3.3 Derivasjonens definisjon | Matematikk R1

Gjennomsnittlig og momentan vekstfart, den deriverte geometrisk, algebraisk og numerisk, og tangentlikninger.

75 min

19 oppgaver

Gjennomsnittlig og momentan vekstfartSekant og tangentDerivasjonens definisjonTangentlikningNumerisk derivasjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 19 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

3.1Grenseverdi

Brukes videre i

3.4L'Hôpitals regel 3.5Newtons metode 4.1Derivasjonsregler

Fra vekstfart til derivasjon

I dette kapittelet skal vi utvikle den matematiske definisjonen av den deriverte. Vi starter med det intuitive begrepet vekstfart og ser hvordan vi kan gjøre dette presist ved hjelp av grenseverdier.

Tenk på en bil som kjører langs en vei. Hvis bilen tilbakelegger 100 km på 2 timer, er gjennomsnittsfarten $\displaystyle \frac{100}{2} = 50$ km/h. Men hva er farten akkurat i et gitt øyeblikk? Dette er et spørsmål om momentan vekstfart, og svaret ligger i derivasjonens definisjon.

Gjennomsnittlig vekstfart

Når vi har en funksjon $f(x)$ , kan vi beregne hvor mye funksjonsverdien endrer seg i gjennomsnitt mellom to punkter.

Gjennomsnittlig vekstfart

f

Geometrisk tolkning:

En sekant er en rett linje som skjærer grafen i to punkter. Stigningstallet til sekanten forteller oss hvor bratt funksjonen stiger (eller synker) i gjennomsnitt mellom disse to punktene.

Hvis vi setter $b = a + h$ , der $h$ er avstanden mellom $x$ -verdiene, får vi den alternative formen:

$\frac{f(a + h) - f(a)}{h}$

Dette kalles differansekvotienten eller Newton-kvotienten.

✏️Eksempel 1: Gjennomsnittlig vekstfart

La $f(x) = x^2$ . Finn den gjennomsnittlige vekstfarten i intervallet $[1, 3]$ .

Løsning:

Vi bruker formelen for gjennomsnittlig vekstfart:

$\frac{f(3) - f(1)}{3 - 1} = \frac{3^2 - 1^2}{3 - 1} = \frac{9 - 1}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Svar: Den gjennomsnittlige vekstfarten er $4$ .

Dette betyr at sekanten gjennom $(1, 1)$ og $(3, 9)$ har stigningstall $4$ .

Gjør dette i GeoGebra

Sekant til f(x) = x^2

Visualisering av sekanten mellom to punkter på parabelen.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
A = (1, f(1))
B = (3, f(3))
sekant = Line(A, B)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 1

Finn den gjennomsnittlige vekstfarten for funksjonen i det oppgitte intervallet.

f(x) = x^2

i intervallet

[2, 4]

f(x) = x^3

i intervallet

[1, 2]

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

i intervallet

[1, 4]

f(x) = \sqrt{x}

i intervallet

[4, 9]

Løs oppgaven

Momentan vekstfart

Hva skjer hvis vi lar de to punktene komme nærmere og nærmere hverandre? Sekanten vil da nærme seg en tangent - en linje som berører grafen i punktet og har samme retning som grafen der. (Tangenten kan godt skjære grafen et annet sted.)

Den momentane vekstfarten i et punkt er stigningstallet til tangenten i det punktet.

Fra sekant til tangent:

Tenk på at vi har funksjonen $f(x) = x^2$ og vil finne den momentane vekstfarten i punktet $x = 2$ .

