3.6 Numerisk derivasjon med digitale verktøy

Fremover-, bakover- og sentraldifferanse, og bruk av regneark og CAS.

45 min

10 oppgaver

Numerisk derivasjonFremoverdifferanseSentraldifferanseRegnearkCAS

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Numerisk derivasjon

Ikke alle funksjoner kan deriveres analytisk på en enkel måte. I praksis har vi ofte bare måledata (tabellverdier) uten et eksplisitt funksjonsuttrykk. Da må vi tilnærme den deriverte numerisk.

Ideen er enkel: vi bruker differansekvotienten $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$ med en liten, men endelig $h$ i stedet for å ta grenseverdien $h \to 0$ . Spørsmålet er: hvilken differanseformel gir best tilnærming?

Tre differanseformler

f

✏️Eksempel 1: Sammenlikning av differanseformler

La $f(x) = x^3$ . Tilnærm $f'(2) = 12$ med $h = 0{,}1$ ved hjelp av de tre differanseformlene.

Løsning:

$f(2) = 8$ , $f(2{,}1) = 9{,}261$ , $f(1{,}9) = 6{,}859$ .

Framoverdifferanse:
$\frac{9{,}261 - 8}{0{,}1} = 12{,}61 \quad \text{(feil: } 0{,}61\text{)}$

Bakoverdifferanse:
$\frac{8 - 6{,}859}{0{,}1} = 11{,}41 \quad \text{(feil: } 0{,}59\text{)}$

Sentraldifferanse:
$\frac{9{,}261 - 6{,}859}{0{,}2} = 12{,}01 \quad \text{(feil: } 0{,}01\text{)}$

Sentraldifferansen gir en mye bedre tilnærming.

Svar: Framover $12{,}61$ , bakover $11{,}41$ og sentral $12{,}01$ . Sentraldifferansen ligger nærmest $f'(2) = 12$ .

📜Hvor stor er feilen?

For små $h$ er feilen i tilnærmingene omtrent

- framover- og bakoverdifferanse: proporsjonal med $h$
- sentraldifferanse: proporsjonal med $h^2$

Når vi halverer $h$ , blir feilen omtrent halvert med framover- og bakoverdifferansen, men omtrent en firedel med sentraldifferansen.

I eksempel 1 er feilene $0{,}61$ , $0{,}59$ og $0{,}01$ med $h = 0{,}1$ . For $f(x) = x^3$ er feilen i sentraldifferansen nøyaktig $h^2$ , for $\displaystyle \frac{(a+h)^3 - (a-h)^3}{2h} = 3a^2 + h^2$ .

📝Oppgave 1

La $f(x) = e^x$ . Tilnærm $f'(1)$ med sentraldifferanse. Den eksakte verdien er $f'(1) = e$ , fordi $(e^x)' = e^x$ (kapittel 4.2).

Bruk $h = 0{,}1$ .

Bruk $h = 0{,}01$ .

Sammenlikn feilene. Stemmer det at feilen er omtrent proporsjonal med $h^2$ ?

Numerisk derivasjon med regneark

I et regneark kan vi sette opp numerisk derivasjon systematisk:

A	B	C
$x$	$f(x)$	$f'(x) \approx$
$a - h$	$=f(A2)$
$a$	$=f(A3)$	$=(B4-B2)/(A4-A2)$
$a + h$	$=f(A4)$

Kolonne C bruker sentraldifferanse:

\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}

.
Eksempel i regneark-syntaks:
- Celle A2: =A3-0.001
- Celle B2: =A2^3 (for

f(x) = x^3

)
- Celle C3: =(B4-B2)/(A4-A2)

📝Oppgave 2

Sett opp et regneark for å tilnærme den deriverte.

Lag en tabell med $x$ -verdier fra $0$ til $5$ med steglengde $0{,}5$ for $f(x) = x^3 - 3x + 1$ . Beregn sentraldifferansen i hvert indre punkt.

Gjenta med steglengde $0{,}1$ . Hvor mye bedre blir tilnærmingen?

Numerisk og symbolsk derivasjon med CAS

CAS-verktøy (Computer Algebra System) kan både:

1. Derivere symbolsk -- finne det eksakte uttrykket for $f'(x)$
2. Beregne numerisk -- gi en tilnærmet verdi av $f'(a)$

I GeoGebra CAS:
- Symbolsk: Derivative[x^3 + sin(x)] gir 3x^2 + cos(x)
- Numerisk: Skriv f(x) := x^3 + sin(x) og så f'(2), og trykk ≈. Det gir $f'(2) = 12 + \cos 2 \approx 11{,}584$

I Python med SymPy:

from sympy import *

x = symbols('x')
f = x**3 + sin(x)
# Symbolsk: 3*x**2 + cos(x)
diff(f, x)
# Numerisk verdi i x=2
diff(f, x).subs(x, 2).evalf()

📝Oppgave 3

Bruk CAS eller regneark til å løse oppgavene.

