8.7 Binomisk og hypergeometrisk fordeling

Med eller uten tilbakelegging?

To spill, tilsynelatende like: I det første kaster du en terning ti ganger og teller seksere. I det andre trekker du fem kort fra en kortstokk og teller hjerter. Begge handler om å telle «suksesser» i en serie trekk – men under panseret er de fundamentalt forskjellige.

Terningen har ingen hukommelse: sannsynligheten for en sekser er $\displaystyle \frac{1}{6}$ i hvert eneste kast, uansett hva som kom før. Kortstokken husker alt: trekker du en hjerter, er det færre hjerter igjen, og sannsynligheten synker for neste trekk. Det første er trekning med tilbakelegging (eller tilsvarende), det andre uten.

To fordelinger matcher de to verdenene: den binomiske fordelingen for uavhengige forsøk med konstant sannsynlighet, og den hypergeometriske for trekning uten tilbakelegging fra en endelig populasjon. I dette kapittelet lærer du begge formler – og det viktigste av alt: å diagnostisere riktig hvilken som gjelder. Å velge riktig fordeling er like viktig som selve regningen.

Binomisk fordeling – terningens verden

Den binomiske fordelingen kjenner du fra kapittel 8.5, så her repeterer vi kort og setter den i arbeid. Forutsetningene: fast antall forsøk $n$, to utfall per forsøk, konstant suksesssannsynlighet $p$, uavhengige forsøk. Da er $X \sim B(n, p)$ med

$$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$$

og de hendige formlene $E(X) = np$, $\text{Var}(X) = np(1-p)$ og $\sigma(X) = \sqrt{np(1-p)}$.

Terningspillet: ti kast, $X$ = antall seksere. Hvert kast er uavhengig med $\displaystyle p = \frac{1}{6}$, så $\displaystyle X \sim B(10, \frac{1}{6})$. Sannsynligheten for nøyaktig tre seksere: $\displaystyle P(X = 3) = \binom{10}{3}\left(\frac{1}{6}\right)^3\left(\frac{5}{6}\right)^7 \approx 0{,}155$. Forventningen er $\displaystyle E(X) = \frac{10}{6} \approx 1{,}67$ og variansen $\displaystyle \frac{25}{18} \approx 1{,}39$.

Et eksamensaktuelt mønster er «minst»-spørsmål. En elev gjetter på 8 flervalgsoppgaver med fire alternativer: $X \sim B(8;\, 0{,}25)$. Sannsynligheten for minst 3 riktige går raskest via komplementet: $P(X \geq 3) = 1 - P(X \leq 2)$. Vi summerer de tre små: $P(X=0) = 0{,}75^8 \approx 0{,}100$, $P(X=1) = 8 \cdot 0{,}25 \cdot 0{,}75^7 \approx 0{,}267$ og $P(X=2) = 28 \cdot 0{,}0625 \cdot 0{,}75^6 \approx 0{,}311$. Dermed $P(X \geq 3) \approx 1 - 0{,}679 = 0{,}321$. Omtrent én av tre gjettere klarer tre riktige eller mer.

Hypergeometrisk fordeling – kortstokkens verden

Nå til trekning uten tilbakelegging. Oppsettet: en populasjon med $N$ elementer, hvorav $M$ er «suksesser» og $N - M$ «fiaskoer». Du trekker $n$ elementer uten å legge tilbake, og $X$ teller suksessene i utvalget. Da er $X$ hypergeometrisk fordelt, $X \sim H(N, M, n)$, og

$$P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Formelen er ren kombinatorikk og burde se kjent ut – det er nøyaktig korttrekk-regningen fra kapittel 8.3! Nevneren teller alle måter å trekke $n$ av $N$; telleren teller de gunstige: velg $k$ av suksessene og $n-k$ av fiaskoene. Forventningen er behagelig intuitiv: $\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}$ – utvalgsstørrelsen ganger andelen suksesser i populasjonen. (Variansen har en ekstra krympefaktor $\displaystyle \frac{N-n}{N-1}$ sammenlignet med binomisk – uten tilbakelegging blir resultatene faktisk litt mer forutsigbare.)

