8.5 Sannsynlighetsmodeller | Matematikk R1

Uniform og ikke-uniform sannsynlighetsmodell, komplementhendelser og addisjon.

55 min

20 oppgaver

SannsynlighetsmodellUniform modellKomplementhendelseAddisjonssetningen

Du leser den tradisjonelle versjonen

Din fremgang i kapitlet

0 / 20 oppgaver

Kapitlets plass i kurset

Bygger på

8.1Multiplikasjonsprinsippet

Brukes videre i

8.6Betinget sannsynlighet og uavhengighet

Fra enkeltforsøk til gjentatte forsøk

Mange situasjoner i virkeligheten handler om å gjenta det samme forsøket flere ganger: Kaste en mynt $10$ ganger, teste $50$ produkter fra en produksjonslinje, spørre $100$ personer om de stemmer ja eller nei. I slike situasjoner er binomisk fordeling det naturlige verktøyet.

Binomisk fordeling gir oss sannsynligheten for et bestemt antall «suksesser» i en rekke uavhengige forsøk.

Binomisk forsøk

n

Forsøk	$n$	Suksess	$p$
Kaste mynt $10$ ganger	$10$	Krone	$0{,}5$
Teste $50$ produkter	$50$	Defekt	$0{,}03$
$20$ flervalgsoppgaver (4 alt.)	$20$	Riktig (gjetting)	$0{,}25$
Spørre $100$ om de stemmer ja	$100$	Ja	$p$ (ukjent)

📝Oppgave 1

Avgjør om følgende er binomiske forsøk. Begrunn svaret.
a) Kaste en terning $12$ ganger og telle antall seksere.
b) Trekke $5$ kuler fra en urne med $10$ røde og $10$ blå kuler uten tilbakelegging, og telle antall røde.
c) Spørre $50$ tilfeldige personer om de liker sjokolade.

📜Binomisk sannsynlighet

Dersom

X \sim \text{Bin}(n, p)

, er sannsynligheten for nøyaktig

k

suksesser:

$P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots, n$

der:
- $\binom{n}{k}$ = antall måter å plassere $k$ suksesser blant $n$ forsøk
- $p^k$ = sannsynligheten for $k$ suksesser
- $(1-p)^{n-k}$ = sannsynligheten for $n-k$ fiaskoer

✏️Eksempel 1: Myntkast

Du kaster en rettferdig mynt $8$ ganger. Finn sannsynligheten for nøyaktig $5$ krone.

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(8, 0{,}5)$

$P(X = 5) = \binom{8}{5} \cdot 0{,}5^5 \cdot 0{,}5^3 = 56 \cdot 0{,}5^8 = \frac{56}{256} = \frac{7}{32} \approx 0{,}219$

$\binom{8}{5} = 56$ er antall måter å velge hvilke $5$ av $8$ kast som gir krone.

📝Oppgave 2

Du kaster en terning $6$ ganger. La $X$ = antall seksere. Finn $P(X = 2)$ .

📝Oppgave 3

En flervalgstest har $10$ spørsmål med $4$ alternativer hver. En elev gjetter på alle. La $X$ = antall riktige. Finn:
a) $P(X = 0)$
b) $P(X = 3)$
c) $P(X \geq 1)$

Forventningsverdi og standardavvik

X \sim \text{Bin}(n, p)

✏️Eksempel 2: Forventningsverdi og standardavvik

En fabrikk produserer komponenter med $2\%$ feilrate. I et parti på $200$ komponenter, hva er forventet antall defekte, og hva er standardavviket?

Løsning:

$X \sim \text{Bin}(200, 0{,}02)$

$\text{E}(X) = 200 \cdot 0{,}02 = 4$

$\text{SD}(X) = \sqrt{200 \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}98} = \sqrt{3{,}92} \approx 1{,}98$

Vi forventer ca. $4$ defekte med et standardavvik på ca. $2$ .

📝Oppgave 4

Du kaster en rettferdig mynt $100$ ganger. Finn forventningsverdi og standardavvik for antall krone.

