 \end{aligned}$

Bare $x \approx 59{,}6$ er aktuell. $F''(x) = -0{,}06x + 1{,}2$ og $F''(59{,}6) < 0$ , så dette er et toppunkt. Antall enheter er et helt tall:
$F(59) = 1899{,}81 \qquad F(60) = 1900$

Svar: b) $60$ enheter per dag gir størst fortjeneste.

c) $\begin{aligned} F(60) &= -0{,}01 \cdot 216\,000 + 0{,}6 \cdot 3600 \\ &\quad {} + 35 \cdot 60 - 200 \\ &= -2160 + 2160 + 2100 - 200 \\ &= 1900 \end{aligned}$

Svar: c) Den største fortjenesten er $1900$ kr per dag.

📝Oppgave 7

Økonomisk optimering.

Et firma har kostnadsfunksjonen $K(x) = 2x^2 + 100x + 5000$ og inntektsfunksjonen $I(x) = 500x - x^2$ . Finn produksjonen som gir størst fortjeneste.

Hva er grensekostnaden når $x = 67$ ? Hva er grenseinntekten?

Løs oppgaven

📝Oppgave 8

Finn det punktet på parabelen $y = x^2$ som har kortest avstand til punktet $(3, 0)$ .

📝Oppgave 9

En kjegle skal innskrives i en kule med radius $R$ . Finn kjeglen med størst volum.

Tips for optimeringsproblemer:
- Tegn alltid en figur -- det hjelper å forstå sammenhengen mellom variablene
- Navngi variablene tydelig og skriv ned alle betingelser
- Når målfunksjonen har to variable, bruk betingelsen til å eliminere en variabel
- Sjekk at svaret er rimelig -- får du et fornuftig tall med riktig enhet?
- Husk at

f'(x) = 0

kan gi både maks, min og terrassepunkt -- verifiser svaret!

Oppsummering

Ekstremalverdisetningen:
Kontinuerlig funksjon på lukket intervall har alltid globalt maks og min.

Metode:
1. Finn kritiske punkter ( $f'(x) = 0$ eller $f'$ eksisterer ikke)
2. Beregn $f$ i kritiske punkter og endepunkter
3. Sammenlign verdiene

Kandidatpunkter:
- Stasjonære punkter
- Knekkpunkter
- Endepunkter

Optimeringsproblemer:
1. Sett opp funksjonen
2. Finn naturlig definisjonsområde
3. Bruk metoden over

Optimering i praksis:
- Geometriske problemer: Bruk geometriske sammenhenger (Pytagoras, formler for areal/volum) til å sette opp målfunksjonen
- Økonomiske problemer: Fortjeneste = inntekt $-$ kostnad, optimer ved $F'(x) = 0$
- Verifiser med dobbeltderiverten eller fortegnsskjema

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 9 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.