Vi beregner den gjennomsnittlige vekstfarten fra $x = 2$ til $x = 2 + h$ for stadig mindre verdier av $h$ :

$h$	Gjennomsnittlig vekstfart
$1$	$\displaystyle \frac{(2+1)^2 - 2^2}{1} = \frac{9-4}{1} = 5$
$0{,}5$	$\displaystyle \frac{(2{,}5)^2 - 4}{0{,}5} = \frac{6{,}25-4}{0{,}5} = 4{,}5$
$0{,}1$	$\displaystyle \frac{(2{,}1)^2 - 4}{0{,}1} = \frac{4{,}41-4}{0{,}1} = 4{,}1$
$0{,}01$	$\displaystyle \frac{(2{,}01)^2 - 4}{0{,}01} = \frac{4{,}0401-4}{0{,}01} = 4{,}01$

Vi ser at når

h \to 0

, nærmer den gjennomsnittlige vekstfarten seg

4

Gjør dette i GeoGebra

Fra sekant til tangent

Bruk glidebryteren til å se hvordan sekanten nærmer seg tangenten når h går mot 0.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
a = 2
h = Slider(0.01, 2, 0.01)
A = (a, f(a))
B = (a + h, f(a + h))
sekant = Line(A, B)
tangent = Tangent(A, f)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 2

Bruk en tabell til å estimere den momentane vekstfarten.

La $f(x) = x^2$ . Beregn $\displaystyle \frac{f(3+h) - f(3)}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Hva nærmer verdiene seg?

La $g(x) = x^3$ . Beregn $\displaystyle \frac{g(2+h) - g(2)}{h}$ for $h = 0{,}1$ , $h = 0{,}01$ og $h = 0{,}001$ . Hva nærmer verdiene seg?

Løs oppgaven

Derivasjonens definisjon

Nå er vi klare til å gi den presise matematiske definisjonen av den deriverte. Den deriverte er grenseverdien av differansekvotienten når $h$ går mot $0$ .

📜Derivasjonens definisjon

Den deriverte av funksjonen

f

i punktet

x = a

er definert som:

$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

forutsatt at denne grenseverdien eksisterer.

Alternativ form: Ved å sette $x = a + h$ (slik at $h = x - a$ ) får vi:

$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Notasjon for den deriverte:

Vi bruker flere ulike notasjoner for den deriverte:

- $f'(x)$ (mest brukt i Norge)
- $\displaystyle \frac{df}{dx}$ eller $\displaystyle \frac{dy}{dx}$ - Leibniz' notasjon
- $Df(x)$ - Operatornotasjon

Alle disse betyr det samme: den deriverte av $f$ med hensyn på $x$ .

✏️Eksempel 2: Derivasjon fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^2$ .

Løsning:

Vi bruker definisjonen:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$

Beregn $f(x+h)$ :
$f(x+h) = (x+h)^2 = x^2 + 2xh + h^2$

Beregn differansen $f(x+h) - f(x)$ :
$f(x+h) - f(x) = x^2 + 2xh + h^2 - x^2 = 2xh + h^2$

Del på $h$ :
$\begin{aligned} &\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} \\ = {}&\frac{h(2x + h)}{h} \\ = {}&2x + h \end{aligned}$

Ta grenseverdien når $h \to 0$ :
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x$

Svar: $f'(x) = 2x$

Dette bekrefter at den deriverte av $x^2$ er $2x$ .

✏️Eksempel 3: Derivasjon av

f(x) = x^3

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = x^3$ .

Løsning:

Beregn $f(x+h)$ :
$f(x+h) = (x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$

Her har vi brukt $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ .

Beregn differansen:
$\begin{aligned} &f(x+h) - f(x) \\ = {}&x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3 - x^3 \\ = {}&3x^2h + 3xh^2 + h^3 \end{aligned}$

Del på $h$ :
$\begin{aligned} &\frac{f(x+h) - f(x)}{h} \\ = {}&\frac{3x^2h + 3xh^2 + h^3}{h} \\ = {}&\frac{h(3x^2 + 3xh + h^2)}{h} \\ = {}&3x^2 + 3xh + h^2 \end{aligned}$

Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} (3x^2 + 3xh + h^2) = 3x^2$

Svar: $f'(x) = 3x^2$

📝Oppgave 3

Bruk definisjonen til å finne den deriverte.

f(x) = 3x

f(x) = x^2 + 2x

f(x) = 5

f(x) = x^2 - 3x + 1

Løs oppgaven

📝Oppgave 4

Et firma selger $x$ enheter av et produkt. Inntektsfunksjonen er $I(x) = 500x - 2x^2$ (i kroner).

