2.4 Delte funksjonsuttrykk

Stykkevis definerte funksjoner, diskontinuitet, trappefunksjoner og absoluttverdifunksjonen.

50 min

14 oppgaver

Stykkevis definerte funksjonerDiskontinuitetTrappefunksjonerAbsoluttverdifunksjon

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 14 oppgaver

Stykkevis definerte funksjoner

Ikke alle funksjoner kan beskrives med ett enkelt uttrykk på hele definisjonsmengden. En stykkevis definert funksjon bruker forskjellige uttrykk på forskjellige intervaller. Slike funksjoner dukker opp naturlig i mange praktiske sammenhenger -- for eksempel trinnvis prising, skattesatser og fysiske modeller med faseoverganger.

I dette kapittelet lærer du å definere, analysere og skissere stykkevis definerte funksjoner, og vi studerer begrepet kontinuitet i denne sammenhengen.

Stykkevis definert funksjon

f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{når } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{når } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \\ f_n(x) & \text{når } x \in I_n \end{cases}

✏️Eksempel 1: Enkel stykkevis funksjon

La $f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{når } x \geq 1 \end{cases}$

a) Finn $f(0)$ , $f(1)$ og $f(3)$ .
b) Skisser grafen til $f$ .
c) Er $f$ kontinuerlig i $x = 1$ ?

Løsning:

a) $f(0) = 0^2 = 0$ (bruker $x^2$ siden $0 < 1$ )
$f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ (bruker $2x - 1$ siden $1 \geq 1$ )
$f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$ (bruker $2x - 1$ siden $3 \geq 1$ )

b) For $x < 1$ tegner vi parabelen $y = x^2$ . For $x \geq 1$ tegner vi linja $y = 2x - 1$ . Delene møtes i punktet $(1, 1)$ .

c) Vi sjekker:
- Venstregrense: $\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1$
- Høyeregrense: $\lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1$
- Funksjonsverdi: $f(1) = 1$

Alle tre er like, så $f$ er kontinuerlig i $x = 1$ .

📝Oppgave 1

La $f(x) = \begin{cases} -x & \text{når } x < 0 \\ x^2 & \text{når } 0 \leq x < 2 \\ 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$ . Regn ut funksjonsverdiene.

f(-3)

f(0)

f(1)

f(2)

f(5)

Løs oppgaven Tren

Kontinuitet i et punkt

f

✏️Eksempel 2: Diskontinuerlig funksjon

Undersoesk om $g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$ er kontinuerlig i $x = 2$ .

Løsning:

Vi beregner grenseverdiene fra begge sider:

- Venstregrense: $\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3$
- Høyeregrense: $\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 1) = 3$
- Funksjonsverdi: $g(2) = 2^2 - 1 = 3$

Alle tre verdiene er like ( $= 3$ ), så $g$ er kontinuerlig i $x = 2$ .

📝Oppgave 2

Avgoer om funksjonen er kontinuerlig i det angitte punktet.

f(x) = \begin{cases} 2x & \text{når } x < 1 \\ 3 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

x = 1

f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 2 \\ 5 - x & \text{når } x \geq 2 \end{cases}

x = 2

f(x) = \begin{cases} \sin x & \text{når } x \leq 0 \\ x & \text{når } x > 0 \end{cases}

x = 0

📝Oppgave 3

Bestem verdien av konstanten $a$ slik at funksjonen blir kontinuerlig overalt.

f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}

f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{når } x < 1 \\ 3x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

Løs oppgaven Tren

Absoluttverdifunksjonen som delt uttrykk

Absoluttverdifunksjonen $|x|$ er det enkleste eksempelet på en stykkevis definert funksjon:

$|x| = \begin{cases} x & \text{når } x \geq 0 \\ -x & \text{når } x < 0 \end{cases}$

Mer generelt kan vi skrive:

$|f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{når } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{når } f(x) < 0 \end{cases}$

For å fjerne absoluttverditegn må vi altså finne ut hvor uttrykket inni er positivt og hvor det er negativt.

✏️Eksempel 3: Funksjon med absoluttverdi

Skriv $f(x) = |2x - 4|$ som en stykkevis definert funksjon og skisser grafen.

