6.5 Linjer og sirkler i planet

Normalform, sirkellikning, tangenter til sirkler og skjæringspunkter.

55 min

10 oppgaver

NormalformSirkellikningTangentSkjæringspunkt

Du leser den lesevennlige versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 10 oppgaver

Geometriens to hovedpersoner

Linjen og sirkelen er geometriens to eldste hovedpersoner – den ene strak som en laserstråle, den andre fullkomment rund som ringene i vann. I dette kapittelet skal begge få nye, kraftigere beskrivelser, bygget på vektorene du nå behersker.

Du kjenner linjen som $y = ax + b$ . Den formen er praktisk, men har en svakhet: den favoriserer $y$ . Vertikale linjer kan den ikke engang skrive ned, og i vektorgeometrien blir regningen ofte skjev. Derfor går vi over til normalformen $ax + by + c = 0$ , som behandler $x$ og $y$ helt symmetrisk – og som bærer sin egen geometri åpenlyst: tallene $a$ og $b$ er komponentene til en vektor som står vinkelrett på linjen, normalvektoren. Med den i hånden kan du skrive opp linjelikninger nesten uten regning.

Sirkelen får sin likning fra avstandsbegrepet: den er jo per definisjon alle punkter med en gitt avstand – radien – fra et gitt sentrum. Det gir standardformen $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ , der sentrum og radius kan leses rett av. Underveis skal vi lære å avsløre en sirkel som gjemmer seg i en rotete likning, finne tangenter ved hjelp av en radius som peker, og avgjøre hvor en linje treffer en sirkel – i to punkter, i ett, eller ikke i det hele tatt. La oss begynne med linjens nye antrekk.

Linjen og dens normalvektor

Normalformen for en linje er $ax + by + c = 0$ , der $a$ og $b$ ikke begge er null. Det geniale er hva koeffisientene betyr: vektoren $\vec{n} = (a, b)$ er en normalvektor til linjen – den står vinkelrett på linjens retning. Og retningsvektoren? Bytt-og-snu-trikset fra vektorregningen gir $\vec{r} = (-b, a)$ , for $\vec{n} \cdot \vec{r} = a(-b) + b \cdot a = 0$ . En linjelikning på normalform er altså ikke bare en likning – den er et lite kart: les av $(a, b)$ , og du vet umiddelbart hvilken vei linjen ikke peker.

Omskrivning fra den gamle formen er rask: $y = 2x - 3$ blir $2x - y - 3 = 0$ , med normalvektor $\vec{n} = (2, -1)$ – ferdig. Men den virkelige styrken kommer når du skal konstruere linjer. Kjenner du et punkt $P = (x_0, y_0)$ på linjen og en normalvektor $\vec{n} = (a, b)$ , sier ortogonalitetskravet alt: et punkt $(x, y)$ ligger på linjen nøyaktig når vektoren fra $P$ til punktet står vinkelrett på $\vec{n}$ , altså $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ Gang ut, og normalformen står der. Linjen gjennom $A = (1, 2)$ med $\vec{n} = (3, -1)$ : $3(x - 1) - (y - 2) = 0$ , som rydder seg til $3x - y - 1 = 0$ .

Hva om du i stedet kjenner to punkter, si $P = (2, 5)$ og $Q = (4, 1)$ ? Da går du veien om retningen: $\overrightarrow{PQ} = (2, -4)$ er retningsvektor, så normalvektoren fås med bytt-og-snu: $(4, 2)$ , eller forenklet $(2, 1)$ . Gjennom $P$ : $2(x - 2) + 1(y - 5) = 0$ , altså $2x + y - 9 = 0$ . Sjekk gjerne med $Q$ : $2 \cdot 4 + 1 - 9 = 0$ ✓. Punkt pluss normalvektor – mer trenger en linje ikke.

📝Oppgave Quiz 1

Sirkelen – avstand satt i system

Hva er en sirkel? Alle punkter som har nøyaktig avstand $r$ fra et sentrum $S = (a, b)$ . Skriv det kravet med avstandsformelen, kvadrer begge sider, og du har standardformen: $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ Sentrum og radius står i klartekst: $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16$ er sirkelen med sentrum $(3, -2)$ – pass på fortegnene, det står $y - (-2)$ – og radius 4. Spesialtilfellet med sentrum i origo er $x^2 + y^2 = r^2$ .

Likningen er også en posisjonstest. Sett inn et hvilket som helst punkt $(x_0, y_0)$ : blir venstresiden mindre enn $r^2$ , ligger punktet innenfor sirkelen; blir den lik $r^2$ , ligger det på sirkelen; blir den større, ligger det utenfor. Venstresiden er jo nettopp kvadratet av avstanden til sentrum – testen sammenligner avstand med radius.