Finn $f'(x)$ symbolsk for $f(x) = x \cdot e^{-x^2}$ .

Bruk numerisk derivasjon (sentraldifferanse med $h = 0{,}001$ ) til å tilnærme $f'(1)$ .

Sammenlign det numeriske og analytiske svaret.

Løs oppgaven

Avrundingsfeil ved veldig liten h

Mindre

h

gir ikke alltid bedre resultat. Når

h

er svært liten, er

f(a+h)

f(a)

nesten like, og datamaskinen mister gjeldende siffer i subtraksjonen:

$\begin{aligned} &\frac{f(a + h) - f(a)}{h} \\ = {}&\frac{\begin{gathered}\text{differansen mellom to}\\ \text{nesten like tall}\end{gathered}}{\text{et lite tall}} \end{aligned}$

Python regner med omtrent 16 gjeldende siffer. Med $f(x) = e^x$ i $x = 1$ gir framoverdifferansen minst feil rundt $h = 10^{-8}$ , og sentraldifferansen rundt $h = 10^{-5}$ til $10^{-7}$ . Med enda mindre $h$ blir feilen større igjen.

📝Oppgave 4

Undersøk hvordan steglengden påvirker nøyaktigheten.

La $f(x) = e^x$ . Beregn sentraldifferansen for $f'(1) = e$ med $h = 10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-8}$ . Lag en tabell over $h$ og feil.

For hvilken $h$ får du den minste feilen?

📝Oppgave 5

Gitt tabellverdier, tilnærm den deriverte.

Tabellen viser $f(x)$ : $f(1) = 3{,}0$ , $f(1{,}5) = 4{,}2$ , $f(2) = 5{,}8$ , $f(2{,}5) = 7{,}9$ , $f(3) = 10{,}5$ . Tilnærm $f'(2)$ .

Tilnærm $f'(1)$ og $f'(3)$ .

Løs oppgaven

Når bruker vi numerisk vs. analytisk derivasjon?

- Analytisk (for hånd eller CAS): Når vi har et funksjonsuttrykk og trenger et eksakt svar. Gir fullstendig informasjon om $f'(x)$ for alle $x$ .
- Numerisk: Når vi bare har tabelldata, når funksjonsuttrykket er for komplisert, eller når vi trenger en rask tilnærming i ett punkt.

I praksis brukes ofte en kombinasjon: CAS finner det analytiske uttrykket, som så evalueres numerisk i ønskede punkter.

Lese og skrive programmer

På eksamen får vi ofte et kort Python-program som bruker den numeriske deriverte

$g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

med en liten $h$ , for eksempel $h = 0{,}000001$ . Da er $g(x) \approx f'(x)$ .

En god forklaring av et program har to deler:

- Komponentene: hva hver funksjon, variabel, løkke og if-test betyr.
- Flyten: hva som skjer når programmet kjøres, runde for runde, og hva som skrives ut.

Tre mønstre går igjen:

- while g(x) > 0: x = x + dx går mot høyre så lenge funksjonen vokser, og stopper ved et toppunkt.
- while f(x + 1) > f(x): x = x + 1 gjør det samme ved å sammenlikne funksjonsverdier, uten derivert.
- while g(x) < c: x = x + dx stopper der den deriverte har nådd verdien $c$ , for eksempel der tangenten har et gitt stigningstall.

Programmet finner bare et punkt med samme nøyaktighet som skrittlengden dx, og det finner bare det første punktet til høyre for startverdien.

✏️Eksempel 2: Hva skriver programmet ut?

Forklar hva programmet gjør, og hva det skriver ut.

def f(x):
    return -2*x**2 + 24*x + 10

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = 0
dx = 0.5
while g(x) > 0:
    x = x + dx

print(x)

f er

f(x) = -2x^2 + 24x + 10

, en parabel med toppunkt. g er den numeriske deriverte med

h = 0{,}000001

. Startverdien er x = 0, og skrittlengden er dx = 0.5.

Vilkåret g(x) > 0 er sant så lenge $f$ vokser. print(x) skriver ut $x$ -verdien der løkka stopper, ikke funksjonsverdien.

$g(x) \approx f'(x) = -4x + 24$ , som er positiv for $x < 6$ .

Løkka øker $x$ med 0,5 så lenge $g(x) > 0$ : $g(0) \approx 24$ , $g(0{,}5) \approx 22$ , …, $g(5{,}5) \approx 2$ . Det blir 12 runder.

