2.4
Alle fag for VG2

2.4 Delte funksjonsuttrykk

Stykkevis definerte funksjoner, diskontinuitet, trappefunksjoner og absoluttverdifunksjonen.

50 min
14 oppgaver
Stykkevis definerte funksjonerDiskontinuitetTrappefunksjonerAbsoluttverdifunksjon
Du leser den tradisjonelle versjonen
Din fremgang i kapitlet
0 / 14 oppgaver

Stykkevis definerte funksjoner

Ikke alle funksjoner kan beskrives med ett enkelt uttrykk på hele definisjonsmengden. En stykkevis definert funksjon bruker forskjellige uttrykk på forskjellige intervaller. Slike funksjoner dukker opp naturlig i mange praktiske sammenhenger -- for eksempel trinnvis prising, skattesatser og fysiske modeller med faseoverganger.

I dette kapittelet lærer du å definere, analysere og skissere stykkevis definerte funksjoner, og vi studerer begrepet kontinuitet i denne sammenhengen.

Stykkevis definert funksjon
En stykkevis definert funksjon er en funksjon som er definert ved forskjellige uttrykk på forskjellige deler av definisjonsmengden:

f(x)={f1(x)na˚r x∈I1f2(x)na˚r x∈I2⋮⋮fn(x)na˚r x∈Inf(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{når } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{når } x \in I_2 \\ \vdots & \vdots \\ f_n(x) & \text{når } x \in I_n \end{cases}

der I1,I2,…,InI_1, I_2, \ldots, I_n er intervaller som til sammen utgjør definisjonsmengden, og f1,f2,…,fnf_1, f_2, \ldots, f_n er funksjonsuttrykk.

✏️Eksempel 1: Enkel stykkevis funksjon

La f(x)={x2na˚r x<12x−1na˚r x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{når } x \geq 1 \end{cases}

a) Finn f(0)f(0), f(1)f(1) og f(3)f(3).
b) Skisser grafen til ff.
c) Er ff kontinuerlig i x=1x = 1?

Løsning:

a) f(0)=02=0f(0) = 0^2 = 0 (bruker x2x^2 siden 0<10 < 1)
f(1)=2⋅1−1=1f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1 (bruker 2x−12x - 1 siden 1≥11 \geq 1)
f(3)=2⋅3−1=5f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5 (bruker 2x−12x - 1 siden 3≥13 \geq 1)

b) For x<1x < 1 tegner vi parabelen y=x2y = x^2. For x≥1x \geq 1 tegner vi linja y=2x−1y = 2x - 1. Delene møtes i punktet (1,1)(1, 1).

c) Vi sjekker:
- Venstregrense: lim⁡x→1−x2=1\lim_{x \to 1^-} x^2 = 1
- Høyeregrense: lim⁡x→1+(2x−1)=1\lim_{x \to 1^+} (2x - 1) = 1
- Funksjonsverdi: f(1)=1f(1) = 1

Alle tre er like, så ff er kontinuerlig i x=1x = 1.

📝Oppgave 1

La f(x)={−xna˚r x<0x2na˚r 0≤x<24na˚r x≥2f(x) = \begin{cases} -x & \text{når } x < 0 \\ x^2 & \text{når } 0 \leq x < 2 \\ 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}. Regn ut funksjonsverdiene.

a
f(−3)f(-3)
b
f(0)f(0)
c
f(1)f(1)
d
f(2)f(2)
e
f(5)f(5)
Løs oppgaven
Kontinuitet i et punkt
En funksjon ff er kontinuerlig i x=ax = a dersom:

1. f(a)f(a) er definert
2. lim⁡x→af(x)\lim_{x \to a} f(x) eksisterer
3. lim⁡x→af(x)=f(a)\lim_{x \to a} f(x) = f(a)

For stykkevis definerte funksjoner må vi sjekke kontinuitet i skjøtepunktene -- der funksjonsuttrykket skifter. Funksjonen er kontinuerlig i skjøtepunktet x=ax = a dersom:

lim⁡x→a−f(x)=lim⁡x→a+f(x)=f(a)\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)

Her er lim⁡x→a−f(x)\lim_{x \to a^-} f(x) (venstregrensen) den verdien grenen til venstre for aa nærmer seg når xx går mot aa, og lim⁡x→a+f(x)\lim_{x \to a^+} f(x) (høyregrensen) tilsvarende for grenen til høyre. Er grenen et polynom, finner vi verdien ved å sette x=ax = a inn i uttrykket for grenen. Grenseverdier behandles grundig i delkapittel 3.1, og kontinuitet igjen i 3.2.