📝Oppgave 5

En undersøkelse viser at $70\%$ av befolkningen bruker sosiale medier daglig. Du spør $15$ tilfeldige personer.
a) Finn forventningsverdi og standardavvik.
b) Finn sannsynligheten for at nøyaktig $10$ bruker sosiale medier daglig.
c) Finn sannsynligheten for at færre enn $8$ bruker sosiale medier daglig.

Kumulativ sannsynlighet

For å finne sannsynligheten for $X \leq k$ (kumulativ sannsynlighet) summerer vi:

$P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}$

Nyttige omskrivninger:
- $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$
- $P(X > k) = 1 - P(X \leq k)$
- $P(a \leq X \leq b) = P(X \leq b) - P(X \leq a-1)$

I praksis bruker vi kalkulator eller tabeller for kumulative sannsynligheter.

📝Oppgave 6

X \sim \text{Bin}(5, 0{,}4)

. Regn ut hele sannsynlighetsfordelingen til

X

(alle

P(X = k)

for

k = 0, 1, \ldots, 5

📝Oppgave 7

Sannsynligheten for at en basketspiller treffer et frikast er $0{,}80$ . Hun skyter $10$ frikast. Finn sannsynligheten for at hun treffer minst $8$ av dem.

📝Oppgave 8

En terning kastes $12$ ganger. Finn forventet antall seksere og standardavviket.

📝Oppgave 9

X \sim \text{Bin}(n, 0{,}3)

\text{E}(X) = 6

. Finn

n

\text{SD}(X)

📝Oppgave 10

Vis at for $X \sim \text{Bin}(n, p)$ er $\text{E}(X) = np$ .

Hint: Bruk at $X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n$ der $X_i$ er indikatorvariabelen for suksess i forsøk $i$ .

📝Oppgave 11

En kvalitetskontrollør godtar et parti dersom det er høyst $1$ defekt i et utvalg på $20$ enheter. Defektraten er $5\%$ . Finn sannsynligheten for at partiet godtas.

📝Oppgave 12

Finn den mest sannsynlige verdien av $X$ (modusen) når $X \sim \text{Bin}(10, 0{,}3)$ . Beregn $P(X = 2)$ , $P(X = 3)$ og $P(X = 4)$ , og forklar hvorfor $k = 3$ er modusen.

📝Oppgave 13

Sannsynligheten for at det regner en gitt dag i november er $0{,}4$ . Anta at dagene er uavhengige. Finn sannsynligheten for at det regner nøyaktig $12$ av $30$ dager i november.

📝Oppgave 14

Et legemiddel har $60\%$ sjanse for å virke på en gitt pasient. Det gis til $20$ pasienter.
a) Finn sannsynligheten for at det virker på nøyaktig $12$ pasienter.
b) Finn sannsynligheten for at det virker på minst $15$ pasienter.
c) Hva er sannsynligheten for at det virker på mellom $10$ og $14$ pasienter (inklusiv)?

📝Oppgave 15

Vis at $\sum_{k=0}^{n} P(X = k) = 1$ for $X \sim \text{Bin}(n, p)$ ved å bruke binomialformelen.

Oppsummering

Binomisk forsøk: $n$ uavhengige forsøk, hvert med suksesssannsynlighet $p$ .

Binomisk sannsynlighet: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$

Forventningsverdi: $\text{E}(X) = np$

Standardavvik: $\text{SD}(X) = \sqrt{np(1-p)}$

Kumulativ: $P(X \leq k)$ , $P(X \geq k) = 1 - P(X \leq k-1)$

Sjekkliste: Fast $n$ , to utfall, konstant $p$ , uavhengighet.

Repetisjonsoppgaver

Din fremgang

0deloppgaver0 / 5 oppgaver

Dette kapitlet er skrevet av Anthropics toppmodeller (Claude Opus og Claude Fable) og er foreløpig ikke manuelt gjennomgått — kvalitetskontrollen gjøres av uavhengige KI-agenter, og innmeldte feil rettes fortløpende. Funnet en feil? Meld fra, så retter vi den. Les mer om hvordan innholdet lages.