Løsning:

Vi finner nullpunktet til uttrykket inni: $2x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2$ .

- Når $x \geq 2$ : $2x - 4 \geq 0$ , så $|2x - 4| = 2x - 4$
- Når $x < 2$ : $2x - 4 < 0$ , så $|2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x$

Altså:

$f(x) = \begin{cases} 4 - 2x & \text{når } x < 2 \\ 2x - 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$

Grafen er en V-form med bunnpunkt i $(2, 0)$ .

📝Oppgave 4

Skriv funksjonen som et stykkevis definert uttrykk (uten absoluttverditegn).

f(x) = |x - 3|

g(x) = |x| + x

h(x) = |x + 1| + |x - 1|

Trappefunksjoner

En trappefunksjon er en stykkevis konstant funksjon -- den har en fast verdi på hvert intervall. Et vanlig eksempel er gulvfunksjonen (heltallsdelen):

$\lfloor x \rfloor = \text{største hele tall som er} \leq x$

For eksempel: $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ , $\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2$ , $\lfloor 5 \rfloor = 5$ .

Trappefunksjoner har mange praktiske anvendelser: portotabeller, trinnvis skatt, parkeringsavgifter og taksameter.

✏️Eksempel 4: Portotabell som trappefunksjon

Et postselskap tar betalt for brev etter vekten

w

(i gram):

$P(w) = \begin{cases} 15 & \text{når } 0 < w \leq 20 \\ 25 & \text{når } 20 < w \leq 50 \\ 35 & \text{når } 50 < w \leq 100 \\ 50 & \text{når } 100 < w \leq 250 \end{cases}$

a) Hva koster det å sende et brev på 45 g?
b) Skisser grafen til $P$ .

Løsning:

a) $45 \in (20, 50]$ , så $P(45) = 25$ kr.

b) Grafen består av horisontale linjestykker. Hvert linjestykke har et åpent endepunkt til venstre (åpen sirkel) og et lukket endepunkt til høyre (fylt sirkel), unntatt det første som er lukket i begge ender for $w > 0$ .

📝Oppgave 5

En parkeringsplass tar 20 kr per paabegynt time, med maks 120 kr per døgn.

Skriv prisen $P(t)$ som en stykkevis definert funksjon for $0 < t \leq 24$ timer.

Hva er prisen for 3 timer og 15 minutter?

Løs oppgaven Tren

Tips for grafskissering av stykkevis funksjoner:
1. Tegn hvert deluttrykk på sitt intervall
2. Marker skjoetepunktene tydelig med fylt sirkel (inkludert) eller åpen sirkel (ekskludert)
3. Sjekk om delene henger sammen (kontinuitet)
4. Bruk stiplet linje for å antyde fortsettelsen av hvert uttrykk utenfor sitt intervall

📝Oppgave 6

Skisser grafen og bestem verdimengden til funksjonen.

f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{når } x \leq -1 \\ x^2 & \text{når } -1 < x < 1 \\ 2 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

g(x) = \begin{cases} -1 & \text{når } x < 0 \\ 0 & \text{når } x = 0 \\ 1 & \text{når } x > 0 \end{cases}

📝Oppgave 7

Løs likningene.

|2x - 6| = x

|x - 1| = |x + 3|

|x^2 - 4| = 3x

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 8

Bestem konstantene $a$ og $b$ .

f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{når } x < 1 \\ x^2 & \text{når } 1 \leq x \leq 3 \\ ax + b & \text{når } x > 3 \end{cases}

skal være kontinuerlig overalt.

📝Oppgave 9

Bestem alle verdier av $x$ som oppfyller ulikheten $|x^2 - 5x + 4| < 2$ .

Oppsummering

- En stykkevis definert funksjon bruker ulike uttrykk på ulike intervaller
- I skjoetepunktene sjekker vi kontinuitet ved å sammenligne venstre- og høyeregrense med funksjonsverdien
- Absoluttverdifunksjonen $|f(x)|$ skrives stykkevis ved å finne nullpunktene til $f(x)$
- Trappefunksjoner er stykkevis konstante funksjoner med mange praktiske bruksområder
- Ved likninger og ulikheter med absoluttverdi: del opp i tilfeller

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.