Men sirkler kommer ikke alltid pent antrukket. Likningen $x^2 + y^2 - 6x + 4y - 12 = 0$ ser ikke ut som noen sirkel – før du fullfører kvadratene. Samle $x$ -ledd og $y$ -ledd, og spe på med det som mangler: $x^2 - 6x$ trenger $+9$ for å bli $(x - 3)^2$ , og $y^2 + 4y$ trenger $+4$ for å bli $(y + 2)^2$ . Legg de samme tallene til høyresiden: $(x^2 - 6x + 9) + (y^2 + 4y + 4) = 12 + 9 + 4$ altså $(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 25$ . Der står den: sentrum $(3, -2)$ , radius 5. Generelt gir $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ sentrum $\displaystyle \left(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2}\right)$ og radius $\displaystyle r = \sqrt{\frac{D^2 + E^2}{4} - F}$ – forutsatt at uttrykket under roten er positivt, ellers finnes ingen sirkel. Fullføring av kvadratet er altså sirkelens sminkefjerner: den avslører hva likningen egentlig er.

📝Oppgave Quiz 2

Tangenter og treffpunkter

En tangent er en linje som så vidt kysser sirkelen – den treffer i nøyaktig ett punkt. Og her belønnes alt arbeidet med normalvektorer, for tangentens geometri er enkel: i berøringspunktet $P$ står tangenten vinkelrett på radien $SP$ . Men «vinkelrett på» betyr jo at $\overrightarrow{SP}$ er tangentens normalvektor – og en linje med kjent punkt og kjent normalvektor kan vi skrive opp i søvne.

Se på sirkelen $(x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 25$ , med sentrum $S = (2, -1)$ og radius 5. Ligger $P = (5, 3)$ på sirkelen? Test: $(5-2)^2 + (3+1)^2 = 9 + 16 = 25$ ✓. Tangenten i $P$ har da normalvektor $\overrightarrow{SP} = (3, 4)$ , og gjennom $P$ : $3(x - 5) + 4(y - 3) = 0$ , som gir $3x + 4y - 27 = 0$ . Tre linjer regning – det er alt. (Det generelle resultatet kan skrives $(x_0 - a)(x - a) + (y_0 - b)(y - b) = r^2$ , men husker du «radius som normalvektor», trenger du ingen formel.)

Hva så når en linje og en sirkel møtes uten å være tangent? Strategien er innsetting. Finn skjæringen mellom $y = x + 1$ og $x^2 + y^2 = 13$ : sett inn og få $x^2 + (x + 1)^2 = 13$ , altså $2x^2 + 2x - 12 = 0$ , forenklet $x^2 + x - 6 = 0$ , som faktoriseres til $(x + 3)(x - 2) = 0$ . Løsningene $x = -3$ og $x = 2$ gir punktene $(-3, -2)$ og $(2, 3)$ – og det er klokt å sette dem tilbake i begge likningene som kontroll. Innsettingen gir alltid en andregradslikning, og antall løsninger forteller hele historien: to løsninger betyr at linjen er en sekant som skjærer sirkelen i to punkter, én løsning betyr tangent, ingen løsning betyr at linjen passerer utenfor. Samme svar kan du få geometrisk: sammenlign avstanden fra sentrum til linjen (forrige kapittels formel!) med radien. Mindre, lik eller større – sekant, tangent eller bom.

📝Oppgave Quiz 3

Linjen, sirkelen og vektoren som bandt dem sammen

Geometriens to hovedpersoner har fått sine vektorbeskrivelser. Linjen kledde seg om til normalformen $ax + by + c = 0$ , der koeffisientene selv er geometri: $\vec{n} = (a, b)$ er normalvektoren, $\vec{r} = (-b, a)$ er retningsvektoren, og en linje gjennom punktet $(x_0, y_0)$ med kjent normalvektor skrives rett ned som $a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0$ . To punkter? Finn retningen, bytt-og-snu til normalvektor, og du er i mål.

Sirkelen viste seg å være avstandsformelen satt i system: standardformen $(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$ sier nøyaktig at avstanden fra $(x, y)$ til sentrum $(a, b)$ er $r$ . Likningen er samtidig en posisjonstest – mindre enn, lik eller større enn $r^2$ betyr innenfor, på eller utenfor – og gjemmer en sirkel seg i en rotete likning av typen $x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$ , avslører du den ved å fullføre kvadratene.

Til slutt møttes hovedpersonene. Tangenten i et punkt $P$ på sirkelen står vinkelrett på radien, så $\overrightarrow{SP}$ er dens normalvektor – tangentlikningen koster tre linjer regning. Og skjæringen mellom linje og sirkel finner du ved innsetting: andregradslikningen som oppstår, feller dommen med antall løsninger – to (sekant), én (tangent) eller ingen. Husk alltid kontrollen: sett punktene tilbake i begge likningene. I neste kapittel tar vi hele verktøykassen med ut i virkeligheten – til båter i strøm, fly i vind og skip på kollisjonskurs.

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.