4.9 Optimering i praksis

Praktiske optimeringsproblemer: maksimalt volum, minimalt areal, naturvitenskap.

60 min

15 oppgaver

OptimeringMaksimalt volumMinimalt arealPraktiske problemer

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 15 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

4.1Derivasjonsregler

Optimering -- å finne det beste

Mange praktiske problemer handler om å finne den beste løsningen: størst volum, minst materialbruk, høyest fortjeneste, kortest reisetid. Derivasjon gir oss et kraftig verktøy for å løse slike problemer systematisk.

Nøkkelen er å:
1. Formulere problemet som en funksjon av een variabel
2. Derivere og finne kritiske punkter
3. Avgoere om det er maks eller min
4. Tolke svaret i kontekst

Systematisk fremgangsmaate

Steg 1: Forstå problemet
Les oppgaven nøye. Tegn en figur. Identifiser hva som skal optimeres og hvilke begrensninger som gjelder.

Steg 2: Innfør variable
La $x$ betegne den ukjente størrelsen. Uttrykk målfunksjonen $f(x)$ (det vi vil optimere) og finn definisjonsmengden.

Steg 3: Deriver og finn kritiske punkter
Sett $f'(x) = 0$ og løs. Sjekk også endepunktene av definisjonsmengden.

Steg 4: Klassifiser
Bruk fortegnsskjema for $f'(x)$ , andrederivert-testen, eller sammenlign funksjonsverdier i kritiske punkter og endepunkter.

Steg 5: Svar
Gi svaret med riktig enhet og sjekk at det er rimelig.

✏️Eksempel 1: Åpen boks

Fra et rektangulært ark papp med mål $20 \text{ cm} \times 30 \text{ cm}$ skal vi lage en åpen boks ved å klippe ut like store kvadrater fra hjørnene og brette opp kantene. Hvilken størrelse på kvadratene gir størst mulig volum?

Løsning:

Steg 1: La $x$ cm være sidelengden til kvadratene som klippes ut. Da får boksen:
- Lengde: $30 - 2x$
- Bredde: $20 - 2x$
- Høyde: $x$

Steg 2: Volumet er:
$V(x) = x(30 - 2x)(20 - 2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$

Definisjonsmengde: $0 < x < 10$ (bredden må være positiv).

Steg 3: $V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150) = 0$

$x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6} \approx \frac{50 \pm 26{,}46}{6}$

$x_1 \approx 3{,}92$ cm (gyldig) eller $x_2 \approx 12{,}74$ cm (utenfor $[0, 10]$ ).

Steg 4: $V''(x) = 24x - 200$ . $V''(3{,}92) = 24 \cdot 3{,}92 - 200 = -105{,}9 < 0$ (maksimum).

Steg 5: $V(3{,}92) \approx 3{,}92 \cdot 22{,}16 \cdot 12{,}16 \approx 1056$ cm $^3$ .

📝Oppgave 1

Et gjerde på 120 m skal avgrense et rektangulært område langs en elv (gjerdet trengs ikke langs elven). Finn dimensjonene som gir størst mulig areal.

📝Oppgave 2

En bonde vil lage to like store, sammenhengende rektangulære innhegninger med totalt 300 m gjerde. Finn dimensjonene som gir størst totalt areal.

✏️Eksempel 2: Optimal sylinder

En lukket sylindrisk boks skal ha volum $1$ liter ( $1000$ cm $^3$ ). Finn radius og høyde som gir minst mulig overflate (materialbruk).

Løsning:

Steg 1-2: La $r$ være radius og $h$ høyde. Volumkravet gir:
$\pi r^2 h = 1000 \quad \Rightarrow \quad h = \frac{1000}{\pi r^2}$

Overflaten er:
$S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{1000}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$

Definisjonsmengde: $r > 0$ .

Steg 3:
$S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0 \quad \Rightarrow \quad 4\pi r^3 = 2000 \quad \Rightarrow \quad r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42 \text{ cm}$

Steg 4: $\displaystyle S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3} > 0$ for alle $r > 0$ , så dette er et minimum.

Steg 5: $\displaystyle h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84$ cm.

Vi merker at $h = 2r$ -- den optimale sylinderen har høyde lik diameteren!

For en lukket sylinder med gitt volum er overflaten minst når

h = 2r

(høyden er lik diameteren).