I $x = 6$ er $g(6) = -2h \approx -2 \cdot 10^{-6} < 0$ , og løkka stopper.

Kontroll: $f'(x) = 0$ gir $x = 6$ , og $f(6) = -72 + 144 + 10 = 82$ .

Svar: Programmet skriver ut 6.0, som er $x$ -verdien til toppunktet $(6, 82)$ .

✏️Eksempel 3: Program som finner en tangent med gitt stigningstall

Grafen til $f(x) = x^3 - 4x$ har en tangent med stigningstall 8 for en $x > 0$ .

a) Skriv et program som finner $x$ -verdien.

b) Finn likningen for tangenten.

a) Vi starter i $x = 0$ og går mot høyre i små skritt så lenge den numeriske deriverte er mindre enn 8.

def f(x):
    return x**3 - 4*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = 0
dx = 0.001
while g(x) < 8:
    x = x + dx

print(round(x, 3))

Programmet skriver ut 2.0.

Kontroll: $f'(x) = 3x^2 - 4 = 8$ gir $x^2 = 4$ , så $x = 2$ når $x > 0$ .

Svar: $x = 2$ .

b) $f(2) = 8 - 8 = 0$ , så tangenten går gjennom $(2, 0)$ og har stigningstall 8.

$y - 0 = 8(x - 2)$

Svar: $y = 8x - 16$ .

📝Oppgave 6

Se på programmet.

def f(x):
    return x**2 - 4*x

x = 0
while x <= 3:
    print(x, f(x))
    x = x + 1

Hva skriver programmet ut?

Hva må endres for at programmet også skal skrive ut verdien for $x = 4$ ?

Hva forteller utskriften om grafen til $f$ ?

📝Oppgave 7

En rektangulær innhegning har areal $O(x) = x(20 - 2x)$ , der $x$ er en heltallig lengde i meter.

def O(x):
    return x*(20 - 2*x)

x = 0
while O(x + 1) > O(x):
    x = x + 1

print(x, O(x))

Forklar strategien i programmet, og finn hva det skriver ut.

Kontroller svaret ved derivasjon.

Vil strategien alltid finne den største verdien til en funksjon? Begrunn svaret.

📝Oppgave 8

Programmet nedenfor leter etter bunnpunktet til $f(x) = x^2 - 3x$ .

def f(x):
    return x**2 - 3*x

def g(x):
    h = 0.000001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = 0
while g(x) < 0:
    x = x + 0.4

print(round(x, 2))

Hva skriver programmet ut?

Finn bunnpunktet ved regning. Hvorfor gir ikke programmet det eksakte svaret?

Foreslå en endring i koden som gir et riktigere svar.

📝Oppgave 9

Programmet nedenfor undersøker grafen til $f(x) = x^3 - 3x$ .

def f(x):
    return x**3 - 3 * x

def g(x):
    h = 0.0001
    return (f(x + h) - f(x)) / h

x = -3
while x < 3:
    if (
        g(x) > 0
        and g(x + 0.5) < 0
    ):
        print(
            "toppunkt mellom",
            x,
            "og",
            x + 0.5,
        )
    if (
        g(x) < 0
        and g(x + 0.5) > 0
    ):
        print(
            "bunnpunkt mellom",
            x,
            "og",
            x + 0.5,
        )
    x = x + 0.5

Forklar hva if-testene undersøker.

Finn toppunktet og bunnpunktet til $f$ ved regning.

Programmet skriver ut

toppunkt mellom -1.5 og -1.0
bunnpunkt mellom 0.5 og 1.0

Forklar hvorfor det ikke skriver «toppunkt mellom -1.0 og -0.5», selv om $f'(-1) = 0$ .

📝Oppgave 10

La $f(x) = e^x - 2x$ .

Skriv et program som finner $x$ -verdien der tangenten til grafen har stigningstall 1, med tre desimaler. Start i $x = 0$ .

Finn den eksakte verdien ved regning, og sammenlikn.

Finn likningen for tangenten.

Oppsummering

- Den deriverte kan tilnærmes numerisk med differansekvotienter
- Sentraldifferansen $\displaystyle \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$ er mest nøyaktig (feilen er omtrent proporsjonal med $h^2$ )
- Regneark og CAS er nyttige verktøy for numerisk derivasjon
- For liten $h$ gir avrundingsfeil -- det finnes en optimal steglengde
- Numerisk derivasjon brukes når analytisk derivasjon er upraktisk eller umulig
- I et program er $\displaystyle g(x) = \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ med liten $h$ den numeriske deriverte. En løkke som while g(x) > 0 stopper ved første toppunkt, med nøyaktighet lik skrittlengden

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.