Tilbake
2.5
Alle fag for VG2

2.5 Gjennomsnittlig og momentan vekstfart

Sekantlinje og tangentlinje, differenskvotient og overgangen til momentan vekstfart.

55 min
11 oppgaver
Gjennomsnittlig vekstfartMomentan vekstfartSekantlinjeTangentlinjeDifferenskvotient
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 11 oppgaver
Kapitlets plass i kurset

Fra gjennomsnittlig til momentan vekstfart

I dagliglivet snakker vi ofte om gjennomsnittsfart: "Vi kjørte 300 km på 4 timer, altså var gjennomsnittsfarten 75 km/h." Men på et bestemt tidspunkt kan farten være høyere eller lavere enn gjennomsnittet.

Momentan vekstfart (oeyeblikksfart) er farten i ett bestemt punkt. Matematisk definerer vi dette som en grenseverdi, og det leder oss til begrepet derivasjon.

Gjennomsnittlig vekstfart
Den gjennomsnittlige vekstfarten til ff på intervallet [a,b][a, b] er:

ΔfΔx=f(b)−f(a)b−a\frac{\Delta f}{\Delta x} = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}

Geometrisk er dette stigningstallet til sekanten gjennom punktene (a,f(a))(a, f(a)) og (b,f(b))(b, f(b)) på grafen til ff.

Med b=a+hb = a + h skriver vi gjerne:

f(a+h)−f(a)h\frac{f(a + h) - f(a)}{h}

Dette kalles også differansekvotienten til ff i x=ax = a.

✏️Eksempel 1: Gjennomsnittlig vekstfart

En ball kastes rett opp. Høyden etter tt sekunder er h(t)=20t−5t2h(t) = 20t - 5t^2 (i meter).

a) Finn gjennomsnittlig vekstfart (gjennomsnittsfart) på [1,3][1, 3].
b) Finn gjennomsnittlig vekstfart på [1,1,5][1, 1{,}5].

Løsning:

a) h(1)=20−5=15h(1) = 20 - 5 = 15, h(3)=60−45=15h(3) = 60 - 45 = 15.

h(3)−h(1)3−1=15−152=0 m/s\frac{h(3) - h(1)}{3 - 1} = \frac{15 - 15}{2} = 0 \text{ m/s}

b) h(1,5)=30−11,25=18,75h(1{,}5) = 30 - 11{,}25 = 18{,}75.

h(1,5)−h(1)1,5−1=18,75−150,5=7,5 m/s\frac{h(1{,}5) - h(1)}{1{,}5 - 1} = \frac{18{,}75 - 15}{0{,}5} = 7{,}5 \text{ m/s}

Gjennomsnittsfarten avhenger altså av hvilket intervall vi ser på.

📝Oppgave 1

Finn gjennomsnittlig vekstfart for f(x)=x2f(x) = x^2 på de gitte intervallene.

a
[1,3][1, 3]
b
[1,2][1, 2]
c
[1,1,1][1, 1{,}1]
d
[1,1,01][1, 1{,}01]
Løs oppgavenTren
Momentan vekstfart (den deriverte)
Den momentane vekstfarten til ff i x=ax = a er definert som grenseverdien:

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a)}{h}

forutsatt at grenseverdien eksisterer.

Geometrisk er f′(a)f'(a) stigningstallet til tangenten til grafen i punktet (a,f(a))(a, f(a)).

Når sekantpunktet nærmer seg tangentpunktet (h→0h \to 0), går sekanten over til tangenten.

✏️Eksempel 2: Derivasjon fra definisjonen

Bruk definisjonen til å finne f′(x)f'(x) når f(x)=x2f(x) = x^2.

Løsning:

f′(x)=lim⁡h→0(x+h)2−x2h=lim⁡h→0x2+2xh+h2−x2hf'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{(x+h)^2 - x^2}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 + 2xh + h^2 - x^2}{h}

=lim⁡h→02xh+h2h=lim⁡h→0(2x+h)=2x= \lim_{h \to 0} \frac{2xh + h^2}{h} = \lim_{h \to 0} (2x + h) = 2x

Altså f′(x)=2xf'(x) = 2x. I x=1x = 1 får vi f′(1)=2f'(1) = 2, som stemmer med mønstrene vi så i oppgave 1.

📝Oppgave 2

Bruk definisjonen av den deriverte til å finne f′(x)f'(x).

a
f(x)=3x−1f(x) = 3x - 1
b
f(x)=x2+xf(x) = x^2 + x
c
f(x)=x3f(x) = x^3
Løs oppgavenTren
📜Tangentens likning
Tangentlinjen til grafen til ff i punktet (a,f(a))(a, f(a)) har likningen:

y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x - a)

Dette er ettpunktsformelen for en rett linje gjennom (a,f(a))(a, f(a)) med stigningstall f′(a)f'(a).

✏️Eksempel 3: Tangentlikning

Finn tangentens likning til f(x)=x2−3x+2f(x) = x^2 - 3x + 2 i punktet der x=2x = 2.

Løsning:

Funksjonsverdi: f(2)=4−6+2=0f(2) = 4 - 6 + 2 = 0, så tangentpunktet er (2,0)(2, 0).

Derivert: f′(x)=2x−3f'(x) = 2x - 3, så f′(2)=1f'(2) = 1.

Tangentens likning:
y=f(2)+f′(2)(x−2)=0+1⋅(x−2)=x−2y = f(2) + f'(2)(x - 2) = 0 + 1 \cdot (x - 2) = x - 2

📝Oppgave 3

Finn tangentens likning i det angitte punktet.

a
f(x)=x2f(x) = x^2 i x=3x = 3
b
f(x)=1x\displaystyle f(x) = \frac{1}{x} i x=2x = 2
c
f(x)=xf(x) = \sqrt{x} i x=4x = 4
Løs oppgavenTren
📝Oppgave 4

Bruk definisjonen av den deriverte.

a

Vis at f′(x)=12x\displaystyle f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} når f(x)=xf(x) = \sqrt{x}, for x>0x > 0.

b

Vis at f′(x)=−1x2\displaystyle f'(x) = -\frac{1}{x^2} når f(x)=1x\displaystyle f(x) = \frac{1}{x}, for x≠0x \neq 0.

📝Oppgave 5

Et firma selger xx enheter av et produkt. Inntektsfunksjonen er I(x)=500x−2x2I(x) = 500x - 2x^2 (i kroner).

a

Finn gjennomsnittlig inntektsøkning per enhet når produksjonen økes fra 50 til 60 enheter.

b

Finn den momentane inntektsendringen når x=50x = 50 (marginalinntekten).

c

For hvilken verdi av xx er marginalinntekten lik null?

Løs oppgavenTren
📝Oppgave 6

La f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Finn ligningen for den rette linjen gjennom (0,−3)(0, -3) som er tangent til grafen til ff.

Oppsummering

- Gjennomsnittlig vekstfart = stigningstall til sekant = f(b)−f(a)b−a\displaystyle \frac{f(b)-f(a)}{b-a}
- Momentan vekstfart = stigningstall til tangent = f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)h\displaystyle f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}
- Overgangen fra sekant til tangent er grunnlaget for derivasjon
- Tangentens likning: y=f(a)+f′(a)(x−a)y = f(a) + f'(a)(x-a)
- Den deriverte gir oss fart, marginalinntekt og andre endringsrater

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.