Finn gjennomsnittlig inntektsøkning per enhet når produksjonen økes fra 50 til 60 enheter.

Finn den momentane inntektsendringen når $x = 50$ (marginalinntekten).

For hvilken verdi av $x$ er marginalinntekten lik null?

Løs oppgaven

✏️Eksempel 4: Derivasjon av

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}$ .

Løsning:

Beregn $f(x+h) - f(x)$ :
$f(x+h) - f(x) = \frac{1}{x+h} - \frac{1}{x}$

Finn fellesnevner:
$= \frac{x - (x+h)}{x(x+h)} = \frac{x - x - h}{x(x+h)} = \frac{-h}{x(x+h)}$

Del på $h$ :
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{-h}{h \cdot x(x+h)} = \frac{-1}{x(x+h)}$

Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-1}{x(x+h)} = \frac{-1}{x \cdot x} = -\frac{1}{x^2}$

Svar: $\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2}$

✏️Eksempel 5: Derivasjon av

f(x) = \sqrt{x}

Bruk definisjonen til å finne $f'(x)$ når $f(x) = \sqrt{x}$ for $x > 0$ .

Løsning:

Sett opp differansekvotienten:
$\frac{f(x+h) - f(x)}{h} = \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h}$

Utvid med konjugatet:
$= \frac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \cdot \frac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

$= \frac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \frac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})}$

Forenkle:
$= \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}$

Ta grenseverdien:
$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} + \sqrt{x}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Svar: $\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Tips: Konjugatmetoden

Når differansekvotienten inneholder rotuttrykk, er det ofte nyttig å utvide med konjugatet:

$\frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{h} \cdot \frac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{a - b}{h(\sqrt{a} + \sqrt{b})}$

Dette eliminerer røttene i telleren.

📝Oppgave 5

Bruk definisjonen til å finne den deriverte. Vis alle mellomregninger.

\displaystyle f(x) = \frac{2}{x}

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x^2}

f(x) = \sqrt{2x}

Løs oppgaven

Geometrisk tolkning

Den deriverte $f'(a)$ har en viktig geometrisk betydning: den er stigningstallet til tangentlinjen til grafen i punktet $(a, f(a))$ .

📜Tangentens likning

Tangenten til grafen til

f

i punktet

(a, f(a))

har likningen:

$y - f(a) = f'(a)(x - a)$

eller på formen $y = ax + b$ :

$y = f'(a) \cdot x + (f(a) - a \cdot f'(a))$

✏️Eksempel 6: Finn tangentens likning

La $f(x) = x^2$ . Finn likningen for tangenten til grafen i punktet der $x = 3$ .

Løsning:

Finn $f(3)$ :
$f(3) = 3^2 = 9$

Berøringspunktet er $(3, 9)$ .

Finn $f'(x)$ :
Vi vet fra før at $f'(x) = 2x$ .

Finn stigningstallet $f'(3)$ :
$f'(3) = 2 \cdot 3 = 6$

Sett opp tangentlikningen:
$y - 9 = 6(x - 3)$
$y = 6x - 18 + 9$
$y = 6x - 9$

Svar: Tangentens likning er $y = 6x - 9$ .

Gjør dette i GeoGebra

Tangent til f(x) = x^2 i x = 3

Grafen til

f(x) = x^2

med tangenten i punktet

(3, 9)

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = x^2
A = (3, f(3))
t(x) = 6x - 9

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

📝Oppgave 6

Finn likningen for tangenten til grafen i det oppgitte punktet.

f(x) = x^2

x = 2

f(x) = x^3

x = 1

\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}

x = 2

f(x) = \sqrt{x}

x = 4

Løs oppgaven

✏️Eksempel 7: Tangent gjennom et punkt utenfor grafen

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = e^{2x}$ . Bestem likningen for tangenten til grafen til $f$ som går gjennom origo. Du kan bruke at $f'(x) = 2e^{2x}$ .