Dette kan vises generelt: med $V = \pi r^2 h$ får vi $\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2}$ , og

$S'(r) = 0 \quad \Rightarrow \quad r^3 = \frac{V}{2\pi} \quad \Rightarrow \quad h = \frac{V}{\pi r^2} = 2r$

Brusboker i virkeligheten avviker litt fra dette pga. produksjonskostnader (bunn og lokk er dyrere enn sidene).

📝Oppgave 3

En åpen sylindrisk boks (uten lokk) skal ha volum 500 cm $^3$ . Finn dimensjonene som gir minst materialbruk.

📝Oppgave 4

Et rektangel er innskrevet i en halvsirkel med radius $r = 10$ . Bunnlinjen ligger langs diameteren. Finn det rektangelet som har størst areal.

✏️Eksempel 3: Økonomisk optimering

Et firma produserer $x$ enheter per dag. Kostnadsfunksjonen er $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ (kroner) og salgsprisen er $50$ kr per enhet.

a) Finn fortjenestefunksjonen.
b) Hvor mange enheter gir størst fortjeneste?
c) Hva er den største fortjenesten?

Løsning:

a) Inntekt: $I(x) = 50x$ . Fortjeneste:
$F(x) = I(x) - K(x) = 50x - 0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 15x - 200 = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 + 35x - 200$

b) $F'(x) = -0{,}03x^2 + 1{,}2x + 35 = 0$

$x = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{1{,}44 + 4{,}2}}{-0{,}06} = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{5{,}64}}{-0{,}06}$

$x \approx 50$ (den positive løsningen innenfor rimelig produksjon).

c) $F(50) = -0{,}01 \cdot 125000 + 0{,}6 \cdot 2500 + 35 \cdot 50 - 200 = -1250 + 1500 + 1750 - 200 = 1800$ kr.

📝Oppgave 5

Økonomisk optimering.

Et firma har kostnadsfunksjonen $K(x) = 2x^2 + 100x + 5000$ og inntektsfunksjonen $I(x) = 500x - x^2$ . Finn produksjonen som gir størst fortjeneste.

Hva er grensekostnaden når $x = 67$ ? Hva er grenseinntekten?

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 6

Finn det punktet på parabelen $y = x^2$ som har kortest avstand til punktet $(3, 0)$ .

📝Oppgave 7

En kjegle skal innskrivast i en kule med radius $R$ . Finn kjeglen med størst volum.

📝Oppgave 8

En lyskaster står 3 m fra en vegg. En person som er 1,8 m høy går mot veggen med fart 1 m/s. Når personen er 2 m fra veggen, hvor fort vokser skyggenlengden på veggen?

📝Oppgave 9

Et 4 m langt bord skal bæres rundt et hjørne i en korridor der begge gangene er 2 m brede. Bordet holdes vannrett. Vis at bordet akkurat går rundt hjørnet.

Husk å sjekke endepunktene!

Når definisjonsmengden er et lukket intervall $[a, b]$ , kan maksimum og minimum like gjerne ligge i endepunktene som i de kritiske punktene.

Strategi for lukket intervall:
1. Finn alle kritiske punkter ( $f'(x) = 0$ ) i $(a, b)$
2. Beregn $f$ i alle kritiske punkter og i endepunktene $a$ og $b$
3. Største verdi = globalt maksimum, minste verdi = globalt minimum

For åpne intervaller eller ubegrensede omraader må vi argumentere mer omhyggelig (f.eks. med $f(x) \to \infty$ ved grensene).

📝Oppgave 10

Finn globalt maks og min for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ på intervallet $[-2, 3]$ .

Tips for optimeringsproblemer:
- Tegn alltid en figur -- det hjelper å forstå sammenhengen mellom variablene
- Navngi variablene tydelig og skriv ned alle betingelser
- Når målfunksjonen har to variable, bruk betingelsen til å eliminere en variabel
- Sjekk at svaret er rimelig -- får du et fornuftig tall med riktig enhet?
- Husk at

f'(x) = 0

kan gi både maks, min og terrassepunkt -- verifiser svaret!

Oppsummering

- Optimeringsproblemer handler om å finne maks eller min av en funksjon under gitte betingelser
- Fremgangsmaaten er: forstå problemet, sett opp funksjon, deriver, finn kritiske punkter, klassifiser, svar
- Geometriske problemer: Bruk geometriske sammenhenger (Pytagoras, formler for areal/volum) til å sette opp målfunksjonen
- Økonomiske problemer: Fortjeneste = inntekt $-$ kostnad, optimer ved $F'(x) = 0$
- Sjekk endepunkter på lukket intervall
- Verifiser med andrederiverten eller fortegnsskjema

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.