Kortspillet: trekk 5 kort, tell hjerter. Populasjonen er $N = 52$ med $M = 13$ hjerter, og $X \sim H(52, 13, 5)$. Sannsynligheten for nøyaktig 2 hjerter:

$$P(X = 2) = \frac{\binom{13}{2}\binom{39}{3}}{\binom{52}{5}} = \frac{78 \cdot 9139}{2\,598\,960} \approx 0{,}274$$

Og forventningen: $\displaystyle E(X) = 5 \cdot \frac{13}{52} = 1{,}25$ hjerter per hånd – en fjerdedel av kortene, akkurat som andelen i stokken. Typiske hypergeometriske situasjoner: kortspill, lotterier, og kvalitetskontroll av små partier – overalt der hvert trekk endrer det som er igjen.

Diagnosen: hvilken fordeling gjelder?

Nå til kapittelets egentlige ferdighet: å se på en situasjon og stille riktig diagnose. Nøkkelspørsmålet er alltid: endres sannsynligheten underveis? Kast, spinn og trekk med tilbakelegging: nei – binomisk. Trekk uten tilbakelegging fra en begrenset mengde: ja – hypergeometrisk.

Et kvalitetskontroll-eksempel: et parti har 20 produkter der 4 er defekte, og du trekker 3 for kontroll. Uten tilbakelegging fra en liten populasjon: $X \sim H(20, 4, 3)$. Sannsynligheten for nøyaktig én defekt: $\displaystyle P(X = 1) = \frac{\binom{4}{1}\binom{16}{2}}{\binom{20}{3}} = \frac{4 \cdot 120}{1140} \approx 0{,}421$, og forventningen er $\displaystyle E(X) = 3 \cdot \frac{4}{20} = 0{,}6$.

Men her kommer en praktisk lettelse: er populasjonen stor i forhold til utvalget, spiller tilbakelegging nesten ingen rolle – å fjerne ett element av hundre tusen endrer knapt andelene. Tommelfingerregelen: er populasjonen mer enn ti ganger større enn utvalget ($N > 10n$), kan du bruke binomisk fordeling som god tilnærming til den hypergeometriske, med $\displaystyle p = \frac{M}{N}$. Det er derfor meningsmålinger regner binomisk selv om de strengt tatt trekker personer uten tilbakelegging: 1 000 spurte av flere millioner velgere.

Så husk sjekkpunktene før du regner: Fast $n$? To utfall? Og fremfor alt – konstant sannsynlighet, eller krymper populasjonen merkbart for hvert trekk? Trekker du fra en eske med 10 kuler uten tilbakelegging, er forsøkene ikke uavhengige, og da må du hypergeometrisk til verks.

Oppsummering: terningen og kortstokken

To verdener, to fordelinger. I terningens verden – uavhengige forsøk med konstant suksesssannsynlighet, eller trekning med tilbakelegging – gjelder den binomiske fordelingen $X \sim B(n, p)$ med $P(X = k) = \binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$, $E(X) = np$ og $\text{Var}(X) = np(1-p)$. I kortstokkens verden – trekning uten tilbakelegging fra en endelig populasjon med $M$ suksesser blant $N$ – gjelder den hypergeometriske $X \sim H(N, M, n)$ med $\displaystyle P(X = k) = \frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}}$ og den intuitive forventningen $\displaystyle E(X) = n \cdot \frac{M}{N}$.

Diagnosen stilles med ett spørsmål: endres sannsynligheten underveis? Og glem ikke fluktruten: når populasjonen er mer enn ti ganger utvalget, er binomisk en utmerket tilnærming til hypergeometrisk – det er derfor meningsmålinger slipper unna med den enkle modellen.

Dermed er sannsynlighetskapittelet komplett: fra telleprinsippene via klassisk og betinget sannsynlighet til Bayes og de to store fordelingene. Sjekk alltid forutsetningene før du velger modell – det er der forskjellen på rett og galt svar ligger.