Løsning:

Punktet $(0, 0)$ ligger ikke på grafen, siden $f(0) = 1$ . Vi kjenner derfor ikke tangeringspunktet og kaller det $(a, f(a)) = (a, e^{2a})$ .

Vi bruker at $f'(x) = 2e^{2x}$ (dette begrunnes med kjerneregelen i delkapittel 4.3), så $f'(a) = 2e^{2a}$ .

Tangenten i $x = a$ :
$y = e^{2a} + 2e^{2a}(x - a)$

Tangenten skal gå gjennom $(0, 0)$ :
$0 = e^{2a} + 2e^{2a}(0 - a) = e^{2a}(1 - 2a)$

Siden $e^{2a} > 0$ , må $1 - 2a = 0$ , altså $\displaystyle a = \frac{1}{2}$ .

Tangeringspunktet er $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, e\right)$ , og stigningstallet er $\displaystyle f'\!\left(\frac{1}{2}\right) = 2e$ .

$y = e + 2e\left(x - \tfrac{1}{2}\right) = 2ex$

Svar: $y = 2ex$ , med tangeringspunkt $\displaystyle \left(\frac{1}{2}, e\right)$ .

📝Oppgave 7

Funksjonen $f$ er gitt ved $f(x) = x^2$ . Punktet $P(1, -3)$ ligger ikke på grafen til $f$ .

Vis at tangenten i punktet $(a, a^2)$ har likningen $y = 2ax - a^2$ .

Bestem likningene for de to tangentene som går gjennom $P$ .

📝Oppgave 8

La $f(x) = x^2 + 1$ . Finn likningen for den rette linjen gjennom $(0, -3)$ som er tangent til grafen til $f$ .

📝Oppgave 9

Funksjonen $g$ er gitt ved $g(x) = \ln x$ , $x > 0$ . Du kan bruke at $\displaystyle g'(x) = \frac{1}{x}$ .

Bestem likningen for tangenten til grafen til $g$ som går gjennom origo.

Bestem likningen for tangenten til grafen til $g$ som går gjennom punktet $(0, 1)$ .

Numerisk derivasjon

Noen ganger er det vanskelig eller umulig å finne den deriverte analytisk. Da kan vi tilnærme den deriverte numerisk ved å velge en liten verdi for $h$ .

Numeriske tilnærminger

f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a)}{h}

Hvorfor er sentral differanse mer nøyaktig?

Sentral differanse bruker informasjon fra begge sider av punktet $a$ , noe som gir en bedre tilnærming. Feilen i sentral differanse er proporsjonal med $h^2$ , mens feilen i framover/bakover-differanse er proporsjonal med $h$ .

For $h = 0{,}01$ : Sentral differanse har feil $\sim 0{,}0001$ , mens de andre har feil $\sim 0{,}01$ .

✏️Eksempel 8: Numerisk derivasjon

La $f(x) = \ln x$ . Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til å tilnærme $f'(2)$ .

Løsning:

Vi bruker formelen for sentral differanse:
$f'(2) \approx \frac{f(2 + 0{,}01) - f(2 - 0{,}01)}{2 \cdot 0{,}01} = \frac{\ln 2{,}01 - \ln 1{,}99}{0{,}02}$

Beregner:
- $\ln 2{,}01 \approx 0{,}698135$
- $\ln 1{,}99 \approx 0{,}688135$

$\begin{aligned} f'(2) &\approx \frac{0{,}698135 - 0{,}688135}{0{,}02} \\ &= \frac{0{,}010000}{0{,}02} \\ &= 0{,}5000 \end{aligned}$

Sammenlikning: I kapittel 4.2 viser vi at $\displaystyle (\ln x)' = \frac{1}{x}$ . Da er $\displaystyle f'(2) = \frac{1}{2} = 0{,}5$ .