✏️Eksempel 2: Kontinuitet i et skjøtepunkt

Undersøk om g(x)={x+1na˚r x<2x2−1na˚r x≥2g(x) = \begin{cases} x + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 - 1 & \text{når } x \geq 2 \end{cases} er kontinuerlig i x=2x = 2.

Løsning:

Vi beregner grenseverdiene fra begge sider:

- Venstregrense: lim⁡x→2−(x+1)=3\lim_{x \to 2^-} (x + 1) = 3
- Høyeregrense: lim⁡x→2+(x2−1)=3\lim_{x \to 2^+} (x^2 - 1) = 3
- Funksjonsverdi: g(2)=22−1=3g(2) = 2^2 - 1 = 3

Alle tre verdiene er like (=3= 3), så gg er kontinuerlig i x=2x = 2.

Sammenlikn med figuren over: der er høyre gren x2−3x^2 - 3, som gir 11 i x=2x = 2, og grafen får et hopp.

📝Oppgave 2

Avgjør om funksjonen er kontinuerlig i det angitte punktet.

a
f(x)={2xna˚r x<13−xna˚r x≥1f(x) = \begin{cases} 2x & \text{når } x < 1 \\ 3 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases} i x=1x = 1
b
f(x)={x2na˚r x<25−xna˚r x≥2f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 2 \\ 5 - x & \text{når } x \geq 2 \end{cases} i x=2x = 2
c
f(x)={ex−1na˚r x≤0xna˚r x>0f(x) = \begin{cases} e^x - 1 & \text{når } x \leq 0 \\ x & \text{når } x > 0 \end{cases} i x=0x = 0
📝Oppgave 3

Bestem verdien av konstanten aa slik at funksjonen blir kontinuerlig overalt.

a
f(x)={ax+1na˚r x<2x2na˚r x≥2f(x) = \begin{cases} ax + 1 & \text{når } x < 2 \\ x^2 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}
b
f(x)={x2+ana˚r x<13xna˚r x≥1f(x) = \begin{cases} x^2 + a & \text{når } x < 1 \\ 3x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}
Løs oppgaven

Absoluttverdifunksjonen som delt uttrykk

Absoluttverdifunksjonen ∣x∣|x| er det enkleste eksempelet på en stykkevis definert funksjon:

∣x∣={xna˚r x≥0−xna˚r x<0|x| = \begin{cases} x & \text{når } x \geq 0 \\ -x & \text{når } x < 0 \end{cases}

Mer generelt kan vi skrive:

∣f(x)∣={f(x)na˚r f(x)≥0−f(x)na˚r f(x)<0|f(x)| = \begin{cases} f(x) & \text{når } f(x) \geq 0 \\ -f(x) & \text{når } f(x) < 0 \end{cases}

For å fjerne absoluttverditegn må vi altså finne ut hvor uttrykket inni er positivt og hvor det er negativt.

✏️Eksempel 3: Funksjon med absoluttverdi

Skriv f(x)=∣2x−4∣f(x) = |2x - 4| som en stykkevis definert funksjon og skisser grafen.

Løsning:

Vi finner nullpunktet til uttrykket inni: 2x−4=0⇒x=22x - 4 = 0 \Rightarrow x = 2.

- Når x≥2x \geq 2: 2x−4≥02x - 4 \geq 0, så ∣2x−4∣=2x−4|2x - 4| = 2x - 4
- Når x<2x < 2: 2x−4<02x - 4 < 0, så ∣2x−4∣=−(2x−4)=4−2x|2x - 4| = -(2x - 4) = 4 - 2x

Altså:

f(x)={4−2xna˚r x<22x−4na˚r x≥2f(x) = \begin{cases} 4 - 2x & \text{når } x < 2 \\ 2x - 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}

Grafen er en V-form med bunnpunkt i (2,0)(2, 0).

