6.5 Linjer og sirkler i planet

Normalform, sirkellikning, tangenter til sirkler og skjæringspunkter.

55 min

10 oppgaver

NormalformSirkellikningTangentSkjæringspunkt

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

6.4Vektorlengde og avstand

Linjer og sirkler i planet

Vi kjenner linjer på formen $y = ax + b$ fra tidligere. I vektorgeometrien er det ofte mer naturlig å bruke normalformen $ax + by + c = 0$ , som behandler $x$ - og $y$ -koordinater på en symmetrisk måte.

Sirkler beskrives ved sentrum og radius. Sirkellikningen på standardform gjør det lett å lese av disse størrelsene direkte. Vi skal også lære å finne tangenter til sirkler og skjaeringspunkter mellom linjer og sirkler.

Linjelikning på normalform

\ell

✏️Eksempel 1: Linje på normalform

a) Skriv linjen $y = 2x - 3$ på normalform og finn normalvektoren.

b) Finn likningen til linjen gjennom $A = (1, 2)$ med normalvektor $\vec{n} = (3, -1)$ .

c) Finn normalformen til linjen gjennom $P = (2, 5)$ og $Q = (4, 1)$ .

y = 2x - 3 \Rightarrow 2x - y - 3 = 0

. Normalvektor:

\vec{n} = (2, -1)

b) Linjen gjennom $A = (1, 2)$ med normalvektor $(3, -1)$ :

$3(x - 1) + (-1)(y - 2) = 0 \Rightarrow 3x - y - 1 = 0$

c) Retningsvektoren er $\overrightarrow{PQ} = (2, -4)$ . Normalvektoren er $\vec{n} = (4, 2)$ (eller $(2, 1)$ ). Gjennom $P = (2, 5)$ :

$2(x - 2) + 1(y - 5) = 0 \Rightarrow 2x + y - 9 = 0$

Sirkellikning på standardform

S = (a, b)

Sirkellikninger kan også komme på formen

x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0

. Vi omskriver til standardform ved å fullføre kvadrater:

$x^2 + Dx + y^2 + Ey = -F$
$\left(x + \frac{D}{2}\right)^2 + \left(y + \frac{E}{2}\right)^2 = \frac{D^2 + E^2}{4} - F$

Dette gir sentrum $\displaystyle \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ og radius $\displaystyle r = \sqrt{\frac{D^2+E^2}{4} - F}$ (forutsatt $r > 0$ ).

✏️Eksempel 2: Sirkelen

a) Skriv likningen til sirkelen med sentrum $S = (3, -2)$ og radius $4$ .

b) Omskriv $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ til standardform og finn sentrum og radius.

(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16

b) Gruppering og fullfoering av kvadrat:

$(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$

$(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$

Sentrum $S = (3, -2)$ , radius $r = 5$ .

📜Tangent til sirkel

La sirkelen ha sentrum

S = (a, b)

og radius

r

. La

P = (x_0, y_0)

være et punkt på sirkelen.

Tangenten til sirkelen i $P$ er vinkelrett på radiusen $SP$ , og har likning:

$(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$

Alternativt: normalvektoren til tangenten er $\overrightarrow{SP} = (x_0 - a,\; y_0 - b)$ .

✏️Eksempel 3: Tangent til sirkel

Sirkelen $K$ har likning $(x-2)^2 + (y+1)^2 = 25$ .

a) Finn sentrum og radius.

b) Avgjør om $P = (5, 3)$ ligger på sirkelen.

c) Finn tangentlinjen til $K$ i $P = (5, 3)$ .

a) Sentrum

S = (2, -1)

, radius

r = 5

b) $(5-2)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓. $P$ ligger på sirkelen.

c) Normalvektoren til tangenten er $\overrightarrow{SP} = (5-2, 3-(-1)) = (3, 4)$ . Tangenten gjennom $P = (5, 3)$ :

$3(x - 5) + 4(y - 3) = 0 \Rightarrow 3x + 4y - 27 = 0$

Skjæringspunkt mellom linje og sirkel

For å finne skjæringspunktene mellom en linje og en sirkel, setter vi linjens uttrykk inn i sirkellikningen. Vi får en andregradslikning som kan ha:

- To løsninger: Linjen skjærer sirkelen i to punkter (sekant)
- Én løsning: Linjen tangerer sirkelen (tangent)
- Ingen løsning: Linjen treffer ikke sirkelen

Antall løsninger kan avgjoeeres ved å se på diskriminanten, eller ved å sammenligne avstanden fra sentrum til linjen med radius.