Svar: $f'(2) \approx 0{,}5000$ , som stemmer med den eksakte verdien $\displaystyle \frac{1}{2}$ på fire desimaler.

📝Oppgave 10

Bruk numerisk derivasjon til å tilnærme den deriverte.

Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til å tilnærme $f'(2)$ for $f(x) = x^3$ . Sammenlign med eksakt svar.

Bruk framoverdifferanse med $h = 0{,}001$ til å tilnærme $f'(1)$ for $f(x) = e^x$ . Sammenlign med eksakt svar.

Bruk sentral differanse med $h = 0{,}01$ til å tilnærme $f'(0)$ for $f(x) = e^x$ . Sammenlign med eksakt svar.

Løs oppgaven

Når er en funksjon deriverbar?

En funksjon er deriverbar i et punkt hvis grenseverdien i derivasjonens definisjon eksisterer. Men ikke alle funksjoner er deriverbare overalt.

📜Deriverbarhet og kontinuitet

Hvis $f$ er deriverbar i $x = a$ , så er $f$ kontinuerlig i $x = a$ .

Merk: Det motsatte gjelder ikke! En funksjon kan være kontinuerlig uten å være deriverbar.

Tilfeller der en funksjon ikke er deriverbar:

1. Spisse hjørner: Funksjonen $f(x) = |x|$ er ikke deriverbar i $x = 0$ fordi venstre- og høyresidige grenseverdier er ulike.

2. Vertikale tangenter: Funksjonen $f(x) = \sqrt[3]{x}$ har vertikal tangent i $x = 0$ (grenseverdien blir uendelig).

3. Diskontinuiteter: Hvis funksjonen har et hopp eller et hull, er den ikke deriverbar der.

Gjør dette i GeoGebra

Absoluttverdifunksjonen

Grafen til

f(x) = |x|

har et spisst hjørne i

x = 0

og er derfor ikke deriverbar der.

Skriv inn én linje om gangen i inntastingsfeltet:

f(x) = abs(x)
A = (0, 0)

Med språket satt til norsk forstår GeoGebra kommandonavnene både på norsk og engelsk.

Åpne GeoGebra

✏️Eksempel 9:

f(x) = |x|

er ikke deriverbar i

x = 0

Vis at $f(x) = |x|$ ikke er deriverbar i $x = 0$ .

Løsning:

Vi undersøker grenseverdien fra høyre og venstre:

Fra høyre ( $h > 0$ ):
$\lim_{h \to 0^+} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = 1$

Fra venstre ( $h < 0$ ):
$\lim_{h \to 0^-} \frac{|0+h| - |0|}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = -1$

Siden $1 \neq -1$ , eksisterer ikke grenseverdien $\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{|h|}{h}$ .

Konklusjon: $f(x) = |x|$ er ikke deriverbar i $x = 0$ .

Geometrisk: Grafen har et spisst hjørne i origo, så det finnes ingen entydig tangent.

📝Oppgave 11

Undersøk om funksjonen er deriverbar i det oppgitte punktet.

f(x) = |x - 2|

x = 2

f(x) = x|x|

x = 0

f(x) = \sqrt{|x|}

x = 0

Oppsummering

Gjennomsnittlig vekstfart (sekant):
$\frac{f(b) - f(a)}{b - a} = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Derivasjonens definisjon:
$f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$

Alternativ form:
$f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$

Geometrisk tolkning: $f'(a)$ er stigningstallet til tangenten i $(a, f(a))$ .

Tangentens likning: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$

Tangent gjennom et punkt utenfor grafen: Kall tangeringspunktet $(a, f(a))$ , sett punktets koordinater inn i tangentlikningen og løs for $a$ .

Numerisk derivasjon (sentral differanse):
$f'(a) \approx \frac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}$

Deriverbarhet: En funksjon er deriverbar i et punkt hvis grenseverdien i definisjonen eksisterer. Deriverbarhet impliserer kontinuitet, men ikke omvendt.

Ekstraoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 2 oppgaver

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 6 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.