📝Oppgave 4

Skriv funksjonen som et stykkevis definert uttrykk (uten absoluttverditegn).

a
f(x)=∣x−3∣f(x) = |x - 3|
b
g(x)=∣x∣+xg(x) = |x| + x
c
h(x)=∣x+1∣+∣x−1∣h(x) = |x + 1| + |x - 1|

Trappefunksjoner

En trappefunksjon er en stykkevis konstant funksjon -- den har en fast verdi på hvert intervall. Et vanlig eksempel er gulvfunksjonen (heltallsdelen):

⌊x⌋=største hele tall som er≤x\lfloor x \rfloor = \text{største hele tall som er} \leq x

For eksempel: ⌊2,7⌋=2\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2, ⌊−1,3⌋=−2\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2, ⌊5⌋=5\lfloor 5 \rfloor = 5.

Trappefunksjoner har mange praktiske anvendelser: portotabeller, trinnvis skatt, parkeringsavgifter og taksameter.

✏️Eksempel 4: Portotabell som trappefunksjon
Et postselskap tar betalt for brev etter vekten ww (i gram):

P(w)={15na˚r 0<w≤2025na˚r 20<w≤5035na˚r 50<w≤10050na˚r 100<w≤250P(w) = \begin{cases} 15 & \text{når } 0 < w \leq 20 \\ 25 & \text{når } 20 < w \leq 50 \\ 35 & \text{når } 50 < w \leq 100 \\ 50 & \text{når } 100 < w \leq 250 \end{cases}

a) Hva koster det å sende et brev på 45 g?
b) Skisser grafen til PP.

Løsning:

a) 45∈⟨20,50]45 \in \langle 20, 50], så P(45)=25P(45) = 25.

Svar: Det koster 25 kr.

b) Grafen består av horisontale linjestykker. Hvert linjestykke, også det første, har et åpent endepunkt til venstre (åpen sirkel) og et lukket endepunkt til høyre (fylt sirkel). Det første trinnet har åpent endepunkt i w=0w = 0 fordi w>0w > 0.

📝Oppgave 5

En parkeringsplass tar 20 kr per påbegynt time, med maks 120 kr per døgn.

a

Skriv prisen P(t)P(t) som en stykkevis definert funksjon for 0<t≤240 < t \leq 24 timer.

b

Hva er prisen for 3 timer og 15 minutter?

Løs oppgaven
📝Oppgave 6

Skisser grafen og bestem verdimengden til funksjonen.

a
f(x)={x+2na˚r x≤−1x2na˚r −1<x<12−xna˚r x≥1f(x) = \begin{cases} x + 2 & \text{når } x \leq -1 \\ x^2 & \text{når } -1 < x < 1 \\ 2 - x & \text{når } x \geq 1 \end{cases}
b
g(x)={−1na˚r x<00na˚r x=01na˚r x>0g(x) = \begin{cases} -1 & \text{når } x < 0 \\ 0 & \text{når } x = 0 \\ 1 & \text{når } x > 0 \end{cases}
📝Oppgave 7

Løs likningene.

a
∣2x−6∣=x|2x - 6| = x
b
∣x−1∣=∣x+3∣|x - 1| = |x + 3|
c
∣x2−4∣=3x|x^2 - 4| = 3x
Løs oppgaven
📝Oppgave 8

Bestem konstantene aa og bb.

a
f(x)={ax+bna˚r x<1x2na˚r 1≤x≤3ax+bna˚r x>3f(x) = \begin{cases} ax + b & \text{når } x < 1 \\ x^2 & \text{når } 1 \leq x \leq 3 \\ ax + b & \text{når } x > 3 \end{cases} skal være kontinuerlig overalt.
📝Oppgave 9

Bestem alle verdier av xx som oppfyller ulikheten ∣x2−5x+4∣<2|x^2 - 5x + 4| < 2.

Oppsummering

- En stykkevis definert funksjon bruker ulike uttrykk på ulike intervaller
- I skjøtepunktene sjekker vi kontinuitet ved å sammenligne venstre- og høyeregrense med funksjonsverdien
- Absoluttverdifunksjonen ∣f(x)∣|f(x)| skrives stykkevis ved å finne nullpunktene til f(x)f(x)
- Trappefunksjoner er stykkevis konstante funksjoner med mange praktiske bruksområder
- Ved likninger og ulikheter med absoluttverdi: del opp i tilfeller

Repetisjonsoppgaver
Din fremgang
0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.