2.4 Delte funksjonsuttrykk

Funksjoner med flere ansikter

Se på strømregningen, skatteseddelen eller taksameteret i en drosje. Ingen av dem følger én enkel formel. Drosjeturen har en startpris, så en kilometerpris som endrer seg etter en viss distanse. Trinnskatten har én sats opp til ett beløp, en annen sats videre. Fysikken er ikke bedre: vann varmes jevnt opp til $100\,°$C -- og så skjer noe helt annet, for ved faseovergangen bytter systemet regelbok.

Virkeligheten er full av prosesser som følger forskjellige regler på forskjellige områder. Matematikkens svar er den stykkevis definerte funksjonen: ett funksjonsuttrykk her, et annet der, sydd sammen til én funksjon. For eksempel

$$f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{når } x < 1 \\ 2x - 1 & \text{når } x \geq 1 \end{cases}$$

-- en parabel som i $x = 1$ overlater stafettpinnen til en rett linje.

Det interessante skjer i sømmene. Møtes de to delene pent, eller blir det et hopp? Det er spørsmålet om kontinuitet, og her i kapittelet lærer du å avgjøre det presist, ved å sammenligne grenseverdier fra venstre og høyre med funksjonsverdien i skjøtepunktet.

Underveis avslører vi at en gammel kjenning -- absoluttverdien fra kapittel 1.5 -- egentlig er en stykkevis definert funksjon i forkledning. Og vi møter trappefunksjonene, de stykkevis konstante funksjonene som styrer porto, parkeringshus og taksametre. Funksjoner med flere ansikter, men ett samlet ansvar: å beskrive en verden som bytter regler underveis.

Å lese, regne med og skjøte sammen delene

En stykkevis definert funksjon angir flere uttrykk, hvert med sitt intervall:

$$f(x) = \begin{cases} f_1(x) & \text{når } x \in I_1 \\ f_2(x) & \text{når } x \in I_2 \end{cases}$$

Å beregne en funksjonsverdi er en to-stegs øvelse: finn først riktig intervall, bruk så det tilhørende uttrykket. Med $f(x) = x^2$ for $x < 1$ og $f(x) = 2x - 1$ for $x \geq 1$: $f(0) = 0^2 = 0$ (null er mindre enn én), $f(3) = 2 \cdot 3 - 1 = 5$, og $f(1) = 2 \cdot 1 - 1 = 1$ -- legg merke til at $x = 1$ tilhører den andre grenen, siden betingelsen der er $x \geq 1$. Ulikhetstegnene avgjør hvem som eier skjøtepunktet.

Grafen tegner du del for del: parabelen $y = x^2$ til venstre for $1$, linjen $y = 2x - 1$ fra $1$ og utover. Og her møtes delene faktisk pent: parabelen sikter seg inn mot $(1, 1)$, og linjen starter nøyaktig der.

Det presise språket for «møtes pent» er kontinuitet. Funksjonen er kontinuerlig i skjøtepunktet $x = a$ dersom tre verdier stemmer overens:

$$\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$$

-- venstregrensen (hva delen til venstre sikter mot), høyregrensen (hva delen til høyre sikter mot) og funksjonsverdien selv. I eksempelet: venstregrense $1^2 = 1$, høyregrense $2 \cdot 1 - 1 = 1$, og $f(1) = 1$. Tre like tall: kontinuerlig.

Sjekk gjerne et til: $g(x) = x + 1$ for $x < 2$ og $g(x) = x^2 - 1$ for $x \geq 2$. Venstregrense $2 + 1 = 3$, høyregrense $4 - 1 = 3$, $g(2) = 3$. Kontinuerlig også her -- men hadde én av de tre verdiene vært annerledes, hadde grafen revnet i et hopp.

Absoluttverdien -- en delt funksjon i forkledning

Husker du definisjonen av absoluttverdi fra kapittel 1.5? Se på den igjen, med nye øyne:

$$|x| = \begin{cases} x & \text{når } x \geq 0 \\ -x & \text{når } x < 0 \end{cases}$$

Dette er en stykkevis definert funksjon -- den enkleste og viktigste av dem alle. To rette linjer, $y = x$ og $y = -x$, skjøtet sammen i origo til den karakteristiske V-formen. Og i skjøtepunktet er den kontinuerlig: begge grenene sikter mot $0$.

Det generelle mønsteret gjelder ethvert uttrykk inni absoluttverditegn: $|f(x)|$ er lik $f(x)$ der $f(x) \geq 0$, og lik $-f(x)$ der $f(x) < 0$. Oppskriften for å skrive om $|f(x)|$ til delt uttrykk er derfor: finn nullpunktene til uttrykket inni -- det er der fortegnet kan snu -- og del opp tallinja der.

Ta $f(x) = |2x - 4|$. Uttrykket inni er null når $x = 2$. For $x \geq 2$ er $2x - 4 \geq 0$, så absoluttverdien gjør ingenting: $|2x-4| = 2x - 4$. For $x < 2$ er $2x - 4$ negativt, og absoluttverdien speiler fortegnet: $|2x-4| = -(2x-4) = 4 - 2x$. Altså:

$$f(x) = \begin{cases} 4 - 2x & \text{når } x < 2 \\ 2x - 4 & \text{når } x \geq 2 \end{cases}$$

Grafen er en V med bunnpunkt i $(2, 0)$: linjen $y = 4 - 2x$ faller inn mot punktet fra venstre, og $y = 2x - 4$ stiger ut fra det mot høyre.

