4.9 Optimering i praksis

Jakten på det beste

Hvor store kvadrater skal du klippe av pappen for at boksen skal romme mest mulig? Hvilken form på brusboksen bruker minst aluminium? Hvor mange enheter bør fabrikken produsere for å tjene mest? Tre vidt forskjellige spørsmål – med nøyaktig samme matematiske kjerne: finn den verdien som gjør en funksjon størst eller minst. Dette er optimering, og det er kanskje den mest brukte anvendelsen av derivasjon overhodet.

Du har allerede verktøyene. Du kan derivere, du kan finne stasjonære punkter, og du vet at globale ekstremalpunkter gjemmer seg i kritiske punkter og endepunkter. Det nye i dette kapittelet er oversettelsen: å gå fra en tekstoppgave med papp, blikkbokser eller kostnadskroner til en funksjon $f(x)$ du kan derivere.

Fremgangsmåten har fem steg, og de samme fem fungerer hver gang. Forstå problemet – les nøye, tegn figur, finn ut hva som skal optimeres og hvilke begrensninger som gjelder. Innfør variabler – la $x$ være den ukjente, uttrykk målfunksjonen og finn definisjonsmengden. Deriver og finn kritiske punkter – løs $f'(x) = 0$, og husk endepunktene. Klassifiser – fortegnsskjema, andrederiverttest eller verdisammenligning. Svar – med riktig enhet, og sjekk at tallet er rimelig. La oss bruke oppskriften på tre klassikere: boksen, sylinderen og fabrikken.

Boksen av papp

Du har et pappark på $20 \times 30$ cm og skal lage en åpen boks: klipp like store kvadrater ut av hjørnene og brett opp kantene. Små kvadrater gir en lav, flat boks; store kvadrater gir en høy, smal en. Et sted midt imellom ligger volumrekorden.

Variabler: La $x$ være sidelengden til kvadratene. Da blir boksens høyde $x$, lengden $30 - 2x$ og bredden $20 - 2x$. Målfunksjonen er volumet: $V(x) = x(30-2x)(20-2x) = 4x^3 - 100x^2 + 600x$. Definisjonsmengden følger av at alle målene må være positive: bredden $20 - 2x > 0$ krever $x < 10$, så $0 < x < 10$.

Deriver: $V'(x) = 12x^2 - 200x + 600 = 4(3x^2 - 50x + 150)$. Andregradsformelen gir $\displaystyle x = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 1800}}{6} = \frac{50 \pm \sqrt{700}}{6}$, altså $x_1 \approx 3{,}92$ eller $x_2 \approx 12{,}74$. Og her kommer et viktig poeng: $x_2 \approx 12{,}74$ ligger utenfor definisjonsmengden – du kan ikke klippe 12,7 cm av et ark som bare er 20 cm bredt! Matematikken serverer alle løsningene; det er din jobb å forkaste de fysisk umulige.

Klassifiser: $V''(x) = 24x - 200$, og $V''(3{,}92) \approx -106 < 0$ – et maksimum. Svar: $V(3{,}92) \approx 3{,}92 \cdot 22{,}16 \cdot 12{,}16 \approx 1056$ cm³. Kvadrater på cirka 3,9 cm gir den romsligste boksen, en drøy liter.

Den perfekte brusboksen

En lukket sylindrisk boks skal romme nøyaktig 1 liter ($1000$ cm³). Hvilken radius og høyde gir minst overflate – altså minst materialbruk?

Her møter vi et typisk trekk ved optimeringsproblemer: målfunksjonen har to variabler. Overflaten til en lukket sylinder er $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h$ (topp og bunn pluss sideflaten), og den avhenger av både $r$ og $h$. Redningen er betingelsen: volumkravet $\pi r^2 h = 1000$ binder variablene sammen, så vi kan løse ut $\displaystyle h = \frac{1000}{\pi r^2}$ og eliminere den. Innsetting gir en funksjon av $r$ alene: $\displaystyle S(r) = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$, definert for $r > 0$.

Nå er det rutine. $\displaystyle S'(r) = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0$ gir $4\pi r^3 = 2000$, altså $\displaystyle r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5{,}42$ cm. Andrederiverten $\displaystyle S''(r) = 4\pi + \frac{4000}{r^3}$ er positiv for alle $r > 0$, så vi har funnet et minimum. Høyden: $\displaystyle h = \frac{1000}{\pi \cdot 5{,}42^2} \approx 10{,}84$ cm.