✏️Eksempel 4: Skjaeringspunkter

Finn skjæringspunktene mellom linjen $y = x + 1$ og sirkelen $x^2 + y^2 = 13$ .

Sett inn

y = x + 1

i sirkellikningen:

$x^2 + (x+1)^2 = 13$
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 13$
$2x^2 + 2x - 12 = 0$
$x^2 + x - 6 = 0$
$(x+3)(x-2) = 0$

$x = -3 \Rightarrow y = -2$ og $x = 2 \Rightarrow y = 3$ .

Skjæringspunktene er $(-3, -2)$ og $(2, 3)$ .

Husk å sjekke svaret! Når du finner tangentlikning eller skjaeringspunkter, er det lurt å verifisere at punktene faktisk ligger på både linjen og sirkelen. Sett koordinatene tilbake inn i likningene.

📝Oppgave 1

Arbeid med normalform og sirkellikninger.

Skriv linjen $y = -3x + 7$ på normalform og oppgi normalvektoren.

Les av sentrum og radius for sirkelen $(x+3)^2 + (y-2)^2 = 16$ .

Avgjør om $Q = (0, 6)$ ligger innenfor, på eller utenfor sirkelen $(x+1)^2 + (y-2)^2 = 25$ .

📝Oppgave 2

Skriv sirkellikninger og finn normalform for linjer.

Skriv likningen til sirkelen med sentrum $(0, 0)$ og radius $7$ .

Skriv likningen til sirkelen med sentrum $(-1, 4)$ som går gjennom origo.

Finn normalformen til linjen gjennom $A = (3, 1)$ med retningsvektor $\vec{r} = (2, -5)$ .

📝Oppgave 3

Omskriving og tangenter.

Omskriv $x^2 + y^2 + 8x - 2y + 8 = 0$ til standardform. Finn sentrum og radius.

Finn tangenten til sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ i punktet $P = (-3, 4)$ .

Finn tangenten til $(x-1)^2 + (y-2)^2 = 10$ i punktet $P = (4, 3)$ .

Løs oppgaven Tren

📝Oppgave 4

Skjaeringspunkter mellom linje og sirkel.

Finn skjæringspunktene mellom $y = 2x$ og $x^2 + y^2 = 20$ .

Avgjør uten å løse likningen om linjen $y = x + 5$ skjærer sirkelen $x^2 + y^2 = 9$ .

For hvilke verdier av $k$ tangerer linjen $y = x + k$ sirkelen $x^2 + y^2 = 8$ ?

📝Oppgave 5

Avanserte sirkel- og linjeproblemer.

Finn alle linjer med stigningstall $1$ som er tangenter til sirkelen $(x-2)^2 + (y-1)^2 = 8$ .

Finn likningen til sirkelen med sentrum $S = (1, -2)$ som er tangent til $x$ -aksen.

Finn likningen til sirkelen som har $A = (1, 3)$ og $B = (7, -1)$ som endepunkter for en diameter.

Vis at linjen $3x + 4y = 25$ tangerer sirkelen $x^2 + y^2 = 25$ , og finn tangentpunktet.

Oppsummering

Linje på normalform:
- $ax + by + c = 0$ med normalvektor $\vec{n} = (a, b)$ og retningsvektor $\vec{r} = (-b, a)$
- Linje gjennom $P = (x_0, y_0)$ med normalvektor $(a, b)$ : $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$

Sirkellikning på standardform:
- Sentrum $S = (a, b)$ og radius $r$ : $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$
- Generell form gjøres om til standardform ved å fullføre kvadratene

Punktets posisjon: Sett inn punktet — mindre enn $r^2$ betyr innenfor, lik $r^2$ betyr på sirkelen, større enn $r^2$ betyr utenfor.

Tangent til sirkel:
- Tangenten i punktet $P$ på sirkelen står vinkelrett på radien $SP$
- Normalvektoren til tangenten er $\overrightarrow{SP}$

Skjæring mellom linje og sirkel: Sett linjens uttrykk inn i sirkellikningen og løs andregradslikningen. To løsninger gir sekant, én gir tangent, ingen betyr at linjen ikke treffer sirkelen.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.