Denne omskrivingen er mer enn kosmetikk. Likninger og ulikheter med absoluttverdi løses nettopp ved å dele opp i tilfeller etter fortegnet til uttrykket inni -- du behandler hver gren som en vanlig likning på sitt intervall, og samler løsningene til slutt. Det delte uttrykket gjør også grafen, og senere derivasjonen, gjennomsiktig: V-ens spisse bunnpunkt er for eksempel grunnen til at $|x|$ ikke er deriverbar i null, som du får se i kapittel 3.

Trappefunksjoner -- når grafen tar trappetrinn

Noen stykkevis definerte funksjoner er konstante på hvert sitt intervall. Grafen ser ut som en trapp, og navnet er deretter: trappefunksjoner. Du betaler dem hver uke. Porto bestemmes av vektklasser, parkeringshus tar betalt per påbegynte time, og taksameteret hopper i sprang.

Skoleeksempelet er en portotabell:

$$P(w) = \begin{cases} 15 & \text{når } 0 < w \leq 20 \\ 25 & \text{når } 20 < w \leq 50 \\ 35 & \text{når } 50 < w \leq 100 \\ 50 & \text{når } 100 < w \leq 250 \end{cases}$$

Et brev på $45$ gram? Vekten ligger i intervallet $(20, 50]$, så portoen er $25$ kroner. Grafen består av fire vannrette linjestykker, og detaljene i endepunktene er viktige: hvert trinn har åpen sirkel til venstre (vekten må være over grensen) og fylt sirkel til høyre (grensevekten hører til trinnet under... nei, til trinnet selv: $w = 50$ koster fortsatt $25$). Ulikhetstegnene $<$ og $\leq$ oversettes direkte til åpne og fylte endepunkter.

Ved hver trinngrense gjør grafen et hopp -- venstre- og høyregrensen er forskjellige, så trappefunksjonen er diskontinuerlig der. Dette er ikke en feil ved modellen; det er selve poenget. Ett gram over grensen, og prisen hopper.

Den mest berømte trappefunksjonen er gulvfunksjonen $\lfloor x \rfloor$: det største hele tallet som er mindre enn eller lik $x$. $\lfloor 2{,}7 \rfloor = 2$ og $\lfloor 5 \rfloor = 5$ er greie, men vær våken for negative tall: $\lfloor -1{,}3 \rfloor = -2$, fordi $-2$ er det største heltallet som ikke overstiger $-1{,}3$ -- vi runder nedover på tallinja, ikke mot null. Gulvfunksjonen er informatikkens arbeidshest: heltallsdivisjon, indeksberegninger og hashing bruker den ustanselig.

Et siste praktisk råd for skissering av alle delte funksjoner: tegn hver del på sitt intervall, marker endepunktene med fylt eller åpen sirkel etter ulikhetstegnene, og sjekk i hvert skjøtepunkt om delene møtes (kontinuitet) eller hopper.

Fortellingen i et nøtteskall

Taksametre, trinnskatt og faseoverganger viste oss at virkeligheten gjerne bytter regelbok underveis -- og at matematikken svarer med stykkevis definerte funksjoner: flere uttrykk, hvert med sitt intervall, sydd sammen til én funksjon. Å regne med dem er alltid samme tostegsdans: finn intervallet, bruk uttrykket. Og vær pinlig nøyaktig med hvem som eier skjøtepunktet -- det avgjøres av $<$ mot $\leq$.

I sømmene bor kapittelets hovedbegrep: kontinuitet. Funksjonen er kontinuerlig i skjøtepunktet $x = a$ når venstregrensen, høyregrensen og funksjonsverdien er ett og samme tall: $\lim_{x \to a^-} f(x) = \lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$. Stemmer ikke regnskapet, revner grafen i et hopp.

Absoluttverdien avslørte seg som en delt funksjon i forkledning: $|f(x)|$ er $f(x)$ der uttrykket inni er ikke-negativt, og $-f(x)$ ellers -- og oppdelingen skjer i nullpunktene til uttrykket inni. Slik ble $|2x-4|$ til en V med bunnpunkt i $(2,0)$, og slik løses likninger og ulikheter med absoluttverdi: tilfelle for tilfelle.

Trappefunksjonene er de stykkevis konstante: porto, parkering, gulvfunksjonen $\lfloor x \rfloor$ med sin nedoverrunding ($\lfloor -1{,}3\rfloor = -2$!). Hoppene deres er ikke skavanker, men nøyaktig det virkeligheten krever.

Dette kapittelet er broen til kapittel 3: grenseverdier fra venstre og høyre, kontinuitetens tre krav og spisse hjørner som ødelegger deriverbarhet -- alt sammen får sin fulle behandling der. Du har allerede møtt dem alle, i sømmene på funksjoner med flere ansikter.