Og se på tallene: $h \approx 10{,}84 = 2 \cdot 5{,}42 = 2r$. Den optimale sylinderen har høyde lik diameteren – den er akkurat så høy som den er bred. Dette er ikke en tilfeldighet for 1 liter: regner man generelt med volum $V$, gir $S'(r) = 0$ at $\displaystyle r^3 = \frac{V}{2\pi}$, og da blir $\displaystyle h = \frac{V}{\pi r^2} = 2r$ uansett volum. Virkelige brusbokser er litt høyere og smalere enn dette – fordi bunn og lokk er dyrere å produsere enn sideveggen – men matematikken bak formen deres er nøyaktig den du nettopp gjorde.

Fabrikkens gylne punkt

Optimering handler ikke bare om geometri – økonomien er full av maksimeringsproblemer. Et firma produserer $x$ enheter per dag med kostnadsfunksjon $K(x) = 0{,}01x^3 - 0{,}6x^2 + 15x + 200$ kroner, og selger hver enhet for 50 kr. Hvor mange enheter gir størst fortjeneste?

Grunnprinsippet er enkelt: fortjeneste er inntekt minus kostnad. Inntekten er $I(x) = 50x$, så fortjenestefunksjonen blir $F(x) = I(x) - K(x) = 50x - 0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 - 15x - 200 = -0{,}01x^3 + 0{,}6x^2 + 35x - 200$.

Merk formen: tredjegradsleddet er negativt. Det fanger en økonomisk realitet – produserer du for mye, spiser økende kostnader (overtid, slitasje, lagerplass) opp gevinsten. Et sted finnes et gyllent produksjonsnivå.

Vi deriverer: $F'(x) = -0{,}03x^2 + 1{,}2x + 35 = 0$. Andregradsformelen gir $\displaystyle x = \frac{-1{,}2 \pm \sqrt{1{,}44 + 4{,}2}}{-0{,}06}$, og den positive, rimelige løsningen er $x \approx 50$ enheter. Siden $F'$ er en nedovervendt parabel som skifter fra pluss til minus i $x = 50$, er dette et maksimum.

Den største fortjenesten: $F(50) = -0{,}01 \cdot 125000 + 0{,}6 \cdot 2500 + 35 \cdot 50 - 200 = -1250 + 1500 + 1750 - 200 = 1800$ kroner per dag.

Til slutt, husk de gode vanene som gjelder alle optimeringsproblemer: tegn alltid figur, navngi variablene tydelig, bruk betingelsen til å eliminere en variabel når målfunksjonen har to, sjekk endepunktene på lukkede intervaller – og verifiser alltid at det kritiske punktet faktisk er maks eller min, for $f'(x) = 0$ kan også bety terrassepunkt. Og spør deg selv: er svaret rimelig, med riktig enhet?

Oppskriften som alltid virker

Optimering er derivasjonens praktiske mesterskap, og du har nå gått gjennom hele øvelsen tre ganger. Fremgangsmåten er alltid den samme: forstå problemet og tegn figur; innfør variabler og uttrykk målfunksjonen med definisjonsmengde; deriver og finn kritiske punkter; klassifiser med andrederiverttest, fortegnsskjema eller verdisammenligning; og svar med riktig enhet og en rimelighetssjekk.

Pappboksen lærte deg å oversette geometri til funksjon – $V(x) = x(30-2x)(20-2x)$ – og å forkaste røtter utenfor definisjonsmengden: en løsning som krever å klippe bort mer papp enn arket har, er ingen løsning. Sylinderen viste det viktigste tekniske grepet: når målfunksjonen har to variabler, bruker du betingelsen til å eliminere den ene – og belønningen var det vakre resultatet $h = 2r$, brusboksens matematiske ideal. Fabrikken demonstrerte økonomisk optimering: fortjeneste er inntekt minus kostnad, og toppen av fortjenestekurven – her 1800 kr ved 50 enheter – finnes der $F'(x) = 0$.

Fellesnevneren er at $f'(x) = 0$ bare gir kandidater. Verifiseringen – er det maks, min eller terrassepunkt? Ligger rekorden i et endepunkt? – er ikke pynt, men en del av løsningen. Med dette kapittelet er derivasjonsdelen av R1 fullført: fra grenseverdier via regler og drøfting til verktøyet som finner det beste. Det er nettopp dette derivasjonen ble skapt for.